浙江專版2022學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例學(xué)案新人教A版必修4

1、（浙江專版）2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.5平面向量應(yīng)用舉例學(xué)案新人教A版必修4PAGE PAGE 392.5eq avs4al(平面向量應(yīng)用舉例)預(yù)習(xí)課本P109112，思考并完成以下問(wèn)題.(1)利用向量可以解決哪些常見(jiàn)的幾何問(wèn)題？ (2)如何用向量方法解決物理問(wèn)題？ (3)如何判斷多邊形的形狀？ eq avs4al(新知初探)1用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系2向量在物理中的應(yīng)用(1)物

2、理問(wèn)題中常見(jiàn)的向量有力、速度、位移等(2)向量的加減法運(yùn)算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解中(3)動(dòng)量mv是向量的數(shù)乘運(yùn)算(4)功是力F與位移s的數(shù)量積eq avs4al(小試身手)1若向量(2,2)，(2,3)分別表示兩個(gè)力F1，F(xiàn)2，則|F1F2|為()A(0,5)B(4，1)C2eq r(2) D5答案：D2在四邊形ABCD中，0，則四邊形ABCD是()A直角梯形 B菱形C矩形 D正方形答案：C3力F(1，2)作用于質(zhì)點(diǎn)P，使P產(chǎn)生的位移為s(3,4)，則力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)P做的功是_答案：11向量在幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)一：平面幾何中的垂直問(wèn)題1.如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中

3、點(diǎn)，求證：AFDE.證明：法一：設(shè)a，b，則|a|b|，ab0，又aeq f(1,2)b，beq f(1,2)a，所以eq blc(rc)(avs4alco1(bf(1,2)a)eq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)b)eq f(1,2)a2eq f(3,4)abeq f(1,2)b2eq f(1,2)|a|2eq f(1,2)|b|20.故，即AFDE.法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，(2,1)，(1，2)因?yàn)?2,1)(1，2)220，所以，即AFDE.題點(diǎn)二：平面幾何中的平行(或共線)問(wèn)題2.

4、 如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，且eq f(CE,ED)eq f(AF,FB)eq f(1,2).求證：點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一直線上證明：設(shè)m，n，由eq f(CE,ED)eq f(AF,FB)eq f(1,2)，知E，F(xiàn)分別是CD，AB的三等分點(diǎn)，eq f(1,3)eq f(1,2)eq f(1,3)meq f(1,2)(mn)eq f(1,6)meq f(1,2)n，eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,2)(mn)eq f(1,3)meq f(1,6)meq f(1,2)n.又O為和的公共點(diǎn)，故點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一直線上題點(diǎn)三：平面幾何中的長(zhǎng)度問(wèn)

5、題3.如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD1，AB2，對(duì)角線BD2，求對(duì)角線AC的長(zhǎng)解：設(shè)a，b，則ab，ab，而|ab|eq r(a22abb2)eq r(142ab)eq r(52ab)2，52ab4，abeq f(1,2)，又|2|ab|2a22abb2142ab6，|eq r(6)，即ACeq r(6).用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟向量在物理中的應(yīng)用典例(1)在長(zhǎng)江南岸某渡口處，江水以12.5 km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h.渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，其航向應(yīng)如何確定？(2)已知兩恒力F1(3,4)，F(xiàn)2(6，5)作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)A(20,15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7

6、,0)，求F1，F(xiàn)2分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功解(1) 如圖，設(shè)表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船實(shí)際垂直過(guò)江的速度因?yàn)?，所以四邊形ABCD為平行四邊形在RtACD中，ACD90，|12.5，|25，所以CAD30，即渡船要垂直地渡過(guò)長(zhǎng)江，其航向應(yīng)為北偏西30.(2)設(shè)物體在力F作用下的位移為s，則所做的功為WFs.(7,0)(20,15)(13，15)W1F1(3,4)(13，15)3(13)4(15)99(焦)，W2F2(6，5)(13，15)6(13)(5)(15)3(焦)一題多變1變?cè)O(shè)問(wèn)本例(2)條件不變，求F1，F(xiàn)2的合力F為質(zhì)點(diǎn)所做的功解：WF(F1F2)(3,4)(6，5)(13，

