北師大版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)課件（第1章 勾股定理）

1、第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理第1課時(shí) 認(rèn)識(shí)勾股定理1課堂講解勾股定理勾股定理與圖形的面積2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升 相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？A、B、C的面積有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？ABC讓我們一起探索這個(gè)古老的定理吧！1知識(shí)點(diǎn)勾股定理知1導(dǎo) 我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦. 圖1稱為“弦圖”，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)作法時(shí)給出的. 弦股勾圖1知1導(dǎo)ABCABC(圖中每個(gè)小方格代

2、表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2(1)觀察圖2-1 正方形A中含有 個(gè) 小方格，即A的面積 是 個(gè)單位面積.正方形B的面積是 個(gè)單位面積.正方形C的面積是 個(gè)單位面積.99918知1導(dǎo)ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2 分“割”成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形=18(單位面積)S正方形c知1導(dǎo)ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2(2)在圖2-2中，正方形A，B， C中各含有多少個(gè)小方格？ 它們的面積各是多少？(3)你能發(fā)現(xiàn)圖2-1中三個(gè)正方 形A，B，C的面積之間有 什么關(guān)系嗎？ SA+SB=SC 即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于 斜邊上的

3、正方形的面積.知1導(dǎo)ABCacbSA+SB=SC觀察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想:兩直角邊a、b與斜邊c 之間的關(guān)系？a2+b2=c2知1講a2+b2=c2acb 直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦 勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)知1講定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊 和斜邊，那么a2b2c2.數(shù)學(xué)表達(dá)式： 在RtABC中，C90，ABc，ACb， BCa，則a2b2c2.知1講 例1 在RtABC中，C90，AB10 cm， BC8 cm，求AC的長(zhǎng) 解：由題意易知，AC2BC2AB2， 所以AC2AB2BC210

4、28236. 所以AC6 cm.總 結(jié)知1講 利用勾股定理求直角三角形邊長(zhǎng)的方法：一般都要經(jīng)過(guò)“一分二代三化簡(jiǎn)”這“三步曲”：即一分：分清哪條邊是斜邊、哪些邊是直角邊；二代：代入a2b2c2；三化簡(jiǎn)知1練 1 若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b， 斜邊長(zhǎng)為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是() Ab2c2a2 Ba2c2b2 Cb2a2c2 Dc2a2b2C知1練 2 (中考淮安)如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正 方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B都是格點(diǎn)，則線段 AB的長(zhǎng)度為() A5 B6 C7 D25A2知識(shí)點(diǎn)勾股定理與圖形的面積知2講 例2 新疆如圖，分別以直角三角形的三邊為

5、直徑 作半圓，其中兩個(gè)半圓的面積S1 ， S2 2，則S3_知2講導(dǎo)引：如圖，由圓的面積公式得 所以c225，a216. 根據(jù)勾股定理，得 b2c2a29. 所以 總 結(jié)知2講 與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上圖形面積的和等于斜邊上圖形的面積本例考查了勾股定理及半圓面積的求法，解答此類題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察所給圖形，面積與邊長(zhǎng)、直徑有平方關(guān)系，就很容易聯(lián)想到勾股定理知2練 1 如圖，字母B所代表的正方形的面積是() A12 B13 C144 D194C知2練 如圖，直線l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的 面積分別為3和4，則b的面積為() A16

6、B12 C9 D7D第一章 勾股定理1.1 探索勾股定理第2課時(shí) 勾股定理的驗(yàn)證與應(yīng)用1課堂講解勾股定理的驗(yàn)證 勾股定理的應(yīng)用2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升 上一節(jié)課，我們通過(guò)測(cè)量和數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了勾股定理.在下圖中，分別以直角三角形的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形，你能利用這個(gè)圖說(shuō)明勾股定理的正確性嗎？你是如何做的？與同伴進(jìn)行交流.1知識(shí)點(diǎn)勾股定理的驗(yàn)證知1導(dǎo)做一做為了計(jì)算圖1中大正方形的面積，小明對(duì)這個(gè)大正方形適當(dāng)割補(bǔ)后得到圖2、圖3.圖1圖2圖3知1導(dǎo) （1）將所有三角形和正方形的面積用a,b,c的關(guān)系式 表示出來(lái)； （2） 圖2、圖3中正方形ABCD的面積分別是多少？ 你們有哪些表示

