函數(shù)的極值和最值及其應(yīng)用

1、 函數(shù)的極值和最值及其應(yīng)用 函數(shù)的極值和最值及其應(yīng)用函數(shù)極值的定義設(shè)函數(shù)f ( x)在x0附近有定義，如果對x0附近的所有的點，都有f xfx0，則f x0是函數(shù)f x的一個極大值。如果附近所有的點，都有 f xfx0，則f x0是函數(shù) f x的一個極小值，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。極值點只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點或?qū)?shù)為零的點中取得。若函數(shù)f在點x0處可導(dǎo)，且x0為f的極值點，則 f x00.這就是說可導(dǎo)函數(shù)在點取極值的必要條件是f x00.函數(shù)最值的定義設(shè)函數(shù)f x在X區(qū)間上有定義，如果存在一點x X0，使得f x0不小于其他所有的 f x，亦即f x0 f x , x X，則稱f x0是在 X

2、 上的最大值，又可記為fx0max fx；同樣使得f x0不大于其他所有的f x，亦即f xofx,xX，則稱f x0是在 X 上的最小值，又可記為f x0min fx.注意：函數(shù) f x在X上未必一定有最大（?。┲?。最值和極值的聯(lián)系與區(qū)別（1）極值一定是函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的最值；（2）極值未必是最值；（3）如果函數(shù)的最值在某個區(qū)間內(nèi)取得，那么該點一定是極值點。 函數(shù)極值、最值的求解方法1、降元法求多元函數(shù)極值的基本方法之一就是選擇兩個變量作為主元，而消去 其他變量，化為二元函數(shù)求解。1 / 6 2 2 y 5 x 25 函數(shù)的極值和最值及其應(yīng)用例 1：已知x y 2，求函數(shù)z y22 x2的極

3、值。解：由題設(shè)得y 2 x，代人y 2 2 x 2得z 2 x 2 x2 x 2 8x22802 2 2 x 22 2即函數(shù)的定義域為：22 2,22 2 當(dāng)x 2時，zmax2 2當(dāng)x 22 2 時， zmin02、轉(zhuǎn)化法在函數(shù)極值法不易直接求解的情況下，應(yīng)注意觀察題型結(jié)構(gòu)，分析題設(shè)特點，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解的問題，通過其他途徑求解。 下面二例的解法作為參考。例 2：求函數(shù)x210 x 50 x225的極小值.解：設(shè) 2x 2 25令z 5 x 5i, z x 5i 1 2則：y z z z z 5 10i 5 5 y 1 2 1 2 min5 5例 3：求函數(shù)y 1 sin x2

4、 cos x的極值解：原函數(shù)化為：2 y y cos x 1 sin x2 y 1 sin x y cos x 1 y2sin x ，其中tany 2 y 1 1 y2解得：0 y 43 ymin0, ymax433、換元法換元法是把問題進行轉(zhuǎn)化的一種常用方法。例 4：已知x22 y21 ，求 z 3 x 4 y的極值.解：y 2x 2 2 y 2 1, x 2 1122 / 6 4 zx z2 z 6 0 2 2 函數(shù)的極值和最值及其應(yīng)用令x cos, y 2 sin/202則z 3cos2 2 sin 17 cos（其中tan 2 23）cos1 z 17, zmin 17, zmax 1

5、7例 5：求函數(shù)y sin2x 3sin x 1的極值分析：本例可通過輔助元T sin x把所給函數(shù)化為二次函數(shù)：y T23T 1，即把上述極值問題轉(zhuǎn)化為拋物線y T 2 3T 1 在 1,1范圍內(nèi)求最高點和最低點的問題。此處不予以細致解答。4、判別式法若所給函數(shù)式（可加約束條件）如能轉(zhuǎn)化為以某個變量為主元的二次 方程，則可用判別式法求函數(shù)的極值。例 6：已知 x, y 滿足x 2 2 xy y 2 2 x 2 y 6 0 ，求 z x y的最小值.解：由z x y 得 y z x代人約束條件并以 x 為主元整理得：4 x22 x R , 16 z216 z2 2 z 6 0解得: z 3 2