7、15)(9，1)(13，15)9(13)(1)(15)11715102(焦)2變條件本例(2)條件變?yōu)椋簝蓚€(gè)力F1ij，F(xiàn)24i5j作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)A(20,15)移動(dòng)到點(diǎn)B(7,0)(其中i，j分別是與x軸、y軸同方向的單位向量)求：F1，F(xiàn)2分別對(duì)該質(zhì)點(diǎn)做的功解：(7,0)(20,15)(13，15)，F(xiàn)1做的功W1F1sF1(1,1)(13，15)28(焦)F2做的功W2F2sF2(4，5)(13，15)23(焦)用向量方法解決物理問(wèn)題的“三步曲”層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1已知三個(gè)力f1(2，1)，f2(3,2)，f3(4，3)同時(shí)作用于某物體上一點(diǎn)，為使物體保持平衡，再加上一個(gè)力

8、f4，則f4()A(1，2)B(1，2)C(1,2) D(1,2)解析：選D由物理知識(shí)知f1f2f3f40，故f4(f1f2f3)(1,2)2人騎自行車的速度是v1，風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為()Av1v2 Bv1v2C|v1|v2| D.eq blc|rc|(avs4alco1(f(v1,v2)解析：選B由向量的加法法則可得逆風(fēng)行駛的速度為v1v2.注意速度是有方向和大小的，是一個(gè)向量3已知四邊形ABCD各頂點(diǎn)坐標(biāo)是Aeq blc(rc)(avs4alco1(1，f(7,3)，Beq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,3)，Ceq blc(rc)(avs4alco1(f(1

9、,2)，2)，Deq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，2)，則四邊形ABCD是()A梯形 B平行四邊形C矩形 D菱形解析：選Aeq blc(rc)(avs4alco1(2，f(8,3)，(3,4)，eq f(2,3)，即ABDC.又|eq r(4f(64,9)eq f(10,3)，|eq r(916)5，|，四邊形ABCD是梯形4在ABC中，AB3，AC邊上的中線BDeq r(5)，5，則的長(zhǎng)為()A1 B2C3 D4解析：選Beq f(1,2)，BD2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) )2eq f(1,4)，即eq f(1,4)1.|2，即AC2.5已

10、知ABC滿足，則ABC是()A等邊三角形 B銳角三角形C直角三角形 D鈍角三角形解析：選C由題意得，2()2，0，ABC是直角三角形6已知力F(2,3)作用于一物體，使物體從A(2,0)移動(dòng)到B(2,3)，則力F對(duì)物體所做的功是_解析：(4,3)，WFsF(2,3)(4,3)891.答案：17用兩條成120角的等長(zhǎng)繩子懸掛一個(gè)燈具，已知燈具重量為10 N，則每根繩子的拉力大小為_(kāi) N.解析： 如圖，由題意，得AOCCOB60，|10，則|10，即每根繩子的拉力大小為10 N.答案：108已知A，B是圓心為C，半徑為eq r(5)的圓上的兩點(diǎn)，且|AB|eq r(5)，則_.解析：由弦長(zhǎng)|AB|

11、eq r(5)，可知ACB60，|cosACBeq f(5,2).答案：eq f(5,2)9已知ABC是直角三角形，CACB，D是CB的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE2EB.求證：ADCE.證明：如圖，以C為原點(diǎn)，CA所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)ACa，則A(a,0)，B(0，a)，Deq blc(rc)(avs4alco1(0，f(a,2)，C(0,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)a，f(2,3)a).所以eq blc(rc)(avs4alco1(a，f(a,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)a，f(2,3)a).所以aeq f

12、(1,3)aeq f(a,2)eq f(2,3)a0，所以，即ADCE.10已知點(diǎn)A(2，1)求過(guò)點(diǎn)A與向量a(5,1)平行的直線方程解：設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x，y)，則(x2，y1)由題意知a，故5(y1)(x2)0，即x5y70.故過(guò)點(diǎn)A與向量a(5,1)平行的直線方程為x5y70.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1已知一條兩岸平行的河流河水的流速為2 m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船在靜水中的速度大小為()A10 m/sB2eq r(26) m/sC4eq r(6) m/s D12 m/s解析：選B設(shè)河水的流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，船的實(shí)際速度為v，則