7、方式？與同伴進(jìn)行交流. （3）你能分別利用圖2、圖3驗(yàn)證勾股定理嗎？知1講常用方法：通過(guò)拼圖法利用求面積來(lái)驗(yàn)證這種 方法是以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想，圖形拼補(bǔ)為手段， 以各部分面積之間的關(guān)系為依據(jù)而達(dá)到目的的 知1講2用拼圖法驗(yàn)證勾股定理的思路： (1)圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)、拼接后，只要沒(méi)有重疊，沒(méi)有空 隙，面積不會(huì)改變；(2)根據(jù)同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性質(zhì)驗(yàn)證結(jié)論成立，即拼出圖形寫出 圖形面積的表達(dá)式找出等量關(guān)系恒等變形 推導(dǎo)結(jié)論知1講議一議觀察下圖，判斷圖中三角形的三邊長(zhǎng)是否滿足a2+b2=c2.知1講 例1 如圖是用硬紙板做成的四個(gè)兩直角邊長(zhǎng)分別是a， b，斜邊長(zhǎng)為c的

8、全等的直角三角形和一個(gè)邊長(zhǎng)為 c的正方形，請(qǐng)你將它們拼成一個(gè)能說(shuō)明勾股定 理正確性的圖形 (1)畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖； (2)說(shuō)明勾股定理的正確性知1講導(dǎo)引：可以以邊長(zhǎng)為c的正方形為基礎(chǔ)，一在形外補(bǔ)拼(不 重疊)成新的正方形；二在形內(nèi)疊合成新的正方形解：方法一(補(bǔ)拼法)：(1)如圖. (2)因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e可以表示為(ab)2， 也可以表示為c24 ab， 所以(ab)2c24 ab， a2b22abc22ab.知1講 所以a2b2c2， 即直角三角形兩直角邊的平方和 等于斜邊的平方方法二(疊合法)：(1)如圖.(2)因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e可以表示為c2， 也可以表示為 ab4(ba)2，

9、 所以c2 ab4(ba)2，c22abb22aba2. 所以a2b2c2， 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方總 結(jié)知1講 勾股定理的驗(yàn)證主要是通過(guò)拼圖法利用面積的關(guān)系完成的，拼圖又常以補(bǔ)拼法和疊合法兩種方式拼圖，補(bǔ)拼是要無(wú)重疊，疊合是要無(wú)空隙；而用面積法驗(yàn)證的關(guān)鍵是要找到一些特殊圖形(如直角三角形、正方形、梯形)的面積之和等于整個(gè)圖形的面積，從而達(dá)到驗(yàn)證的目的知1練 用四個(gè)邊長(zhǎng)均為a，b，c的直角三角板，拼成如 圖所示的圖形，則下列結(jié)論中正確的是() Ac2a2b2 Bc2a22abb2 Cc2a22abb2 Dc2(ab)2A2知識(shí)點(diǎn)勾股定理的應(yīng)用知2導(dǎo) 例2 我方偵察員小王在距

10、離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一 輛敵方汽車在公路上疾馳.他趕緊拿出紅外測(cè)距儀，測(cè)得 汽車與他相距400m，10s后，汽車與他相距500m,你能 幫小王計(jì)算敵方汽車的速度嗎？分析：根據(jù)題意，可以畫出右圖， 其中點(diǎn)A表示小王所在位置， 點(diǎn)C、點(diǎn)B表示兩個(gè)時(shí)刻敵方 汽車的位置.知2導(dǎo) 由于小王距離公路400m，因此C是直角，這樣就可以由勾 股定理來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題了.解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2， 也就是5002=BC2+4002, 所以BC=300.敵方汽車10s行駛了300m， 那么它1h行駛的距離為300660=108000（m）, 即它行駛的速度為108km/h.知2講1.