6、（1）當(dāng)且僅當(dāng)x 4 *3 2 3 2 2 * 4 2時（1）式取等號。由 x, y 的對稱性知當(dāng)x y 3 22時，zmin3 2.或求函數(shù)y 6 x 2 4 x 3 3x 2 2 x 1的最大值2 y 725、不等式法例 7：已知 x, y 滿足x 2 4 y 2 2 x 16 y 9 0，求函數(shù)z x 2 y的極值。解：由已知式配方得：x 1 4 y 2 8 3 / 6（1）x 1 4 y 2 2 x 1 *2 y 2 z x 4 y 2 1 1 2 函數(shù)的極值和最值及其應(yīng)用 2 2 2x 1*2y 28（2）12得 x12y2216解得7 x 2 y 1, z 7, z 1.min m

7、ax其實，函數(shù)極值的解題方法不少 , 如三角法、參數(shù)法 ,極坐標(biāo)法、區(qū)間法等都有一定的技巧性 .解題時應(yīng)認(rèn)真分析 , 審查題目的特征、結(jié)構(gòu)、挖掘隱含條件,抓住特征,發(fā)揮聯(lián)想,運用靈活多變的替代、轉(zhuǎn)化,有時還需要反其常規(guī) , 逆向思維 , 以退為進選擇合理的解題方法 , 逐步提高解題技能 , 才能做 到準(zhǔn)確簡捷地解題.本文就此不做具體展示。6、幾何法例如：已知9 x 20 y 75 0，求函數(shù) 22x 4 y2的最小值。解：本題的幾何意義是在直線9 x 20 y 75 0上求一點 Q ，使得 Q 到點4,0,4,0的距離之和為最小。如圖：設(shè)：點P , P1 2坐標(biāo)為 4,0,4,0，直線l的方程

8、為9 x 20 y 75 0。由幾何光學(xué)原理知當(dāng)點光源從就是所求的最小值。P1射出后，經(jīng)鏡面 l 反射到點 P 。這時 PQ P Q MP2 1 2 2設(shè)點P2關(guān)于光線 l 的對稱點為 M x, y1 1，于是Zmin PQ P Q MP 1 2 2，由 y 201 ,x 4 9y 9 x 4 151 * 1 2 20 2 4解得202 120 x , y 37 37 z MPmin 2 202 120 4 37 37 2107、導(dǎo)數(shù)法4 / 6f x xf x 4 x函數(shù)的極值和最值及其應(yīng)用閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值來源于區(qū)間端點的函數(shù)值和函數(shù)在這個區(qū)間 上的極值，而極值又來源于 f x0的根處

9、的函數(shù)值。所以建議求可導(dǎo)函數(shù) 在閉區(qū)間a，b上的最值可分以下兩步步驟進行：1.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.求函數(shù)在a，b內(nèi)令 f x0的x的值（稱之為“駐點” ）3.判斷駐點左右兩側(cè)f x的正負(fù)，以此判斷函數(shù)曲線的走向（f x0為上升， f x0為下降），左邊上升、右邊下降的駐點處的函數(shù)值為極大值， 反之為極小值。4.如果函數(shù)駐點較多，分段討論，并可以列表、畫圖表達5. 求最大值，將所有極大值和函數(shù)定義域區(qū)間端點的函數(shù)值一起比較，取 最大的，則為最大值。最小值亦然。例： 求函數(shù) 42 x25在閉區(qū)間 -2 ，2 上的最大值和最小值。解：先求導(dǎo)數(shù)得： 34 x，令 f x0即，4x34 x 0解得x 1, x 0, x 1 1 2 3計算得： f 14,f05,f14,f 213,f213比較得fmax13, fmin4雙根式和或差的函數(shù)的最值問題：1、求函數(shù)u t 9 2t 32的最值；2、求函數(shù)u t 9 2t 32的最值；（單調(diào)性法）3、求函數(shù)u t 9 t 32的最值；（平方法、換元法）4、求函數(shù)u t 9 t 32的最值；（分子有理化