13、|v1|2，|v|10，vv1，v2vv1，vv10，|v2|eq r(v22vv1voal(2,1)2eq r(26)(m/s)2在ABC中，AB3，AC2，eq f(1,2)，則的值為()Aeq f(5,2) B.eq f(5,2)Ceq f(5,4) D.eq f(5,4)解析：選C因?yàn)閑q f(1,2)，所以點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，則eq f(1,2)()，eq f(1,2)eq f(1,2)()，所以eq f(1,2)()eq f(1,2)()eq f(1,4)()eq f(1,4)(2232)eq f(5,4)，選C.3.如圖，在矩形ABCD中，ABeq r(2)，BC2，點(diǎn)E為BC的中

14、點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若eq r(2)，則的值是()A.eq r(2) B2C0 D1解析：選A，()eq r(2)|eq r(2)，|1，|eq r(2)1，()()eq r(2)(eq r(2)1)122eq r(2)2eq r(2)，故選A.4.如圖，設(shè)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，且220，則SABPSABC()A.eq f(1,5) B.eq f(2,5)C.eq f(1,4) D.eq f(1,3)解析：選A設(shè)AB的中點(diǎn)是D.2eq f(1,2)，eq f(1,4)，P為CD的五等分點(diǎn)，ABP的面積為ABC的面積的eq f(1,5).5若O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足()(2)0，則ABC的形

15、狀為_(kāi)解析：()(2)()()()()|2|20，|.答案：等腰三角形6.如圖所示，在傾斜角為37(sin 370.6)，高為2 m的斜面上，質(zhì)量為5 kg的物體m沿斜面下滑，物體m受到的摩擦力是它對(duì)斜面壓力的0.5倍，則斜面對(duì)物體m的支持力所做的功為_(kāi)J，重力所做的功為_(kāi)J(g9.8 m/s2)解析：物體m的位移大小為|s|eq f(2,sin 37)eq f(10,3)(m)，則支持力對(duì)物體m所做的功為W1Fs|F|s|cos 900(J)；重力對(duì)物體m所做的功為W2Gs|G|s|cos 5359.8eq f(10,3)0.698(J)答案：0987.如圖所示，一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力

16、F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的作用，沿北偏東45的方向移動(dòng)了8 m，其中|F1|2 N，方向?yàn)楸逼珫|30；|F2|4 N，方向?yàn)楸逼珫|60；|F3|6 N，方向?yàn)楸逼?0，求合力F所做的功 解：以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則F1(1，eq r(3)，F(xiàn)2(2eq r(3)，2)，F(xiàn)3(3,3eq r(3)，所以FF1F2F3(2eq r(3)2,24eq r(3)又位移s(4eq r(2)，4eq r(2)，故合力F所做的功為WFs(2eq r(3)2)4eq r(2)(24eq r(3)4eq r(2)4eq r(2)6eq r(3)24eq r(6)(J)即合力F

17、所做的功為24eq r(6) J.8.如圖，平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，G為BE與DF的交點(diǎn)若a，b.(1)試以a，b為基底表示，；(2)求證：A，G，C三點(diǎn)共線解：(1)eq f(1,2)ba，eq f(1,2)ab.(2)證明：因?yàn)镈，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則DG，即eq f(1,2)a(1)b.因?yàn)锽，G，E三點(diǎn)共線，則BG，即(1)aeq f(1,2)b，由平面向量基本定理知eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)1，,1f(1,2)，)解得eq f(2,3)，eq f(1,3)(ab)eq f(1,3)，所以A，G，C三點(diǎn)共線 (時(shí)間120分鐘滿分150

18、分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.在五邊形ABCDE中(如圖)，()ABC D解析：選B.2已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于()A5 B.eq r(13)C.eq r(17) D13解析：選B因?yàn)閍b(3,2)，所以|ab|eq r(3222)eq r(13)，故選B.3設(shè)向量a，b均為單位向量，且|ab|1，則a與b的夾角為()A.eq f(,3) B.eq f(,2)C.eq f(2,3) D.eq f(3,4)解析：選C|ab|1，|a|22ab|b|21，cosa，beq f(1,2).

19、又a，b0，a，beq f(2,3).4已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，則()A4 B3C2 D1解析：選B因?yàn)閙n(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23,3)(1，1)260，解得3.5如圖，M，N分別是AB，AC的一個(gè)三等分點(diǎn)，且()成立，則()A.eq f(1,2) B.eq f(1,3)C.eq f(2,3) Deq f(1,3)解析：選B由eq f(1,3)，且，得eq f(1,3).6設(shè)點(diǎn)A(1,2)，B(2,3)，C(3，1)，且23，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A(2,16) B(2，16)C(4,16) D(2,0)解析：選

20、A設(shè)D(x，y)，由題意可知(x1，y2)，(3,1)，(1，4)，232(3,1)3(1，4)(3,14)eq blcrc (avs4alco1(x13，,y214，)eq blcrc (avs4alco1(x2，,y16.)故選A.7某人在靜水中游泳，速度為4eq r(3) km/h，水流的速度為4 km/h.他沿著垂直于對(duì)岸的方向前進(jìn)，那么他實(shí)際前進(jìn)的方向與河岸的夾角為()A90 B30C45 D60解析： 選D如圖，用表示水速，表示某人垂直游向?qū)Π兜乃俣?，則實(shí)際前進(jìn)方向與河岸的夾角為AOC.于是tanAOCeq f(|,| |)eq f(|,| |)eq f(|v靜|,|v水|)eq

21、r(3)，AOC60，故選D. 8設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且2，2，2，則與 ()A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直解析：選A()()()eq f(1,3)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3) )eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,3)，()與平行且方向相反9設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量()A若|ab|a|b|，則abB若ab，則ab|a|b|C若|ab|a|b|，則存在實(shí)數(shù)，使得baD若存在實(shí)數(shù)，使得ba，則|ab|a|b|解析：選C若|ab|a|b|，則a，b共線，即存在實(shí)數(shù)，使得ab

22、，故C正確；選項(xiàng)A：當(dāng)|ab|a|b|時(shí)，a，b可為異向的共線向量；選項(xiàng)B：若ab，由矩形得|ab|a|b|不成立；選項(xiàng)D：若存在實(shí)數(shù)，使得ba，a，b可為同向的共線向量，此時(shí)顯然 |ab|a|b|不成立10已知點(diǎn)O，N，P在ABC所在的平面內(nèi)，且|，0，則點(diǎn)O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、內(nèi)心C外心、重心、垂心 D外心、重心、內(nèi)心解析：選C因?yàn)閨，所以點(diǎn)O到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，所以O(shè)為ABC的外心；由0，得，由中線的性質(zhì)可知點(diǎn)N在AB邊的中線上，同理可得點(diǎn)N在其他邊的中線上，所以點(diǎn)N為ABC的重心；由得0，則點(diǎn)P在AC邊的垂線上，同理可得點(diǎn)P在其他邊的垂

23、線上，所以點(diǎn)P為ABC的垂心11已知平面上直線l與e所在直線平行且eeq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(3,5)，點(diǎn)O(0,0)和A(1，2)在l上的射影分別是O和A，則e，其中等于()A.eq f(11,5) Beq f(11,5)C2 D2解析：選D由題意可知|cos()(為與e的夾角)O(0,0)，A(1，2)，(1，2)eeq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)，f(3,5)，e1eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,5)(2)eq f(3,5)2|e|cos ，|cos 2.又|e|，2.又由已知可得0，則ABC為銳角三角形其中正確的

24、命題有()A BC D解析：選C，錯(cuò)誤0，正確由()()0，得|，ABC為等腰三角形，正確0cos，0，即cos A0，A為銳角，但不能確定B，C的大小，不能判定ABC是否為銳角三角形，錯(cuò)誤，故選C.二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分把答案填在題中的橫線上)13平面向量a，b滿足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，則向量a，b的夾角為_(kāi)解析：(ab)(a2b)|a2|ab2|b|21ab87，ab0，ab.故a，b的夾角為eq f(,2).答案：eq f(,2)14已知向量a，b的夾角為120，|a|1，|b|3，則|5ab|_.解析：|5ab|eq r(|5ab|2)eq r(5ab2)eq r(25a2b210ab) eq r(2591013blc