11、 勾股定理是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)定理，它將圖形(直角三 角形)與數(shù)量關(guān)系(三邊關(guān)系)有機(jī)結(jié)合起來(lái)；在幾何及 日常生活中都有著廣泛的應(yīng)用2運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算分三步：第一步：注意應(yīng)用的 前提，即看是不是直角三角形；第二步：分清求解的 對(duì)象，即看是求直角邊長(zhǎng)，還是斜邊長(zhǎng)或者兩種均有 可能；第三步：運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算知2講 例3 實(shí)際應(yīng)用題兩棵樹(shù)之間的距離為8 m，兩棵 樹(shù)的高度分別是8 m，2 m，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的 樹(shù)頂飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)頂，這只小鳥(niǎo)至少要飛多 少米？導(dǎo)引：先根據(jù)題意畫出圖形，然后添加輔助線，構(gòu)造直 角三角形，再利用勾股定理求解知2講解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示， 兩棵樹(shù)的高度分別

12、為AB8 m，CD2 m， 兩棵樹(shù)之間的距離BD8 m， 過(guò)點(diǎn)C作CEAB，垂足為E，連接AC. 則BECD2 m，ECBD8 m， AEABBE826(m) 在RtACE中，由勾股定理，得AC2AE2EC2， 即AC26282100，所以AC10 m. 答：這只小鳥(niǎo)至少要飛10 m知2練 如圖，一個(gè)長(zhǎng)為2.5 m的梯子，一端放在離墻腳 1.5 m處，另一端靠墻，則梯子頂端距離墻腳() A0.2 m B0.4 m C2 m D4 mC知2練 2 (中考安順)如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高10 m，另一棵高4 m，兩樹(shù)相距8 m，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)頂飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)頂，小鳥(niǎo)至少飛行() A8 m B1

13、0 m C12 m D14 mB 用拼圖驗(yàn)證勾股定理的方法：首先通過(guò)拼圖找出面積之間的相等關(guān)系，再由面積之間的相等關(guān)系結(jié)合圖形進(jìn)行代數(shù)變形即可推導(dǎo)出勾股定理 它一般都經(jīng)過(guò)以下幾個(gè)步驟：拼出圖形寫出圖形面積的表達(dá)式找出相等關(guān)系恒等變形導(dǎo)出勾股定理第一章 勾股定理1.2 一定是直角三角形嗎1課堂講解由三邊關(guān)系確定直角三角形勾股數(shù)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升問(wèn)題1：在一個(gè)直角三角形中三條邊滿足什么樣 的關(guān)系呢？答：在一個(gè)直角三角形中兩直角邊的平方和 等于斜邊的平方.問(wèn)題2：如果一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第 三邊的平方，那么這個(gè)三角形是否就是直 角三角形呢？1知識(shí)點(diǎn)由三邊關(guān)系確定直角三角形

14、知1導(dǎo)做一做 下面的每組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a, b,c, 而且都滿足a2+b2=c2：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25. 分別以每組數(shù)為三邊長(zhǎng)畫出三角形，它們都是直角三角形嗎？你是怎么想的？與同伴進(jìn)行交流.知1講直角三角形的判定：如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b， c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形知1講2利用邊的關(guān)系判定直角三角形的步驟：(1)比較三邊長(zhǎng)a，b，c的大小，找出最長(zhǎng)邊(2)計(jì)算兩短邊的平方和，看它是否與最長(zhǎng)邊的平方 相等；若相等，則是直角三角形，且最長(zhǎng)邊所對(duì) 的角是直角；若不相等，則此三角形不是直角三 角形知1講 例1 一個(gè)零件的形狀如圖1

15、所示，按規(guī)定這個(gè)零 件中A和DBC都應(yīng)為直角.工人師傅量得 這個(gè)零件各邊尺寸如圖2所示，這個(gè)零件符 合要求嗎？圖2圖1知1講 解：在ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2， 所以ABD是直角三角形，A是直角. 在BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2， 所以BCD是直角三角形，DBC是直角. 因此，這個(gè)零件符合要求.知1講 例2 判斷滿足下列條件的三角形是不是直角三角形： (1)在ABC中，A25，C65； (2)在ABC中，AC12，AB20，BC16； (3)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足b2a2c2. 導(dǎo)引：判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，如果條件與角 相關(guān)，

16、則考慮用定義判斷，如果條件與邊相關(guān)， 則考慮用邊的關(guān)系判斷第(1)題可以直接根據(jù)直 角三角形的定義判斷；第(2)(3)題可以依據(jù)邊的關(guān) 系判斷知1講 解：(1)在ABC中，因?yàn)锳BC180， 所以B180256590. 所以ABC是直角三角形 (2)在ABC中，因?yàn)锳C2BC2122162202AB2， 所以ABC是直角三角形，且C為直角 (3)因?yàn)槿切蔚娜呴L(zhǎng)滿足b2a2c2，即b2a2c2， 所以此三角形是直角三角形，且b是斜邊長(zhǎng)警示：判斷一個(gè)三角形的形狀時(shí)，除考慮是否為直角三角形 外，還要考慮是否為等腰三角形總 結(jié)知1講 判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形有兩種方法：(1)利用定義，即如果

17、已知條件與角度有關(guān)，可借助三 角形的內(nèi)角和判斷；(2)利用直角三角形的判定條件，即若已知條件與邊有 關(guān)，一般通過(guò)計(jì)算得出三邊的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷，看 是否符合較短兩邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方知1練 (中考淮安)下列四組線段中，能組成直角三角形的 是() Aa1，b2，c3 Ba2，b3，c4 Ca2，b4，c5 Da3，b4，c51D知1練 3 如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則ABC是() A直角三角形 B銳角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形A2知識(shí)點(diǎn)勾股數(shù)知2講1. 勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù) 常見(jiàn)的勾股數(shù)有：3，4，5；5，12，13；8，15，17； 7，24，25

18、；9，40，41；.知2講2判斷勾股數(shù)的方法： (1)確定是不是三個(gè)正整數(shù)； (2)確定最大數(shù)； (3)計(jì)算：看較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方3易錯(cuò)警示：勾股數(shù)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件： (1)三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)； (2)兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方知2講 例3 下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是() A6，7，8 B5，8，13 C1.5，2，2.5 D21，28，35導(dǎo)引：根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2b2c2的三個(gè)正 整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù) A627282，不是勾股數(shù)，故錯(cuò)誤； B5282132，不是勾股數(shù)，故錯(cuò)誤； C1.5和2.5不是整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故錯(cuò)誤； D212282352

19、，是勾股數(shù)，故正確 D 總 結(jié)知2講 確定勾股數(shù)的方法： 首先看這三個(gè)數(shù)是不是正整數(shù)；然后看較小兩個(gè)數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方記住常見(jiàn)的勾股數(shù)(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解題速度知2講例4 觀察下面的表格所給出的三個(gè)數(shù)a，b，c，其中 abc. (1)試找出它們的共同點(diǎn)，并說(shuō)明你的結(jié)論； (2)當(dāng)a21時(shí)，求b，c的值3，4，53242525，1224，25722422529，40，4192402412a，b，ca2b2c2知2講導(dǎo)引：只要能夠發(fā)現(xiàn)每組三個(gè)數(shù)之間的規(guī)律即可，這就 需從不同的角度去觀察、分析，運(yùn)用從特殊到一

20、般的思想來(lái)解答 解： (1)各組數(shù)的共同點(diǎn)： 各組數(shù)均滿足a2b2c2； 最小數(shù)a是奇數(shù)，其余的兩個(gè)數(shù)b，c是連續(xù)的 正整數(shù)； 最小奇數(shù)的平方等于另外兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和知2講 由以上特點(diǎn)可猜想并說(shuō)明這樣一個(gè)結(jié)論： 設(shè)x為大于1的奇數(shù)，將x2拆分為兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和， 即x2y(y1)，則x，y，y1就能構(gòu)成一組勾股數(shù) 理由：因?yàn)閤2y(y1)(x為大于1的奇數(shù))， 所以x2y2y(y1)y2y22y1(y1)2. 所以x，y，y1是一組勾股數(shù)(2)運(yùn)用以上結(jié)論，當(dāng)a21時(shí)，212441220221. 所以b220，c221. 總 結(jié)知2講 尋找與大于且等于3的奇數(shù)組成勾股數(shù)的一種方法： 先選一

21、個(gè)大于1的奇數(shù)，然后把這個(gè)數(shù)的平方寫成兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和，則這個(gè)奇數(shù)和分成的兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)就構(gòu)成了一組勾股數(shù)，如4522 0251 0121 013，則45，1 012，1 013就是一組勾股數(shù)，運(yùn)用此法可以得到許多組勾股數(shù).知2練 1 下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是() A5，12，13 B7，24，25 C8，12，15 D3k，4k，5k(k為正整數(shù))C如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2 +b2=c2， 那么這個(gè)三角形是直角三角形.勾股數(shù)：滿足a2 +b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為 勾股數(shù).第一章 勾股定理1.3 勾股定理的應(yīng)用1課堂講解勾股定理及直角三角形的判定在求最值中的應(yīng)用勾股定理及

22、直角三角形的判定的實(shí)際應(yīng)用2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1、勾股定理的內(nèi)容是什么？2、勾股定理的逆定理是什么？復(fù)習(xí)提問(wèn)1知識(shí)點(diǎn)勾股定理及直角三角形的判定在求最值中的應(yīng)用知1導(dǎo)如圖所示，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm，底面上圓的周長(zhǎng)等于18cm.在圓柱下底面的點(diǎn)A有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食 物， 沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？（1）自己做一個(gè)圓柱，嘗試從點(diǎn)A到 點(diǎn)B沿圓柱側(cè)面畫出幾條路線， 你覺(jué)得哪條路線最短呢？知1導(dǎo)（2）如圖所示，將圓柱側(cè)面剪開(kāi)展成一個(gè)長(zhǎng)方形，從點(diǎn) A到點(diǎn)B的最短路線是什么？你畫對(duì)了嗎？（3）螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，想吃到點(diǎn)B處的食物，它沿圓柱側(cè) 面爬

23、行的最短路程是多少？知1講求圓柱側(cè)面上兩點(diǎn)間的最短路線長(zhǎng)的方法： 先將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，確定兩點(diǎn)的位置，兩點(diǎn)連接的線段即為最短路線，再在直角三角形中，利用勾股定理求其長(zhǎng)度即可知1講 例1 如圖，有一個(gè)圓柱形玻璃杯，高為12 cm，底面 周長(zhǎng)為18 cm，在杯內(nèi)離杯底4 cm的點(diǎn)C處有一滴 蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4 cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處， 則螞蟻到蜂蜜的最短路 線長(zhǎng)為_(kāi)15 cm知1講 導(dǎo)引： 化曲為直，即將圓柱側(cè)面適當(dāng)展開(kāi)成平面圖形， 再結(jié)合軸對(duì)稱的知識(shí)求解具體過(guò)程如下： 如圖，作CDFA于D，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A， 連接AC，與EF交于B，則ABC為最短路線 由題意知DC

24、9 cm，F(xiàn)D8 cm，F(xiàn)A4 cm， 在RtADC中， AC2AD2DC2(FAFD)2 DC2(48)292225152， 故AC15 cm. 因?yàn)锳BBCABBCAC， 所以最短路線長(zhǎng)為15 cm.2知識(shí)點(diǎn)勾股定理及直角三角形的判定的實(shí)際應(yīng)用知2講1.求長(zhǎng)方體(或正方體)表面上兩點(diǎn)間的最短路線長(zhǎng)的方法： 先將長(zhǎng)方體(或正方體)的表面展成平面圖形，展開(kāi)時(shí)一 般要考慮各種可能的情況在各種可能的情況中，分別 確定兩點(diǎn)的位置并連接成線段，再利用勾股定理分別求 其長(zhǎng)度，長(zhǎng)度最短的路線為最短路線知2講 例2 探究題如圖，長(zhǎng)方體的高為3 cm，底面是 正方形，其邊長(zhǎng)為2 cm.現(xiàn)有一只螞蟻從A處出 發(fā)

