1991年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試.文科數(shù)學(xué)試題及答案

1、E-mail:第 頁（共10頁）1991年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(文史類)考生注意：這份試卷共三道大題(26個(gè)小題)滿分120分一、選擇題：本大題共15小題；每小題3分，共45分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一是符合題目要求的.把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號(hào)內(nèi)+4()()()()已知Sina=5，并且a是第二象限的角，那么tga的值等于4334(A)-3(B)-4(C)4(D)3焦點(diǎn)在(1，0)，頂點(diǎn)在(1，0)的拋物線方程是(A)y2=8(x1)(B)y2=8(x1)(C)y2=8(x1)(D)y2=8(x1)函Sy=cos4xsin4x的最小正周期是(A)-(B)n(C)2n(D)

2、4nP(2,5)關(guān)于直線x+y=O的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(A)(5，2)(B)(2，5)(C)(5，2)(D)(2，5)(5)如果把兩條異面直線看成“一對(duì)”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有()(A)12對(duì)(B)24對(duì)(C)36對(duì)(D)48對(duì)5兀TOC o 1-5 h z(6)函Sy=sin(2xy)的圖像的一條對(duì)稱軸的方程是()兀兀兀5兀(A)x=-(B)x=-(C)x=-(D)x盲(7)如果三棱錐SABC的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等，且頂點(diǎn)S在底面的射影O在A4BC內(nèi)，那么O是A4BC的()(A)垂心(B)重心(C)外心(D)內(nèi)心(8)已知a是等比數(shù)列，且a0

3、，aa+2aa+aa=25，那么a+a的值等于()nn24354635(A)5(B)10(C)15(D)206x+5已知函數(shù)丁=(xWR,且xM1),那么它的反函數(shù)為x-16x+5(A)y=(xR,且xM1)x-1x-15(C)y=(xR,且xM三)6x+56x+5(B)y=(xWR,且xM6)x-6x-6(D)y=(xWR,且xM5)x+5()(10)從4臺(tái)甲型和5臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出3臺(tái)，其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各1臺(tái)，則不同的取法共有()(A)140種(B)84種(C)70種(D)35種(11)設(shè)甲、乙、丙是三個(gè)命題如果甲是乙的必要條件；丙是乙的充分條件但不是乙的必要條件，那么(A

4、)丙是甲的充分條件，但不是甲的必要條件(B)丙是甲的必要條件，但不是甲的充分條件(C)丙是甲的充要條件(D)(12)丙不是甲的充分條件,也不是甲的必要條件limn(1-)(1)(1)(1一)的值等于345n+2(A)0(B)1(C)2(D)3(13)如果ACv0且BCv0,那么直Ax+By+C=0不通過(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(14)如果奇函數(shù)fx)在區(qū)間3,7上是增函數(shù)且最小值為5,那么fx)在區(qū)間7,3上是(A)增函數(shù)且最小值為5(B)增函數(shù)且最大值為5(C)減函數(shù)且最小值為5(D)減函數(shù)且最大值為5(15)圓x2+2x+y2+4y3=0上到直線x+y+1=

5、0的距離為*2的點(diǎn)共有(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)二、填空題：本大題共5小題；每小題3分,共15分把答案填在題中橫線上(16)雙曲線以直線x=1和y=2為對(duì)稱軸，如果它的一個(gè)焦點(diǎn)在y軸上，那么它的另一焦點(diǎn)的坐標(biāo)是運(yùn)-1兀(17)已知沁=丁，則sin2(x?)=(18)不等式lg(x2+2x+2)v1的解集是(19)在(ax+1)7的展開式中，x3的系數(shù)是x2的系數(shù)與x4的系數(shù)的等差中項(xiàng)，若實(shí)數(shù)al,那么(20)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知頂點(diǎn)A上三條棱長(zhǎng)分別是、邁、3、2.如果對(duì)角線AC與過點(diǎn)A的相鄰三個(gè)面所成的角分別是a、0、Y，那么cos2a+cos20+cos2

6、y=*三、解答題：本大題共6小題；共60分.(本小題滿分8分)求函數(shù)丁=$込2工+2sinxcosx+3cos2x的最大值.(本小題滿分8分)所成的角45,求這個(gè)棱臺(tái)的體積.(本小題滿分10分)1211設(shè)a是等差數(shù)列,b=(pa.已知b+b2+b3=百，bb2b3=石.求等差數(shù)列的通項(xiàng)a.nn2n12381238n(本小題滿分12分)1設(shè)a0，aM1,解關(guān)于x的不等式ax4-2x2(_)a2.a(本小題滿分12分)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q,且OP丄OQ,IPQI=求橢圓的方程.1991年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題(文史類)參考解答

7、及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：一本解答指出了每題所要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種較為常見的解法，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)評(píng)分細(xì)則二每題都要評(píng)閱到底，不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼部分時(shí)，如果該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí)，可視影響的程度決定后面部分的給分，但不得超過后面部分應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果這一步以后的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不給分三為了閱卷方便，本試題解答中的推導(dǎo)步驟寫得較為詳細(xì)，允許考生在解題過程中合理省略非關(guān)鍵性的推導(dǎo)步驟四解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)