25、，沿長(zhǎng)方體表面到達(dá)C處，則螞蟻爬行的最 短路線的長(zhǎng)為() A4 cmB5 cm C6 cm D7 cmB知2講導(dǎo)引： 考慮將長(zhǎng)方體表面展開(kāi)成平面圖形的各種情 況，分類討論求解如圖，連接AC.在圖中， AC2(22)23225；在圖中，AC222(3 2)229.因?yàn)?925，所以螞蟻爬行的最短路線 的長(zhǎng)為5 cm.知2練 如圖，正方體的邊長(zhǎng)為1，一只螞蟻沿正方體的 表面從一個(gè)頂點(diǎn)A爬行到另一個(gè)頂點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短路程的平方是() A2 B3 C4 D5D知2導(dǎo)做一做 李叔叔想要檢測(cè)雕塑（如圖）底座正面的邊AD和邊BC是否分別 垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺.（1）你能替他想辦法完成任務(wù)

26、嗎？（2）李叔叔量得邊AD長(zhǎng)是30cm， 邊AB長(zhǎng)是40cm,點(diǎn)B,D之間的距 離是50cm,邊AD垂直于邊AB嗎?（3）小明隨身只有一個(gè)長(zhǎng)度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗(yàn) 邊AD是否垂直于邊AB嗎？邊BC與邊AB呢？1. 在解一些求高度、寬度、長(zhǎng)度、距離等的問(wèn)題時(shí)，首 先要結(jié)合題意畫出符合要求的直角三角形，也就是把 實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而把要求的量看作直角 三角形的一條邊，然后利用勾股定理進(jìn)行求解2. 在日常生活中，判斷一個(gè)角是否為直角時(shí)，除了用三 角板、量角器等測(cè)量角度的工具外，還可以通過(guò)測(cè)量 長(zhǎng)度，結(jié)合計(jì)算來(lái)判斷知2講知2講 例3 如圖是一個(gè)滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，

27、則剛好與AB一樣長(zhǎng).已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,試求滑道AC的長(zhǎng).解：設(shè)滑道AC的長(zhǎng)度為xm,則AB的長(zhǎng)度為xm, AE的長(zhǎng)度為（x1）m, 在RtACE中，AEC=90， 由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x1)2+32=x2, 解得x=5.故滑道AC的長(zhǎng)度為5m.知2講 例4 實(shí)際應(yīng)用題假期中，小明和同學(xué)們到某海島上 去探寶旅游，按照探寶圖，他們?cè)邳c(diǎn)A登陸后先 往東走8 km到達(dá)C處，又往北走了2 km，遇到障 礙后又往西走了3 km，再往北 走了6 km后往東拐，僅走了1 km就找到了藏寶點(diǎn)B，如圖， 登陸點(diǎn)A到藏寶點(diǎn)B的距離 是_知2講10km 知2講導(dǎo)引：如圖，過(guò)

28、點(diǎn)B作BDAC，垂足為D，連接AB， 則看圖可以得出AD，BD的長(zhǎng)度，在直角三角 形ABD中，AB為斜邊，根據(jù)勾股定理計(jì)算出 AB的長(zhǎng)即可知2練 (中考廈門)已知A，B，C三地位置如圖所示， C90，A，C兩地的距離是4 km，B，C兩地的距離是3 km，則A，B兩地的距離是_；若A地在C地的正東方向，則B地在C地的_方向15 km正北知2練 如圖，甲貨船以16 n mile/h的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，乙貨船以12 n mile/h的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開(kāi)港口3 h時(shí)兩船相距()A35 n mile B50 n mileC60 n mile D40 n mile2C

29、1解決實(shí)際問(wèn)題的方法是建立數(shù)學(xué)模型求解2在尋求最短路徑時(shí)，往往把空間問(wèn)題平面化， 利用勾股定理及其逆定理解決實(shí)際問(wèn)題全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用第一章 勾股定理1如圖，在RtABC中，C90，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，ADBD.若AB8，BD5，求CD的長(zhǎng)1考點(diǎn)一個(gè)定理勾股定理設(shè)CDx，在RtABC中，有AC2(CDBD)2AB2，整理，得AC2AB2(CDBD)264(x5)2.，在RtADC中，有AC2CD2AD2，整理，得AC2AD2CD225x2.由兩式，得64(x5)225x2，解得x1.4，即CD的長(zhǎng)是1.4.返回解：2如圖，在等腰直角三角形ABC中，ABC90，D為AC邊的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DEDF

30、，交AB于E，交BC于F.若AE4，F(xiàn)C3，求EF的長(zhǎng)解：如圖，連接BD.在等腰直角三角形ABC中，點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)，ADCD.又ABCB，BDBD，ABDCBD.ADBCDB90，ABDCBD45.又易知C45，ABDCBDC.過(guò)點(diǎn)D作DMBC于點(diǎn)M，則BDMCDM，BDCD.DEDF，BDAC，F(xiàn)DCBDFEDBBDF.FDCEDB.在EDB與FDC中， EDB C BD CD FDCEDBEDBFDC(ASA)BEFC3.AB7，則BC7，BF4.在RtEBF中，EF2BE2BF2324225，EF5.返回3張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計(jì)了如下數(shù)表：2考點(diǎn)一個(gè)判定直角三角形的判定

31、n2345a221321421521b46810c221321421521(1)請(qǐng)你分別探究a，b，c與n之間的關(guān)系，并且用含n(n1)的式子表示：a_，b_，c_；(2)猜想以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是否為直角三角形，并說(shuō)明理由n212n2n21是直角三角形理由如下：因?yàn)閍2b2(n21)2(2n)2n42n21，c2(n21)2n42n21，所以a2b2c2.所以以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形返回解：4閱讀理解并解答問(wèn)題如果a，b，c為正整數(shù)，且滿足a2b2c2，那么a，b，c叫做一組勾股數(shù)(1)請(qǐng)你根據(jù)勾股數(shù)的定義，說(shuō)明為什么3，4，5是一組勾股數(shù)；3考點(diǎn)一個(gè)概念勾股數(shù)(2)寫出

32、一組不同于3，4，5的勾股數(shù)；(3)如果m表示大于1的整數(shù)，且a2m，bm21，cm21，請(qǐng)你根據(jù)勾股數(shù)的定義，說(shuō)明a，b，c為勾股數(shù)(1)因?yàn)?，4，5是正整數(shù)，且324252，所以3，4，5是一組勾股數(shù)(2)因?yàn)?22162202，且12，16，20都是正整數(shù)，所以一組勾股數(shù)可以是12，16，20. (3)因?yàn)閙表示大于1的整數(shù)，所以由a2m，bm21，cm21可知解：a，b，c都為正整數(shù)又因?yàn)閍2b2(2m)2(m21)2m42m21，而c2(m21)2m42m21，所以a2b2c2.所以a，b，c為勾股數(shù)返回5如圖，長(zhǎng)方體的底面相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為1 cm和3 cm，高為6 cm，如果用

33、一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要多長(zhǎng)？如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)（方法一 化曲(折)為直法）4考點(diǎn)四種方法點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短時(shí)其長(zhǎng)度的平方是多少？解：將長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)，如圖所示AA13138(cm)，AB6 cm，AB2AA2AB28262102.AB10 cm.所以用一根細(xì)線從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，所用細(xì)線最短，需要10 cm.如果從點(diǎn)A開(kāi)始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短時(shí)，其長(zhǎng)度的平方為(8n)26264n236(cm2)返回6如圖，A，B兩個(gè)小鎮(zhèn)在河岸l的同側(cè)，到河岸的距離分別為AC10 km，BD30

34、 km，且CD30 km，現(xiàn)在要在河邊建一自來(lái)水廠，向A，B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬(wàn)元.請(qǐng)你在河岸上（方法二 對(duì)稱找點(diǎn)法）4考點(diǎn)四種方法選擇自來(lái)水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出最少的費(fèi)用是多少解：如圖，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB，交CD于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求連接AM，則MAMB最小作AEBD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.在RtABE中，AE30 km，BEBDDEBDAC40 km，由勾股定理得AB2AE2BE2302402502，AB50 km.MAMBAMBMAB50 km.鋪設(shè)水管的最少費(fèi)用為503150(萬(wàn)元)返回7如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，B

35、E，CE，將ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90到CBE的位置若AE1，BE2，CE3，求BEC的度數(shù)（方法三 旋轉(zhuǎn)法）4考點(diǎn)四種方法解：如圖，連接EE.由題意可知ABECBE，ECAE1，BEBE2，ABECBE.又ABEEBC90，CBEEBC90，即EBE90.在EEC中，EE2CE2BE2BE2CE29，EC29，EE2CE2EC2.EEC為直角三角形，且EEC90.又BEBE，EBE90，BEE 45.BECBEEEEC4590135.返回8已知等腰三角形ABC的底邊長(zhǎng)BC20 cm，D是AC上的一點(diǎn)，且BD16 cm，CD12 cm.(1)試說(shuō)明：BDAC；(2)求ABC的面積（方法四 化斜

36、為直法）4考點(diǎn)四種方法(1)122162202，CD2BD2BC2 ，BDC是直角三角形，且BDC90.BDAC.(2)設(shè)ADx cm，則AC(x12)cm.ABAC， AB(x12)cm.解：返回在RtABD中，AB2AD2BD2，所以(x12)2162x2.解得x .所以AC 12 (cm)所以ABC的面積 ACBD 16 (cm2)9如圖，有一塊直角三角形綠地，量得兩直角邊BC，AC的長(zhǎng)分別為6 m，8 m現(xiàn)要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以AC邊為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后的等腰三角形綠地的面積5考點(diǎn)兩個(gè)應(yīng)用（應(yīng)用1勾股定理的應(yīng)用）在RtABC中，ACB90，AC8 m，BC6

37、 m，由勾股定理得AB2AC2BC28262100，所以AB10 m.擴(kuò)充部分為RtACD，擴(kuò)充成等腰三角形ABD，應(yīng)分以下三種情況討論：解：(1)如圖，當(dāng)ABAD10 m時(shí)，因?yàn)锳CBC，所以CDCB6 m.所以SABD BDAC 12848(m2)(3)如圖，當(dāng)AB為底邊時(shí)，設(shè)ADBDx m，則CD(x6) m在RtACD中，有AC2CD2AD2，即82(x6)2x2.解得x .(2)如圖，當(dāng)ABBD10 m時(shí)，SABD BDAC 10840(m2)所以SABD BDAC 8 (m2)綜上所述，擴(kuò)充后的等腰三角形綠地的面積為48 m2或40 m2或 m2.返回10如圖，某工廠C前面有一條筆

38、直的公路，原來(lái)有兩條路AC，BC可以從工廠C到達(dá)公路，經(jīng)測(cè)量AC600 m，BC800 m，AB1 000 m，現(xiàn)需要修建一條路，使工廠C到公路（應(yīng)用2判定直角三角形的應(yīng)用）5考點(diǎn)兩個(gè)應(yīng)用的距離最短請(qǐng)你幫工廠C的負(fù)責(zé)人設(shè)計(jì)一種方案，并求出新建的路的長(zhǎng)解：過(guò)點(diǎn)C作公路AB的垂線，垂足為D，則線段CD即為新建的路因?yàn)锳C2BC2600280021 0002，AB21 0002，所以AC2BC2AB2.返回所以ABC為直角三角形，且ACB90.由三角形的面積公式知 ABCD ACBC，所以 1 000CD 600800.所以CD480 m，即新建的路的長(zhǎng)為480 m.11育英中學(xué)有兩個(gè)課外小組的同學(xué)

39、同時(shí)步行到校外去采集植物標(biāo)本，第一組的步行速度為30 m/min，第二組的步行速度為40 m/min，30 min后，兩組同學(xué)同時(shí)停下來(lái)，這時(shí)兩組同學(xué)相距1 500 m.(1)試判斷這兩組同學(xué)行走的方向是否成直角；(2)如果接下來(lái)這兩組同學(xué)以原來(lái)的速度相向而行，多長(zhǎng)時(shí)間后能相遇？(1)因?yàn)?0 min后，第一組行走的路程為3030900(m)，第二組行走的路程為40301200(m)，90021200215002，而此時(shí)兩組同學(xué)相距1500 m，所以兩組同學(xué)行走的方向成直角(2)設(shè)x min后兩組同學(xué)相遇根據(jù)題意，得30 x40 x1500.解：返回解這個(gè)方程，得x .即這兩組同學(xué)若以原來(lái)的速度相向而行， min后能相遇12如圖，將長(zhǎng)方形ABCD的邊AD沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處已知AB6，