8、五只給整數(shù)分?jǐn)?shù)一選擇題本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算每小題3分，滿分45分(1)A(2)D(3)B(4)C(5)B(6)A(7)D(8)A(9)B(10)C(11)A(12)C(13)C(14)B(15)C二填空題本題考查基本知識(shí)基本運(yùn)算每小題3分，滿分15分10(16)(2,2)(17)2(18)xl4xv2(19)I+-5(20)2三解答題本小題考查三角函數(shù)式的恒等變形及三角函數(shù)的性質(zhì)滿分8分解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2xcos2x)+2sinxcosx+2cos2x2分=1+sin2x+(1cos2x)4分=2+sin2x+cos2x=2+v2sin(2x

9、+”).6分4當(dāng)sin(2x+)=1時(shí)，函數(shù)y有最大值，這時(shí)y的最大值等于2+2.8分注：沒有說明“當(dāng)sin(2x+-)=1時(shí)，函數(shù)y有最大值”而得出正確答案，不扣分.本小題考查復(fù)數(shù)基本概念和運(yùn)算能力滿分8分解：z23z+6(1+i)23(1+i)+6z+1=1+i+12分=1i4分1啲模r=：12+(-1)2=：2.因?yàn)?i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限且輻角的正切7tgQ=1，所以輻角的主值e=n.8分4本小題考查直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，以及邏輯推理和空間想象能力滿分10分解：因?yàn)锳”丄底面ABC,所以根據(jù)平面的垂線的定義有A”丄BC.又BC丄BB1，且棱AA和BB的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，所以利用

10、直線和平面垂直的判定定理可以推出BC丄側(cè)面AABB,從而根據(jù)平面的垂線的定義又可得出BC丄AB.3分ABC是直角三角形，ZABC=90o.并且ZABB1就是BB和底面ABC所成的角,ZABB=45.作BD丄AB交AB于D,貝鮭召“人”，故B”丄底面ABC.RtASDB中ZDBB=45,DB=DB1=AA1=a，AB=2a6分由于棱臺(tái)的兩個(gè)底面相似，故RtABCRtA1B1C1.*.*BC1=AB1=a,AB=2a,BC=2a1a2Sj=2A1B1xB1C1=1S下=2ABxBC=2a2.V棱臺(tái)=丄.A/.C+3S+S)31上上下下8分(|a2a2宀宀+(x2a2+2a2227=a3.610分(

11、24)本小題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念及運(yùn)用方程(組)解決問題的能力.滿分10分.解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d貝ya”=a+(nl)d.1、a+(n-1)db二一1n12丿b1b3=1由b1b2b3=81解得b2=2.18代入已知條件bbb_1238b+b+b123_218整理得bb_1,134a-a2.根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，分為兩種情形討論：(I)當(dāng)0vavl時(shí)，由式得x42x2+a20,所以式等價(jià)于x21-乜1a2，x2v1+寸1a2.解式得x：l1a2，解式得一i1+1a2vxv；l+：1a2.1分3分5分7分所以，0vav1時(shí)，原不等式的解集為TOC o 1-5 h zI*,j*I/IIi

12、xlY1+；1a2vxv11.1a2Uxl門-1a2x1+1時(shí)，由式得x42x2a20，9分由于a1，判別式厶0,故式對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，即得原不等式的解集為xlvx+.12分綜合得當(dāng)0vav1時(shí)，原不等式的解集為|i|iixli：1+v1a2xi：11a2Uxli：1v1a2x1時(shí)，原不等式的解集為xlvxv+.解法二原不等式可寫成ax42x2aa2.1分(I)當(dāng)0a1時(shí)，由式得x42x2a2v0，3分分解因式得(x21+：1a2)(x21v1a2)0,即,X21*1a20;VIx21+11a20,或0.解由、組成的不等式組得一v1+；1a2x11a2.或：11a2vxv1+1a2由、組成的不

13、等式組解集為空集；所以，Ovav1時(shí)，原不等式的解集為xl門+；1a2vx1時(shí)，由式得TOC o 1-5 h zx42x2+a20,9分配方得(x21)2+a210,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式都成立，即a1時(shí)，原不等式的解集為 HYPERLINK l bookmark154 o Current Document xl8xv+s.12分綜合得當(dāng)0a1時(shí)，原不等式的解集為xl-C+、：1a2vxv-門1a2UxlCJIa2x1時(shí)，原不等式的解集為xIbvxv+b.(26)本小題考查橢圓的性質(zhì)、兩點(diǎn)的距離公式、兩條直線垂直條件、二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及分析問題的能力.滿分12分.解法一設(shè)所求橢圓方程為x2

14、b2+a2依題意知，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)滿足方程組Ix2+y2a2b2二1,y二x+1.普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題北大附中廣州實(shí)驗(yàn)學(xué)校王生2+222E-mail:第 頁(共10頁)將式代入式，整理得TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark162 o Current Document （a2b2）x22a2xa2（1b2）=0,2分設(shè)方程的兩個(gè)根分別為X,x2，那么直線y=x+l與橢圓的交點(diǎn)為P（x1，x11），Q（x2，x21）3分V10,由題設(shè)OP丄OQ,IPQI=廠，可得X+1X+1T=-1,XX12Cxx丄+Rx+1)Cx+1)1=2121整理得6分)+2xx+1=0,)2一16xx一5=0.212解這個(gè)方程組，得1xx=,1243x+x=1221xx=1241x+x=122根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由式得2a22a2(I)a2b2a2b2(II)a2a2b2b210分解方程組（I）,（II）,a2a2=2,b2=2.故所求橢圓的方程為x2y2=1,x2y2=1.12分解法二同解法一得普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題北大附中廣州實(shí)驗(yàn)學(xué)校王生E-mail: