指數(shù)模型及其Python應(yīng)用

1、第7章 指數(shù)模型及其Python應(yīng)用【本章精粹】本章針對均值方差模型所存在的缺點(diǎn)，介紹單指數(shù)模型，并討論指數(shù)模型環(huán)境下 是如何分散風(fēng)險(xiǎn)的，最后討論指數(shù)模型的證券特征線的估計(jì)及其 Python 應(yīng)用。7.1單指數(shù)模型在馬柯維茨的均值-方差模型的討論中，各資產(chǎn)間的協(xié)方差我們可以作任何假定，它們 可以是由資產(chǎn)間存在的任意數(shù)量和種類的關(guān)系產(chǎn)生，而且在計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)時(shí)所用的公式a2(r) = XTVX中，我們必須對所選擇的資產(chǎn)間的協(xié)方差進(jìn)行估計(jì)。如果資產(chǎn)數(shù)目太大，我 P們就必須進(jìn)行大量的協(xié)方差估計(jì)，使得在計(jì)算任一給定投資組合的方差時(shí)，需要花費(fèi)大量時(shí)間。E(r ) = xE(r)iixx p b bi k ik

2、 i ki=1i =1i=1 k =1,k 豐 i公式中，如果投資者考慮的是由n種資產(chǎn)構(gòu)成的組合，那么在求解有效資產(chǎn)組合時(shí)，需要掌握三個(gè)方面的基本數(shù)據(jù):每一資產(chǎn)的平均收益率E(r)，共需n個(gè)；每一資產(chǎn)收益方差b 2，共需個(gè)；i每一對資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)p，共需n*(n-1)/2個(gè)。ik總計(jì)需要2n+n*(n-1)/2個(gè)基礎(chǔ)性數(shù)據(jù)。對于每天追蹤3050種股票的投資機(jī)構(gòu)來說， 每天需要處理4951325個(gè)數(shù)據(jù)；對于每天追蹤150250種股票的投資機(jī)構(gòu)來說，每天需 要處理1147531625個(gè)數(shù)據(jù)；顯然，這對各種投資者來說都是一件非常耗時(shí)的事情。那么， 如何使投資組合理論和方法有效實(shí)用、簡便易行、真正

3、為金融財(cái)務(wù)工作者服務(wù)，就成了金融 財(cái)務(wù)經(jīng)濟(jì)學(xué)家極為關(guān)心的問題。單指數(shù)模型能幫助我們克服這一困難，使得確定投資組合的 方差計(jì)算過程變得簡單。在股票市場中，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)市場投資組合如股票市場指數(shù))的收益率顯著上升或下降 時(shí)，幾乎所有股票的收益率都隨之上升或下降。雖然可能有一些股票的收益率比另一些股票 的收益率上升或下降得要快，但總的來說都是呈相同趨勢變化。這意味著，市場投資組合收 益率的變化能充分反映各種資產(chǎn)的共同變化趨勢。因此對各個(gè)資產(chǎn)收益率之間的協(xié)方差的計(jì) 算，可以用每一資產(chǎn)收益率與市場投資組合收益率之間的協(xié)方差代替。單指數(shù)模型就是在假 定資產(chǎn)的收益率只受市場投資組合即單指數(shù)收益率的影響下確定

4、投資組合的權(quán)重。設(shè)資產(chǎn)的收益率具有簡單的線性結(jié)構(gòu)，即其收益率r和市場投資組合收益率成具有關(guān) 系式r=a+0 r + ei i i M i其中a，&為待估參數(shù)，e為殘差。假定市場中有n種資產(chǎn)，則按上述結(jié)構(gòu)，第i種資產(chǎn)的收益率滿足r =a + p r + e，已1,2,n；，=1,2,Nit i i Mt it在單指數(shù)模型的討論中，假定影響各個(gè)資產(chǎn)收益率的因素有兩類：第一類為宏觀因素。例如通貨膨脹率、主要利率的變化、就業(yè)率等，在任何情況下，這 些因素的影響都是相當(dāng)大的，幾乎所有企業(yè)、所有公司都不同程度地受到它們的影響，會引 起資產(chǎn)價(jià)格總體水平的變化，再通過市場的推動(dòng)，會影響到市場投資組合收益率水平

5、，進(jìn)而 影響到各資產(chǎn)的收益率。因此宏觀因素影響整個(gè)市場的收益率。第二類為微觀因素。例如一種新產(chǎn)品的推出或老產(chǎn)品的淘汰、局部地區(qū)或一個(gè)公司主要 領(lǐng)導(dǎo)的變化，它們都只對個(gè)別企業(yè)或公司產(chǎn)生影響而不會影響到市場投資組合的收益率，從 而使個(gè)別資產(chǎn)的收益率偏離市場特征線，出現(xiàn)殘差。所以微觀因素僅影響個(gè)別資產(chǎn)的收益率。其他類型的因素在單指數(shù)模型中不予考慮。例如行業(yè)因素，某些事件對某一行業(yè)內(nèi) 的所有企業(yè)產(chǎn)生影響，但卻不足以影響到整個(gè)經(jīng)濟(jì)形勢或市場投資的收益率。雖然這類因素也能引起殘差，但我們假定殘差只由微觀因素所致。從而我們有如下假設(shè)，對資產(chǎn)ij=1,2,n，有cov(e , e.) = 0,( i 豐 j)

6、 TOC o 1-5 h z 同時(shí)我們還假定7E(e ) = 0(7-1)i HYPERLINK l bookmark99 o Current Document cov(e , e ) = 0(7-2)式(7-1)說明在任一時(shí)期殘差可能為正，也可能為負(fù)，但期望值為零。式(7-2 )說明資產(chǎn)殘差與市場投資組合收益率不相關(guān)，即它與市場投資組合是多頭或空頭 (銷售方)無關(guān)，不因?yàn)槭袌鐾顿Y組合為多頭(購入方)而成正值，也不因?yàn)槭袌鐾顿Y組合為空 頭而為負(fù)值。由單指數(shù)模型結(jié)構(gòu)假設(shè)r =a +p r + e和以上各項(xiàng)假設(shè)有it i i Mt itE(r) =a +P E(r )(7-3)由r=a+8 r +

7、 e和式(脂)可得 rr ei i i M ir = E(r) + P r 一 E(r ) + e = E(r) +。m + e TOC o 1-5 h z ii i MM ii i i即：r = E(r) + P m + eii i i這是指數(shù)模型的另一種假設(shè)，即任意資產(chǎn)的收益率由期望收益率和非期望收益率組成。 在下一章的套利定價(jià)理論假設(shè)中，我們要將這里的m替換成F。B(r) = Er - E(r)2 EP (r - E(r ) + e 2i i ii M M i(7-4)P 2b 2(r ) +b 2(e )cov(r, r ) = Er - E(r )r - E(r ) HYPERLIN

8、K l bookmark123 o Current Document j = E(P r -E(r ) + e P r -E(r ) + e )(7-5)i MM i j MM j=P P b2(r )cov(r, r ) = Er 一 E(r )r 一 E(r ) HYPERLINK l bookmark132 o Current Document =EP r -iE(r ) + e r 一E(r )(7-6)i MM i MM=Pb2(r )從而P - (7-7)ib2(r )式(7-3)給出了資產(chǎn)i的特征方程，式(7-7)表明特征方程中的P系數(shù)即模型結(jié)構(gòu)中rM 的系數(shù)恰好為資產(chǎn)i的風(fēng)險(xiǎn)P

9、系數(shù)。式(7-4)給出了資產(chǎn)i收益率的方差，它刻畫出了資 產(chǎn)i的風(fēng)險(xiǎn)，式(7-4)右邊的第一項(xiàng)稱為資產(chǎn)投資的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)?？梢钥醋魇桥c整個(gè)市場組 合有關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)。它是由市場投資組合中各資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)共同作用產(chǎn)生的，是所有資產(chǎn)無法 避免的風(fēng)險(xiǎn)。式(7-4)右邊第二項(xiàng)稱為殘差方差或非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，可以看作是由微觀因素所 帶來的風(fēng)險(xiǎn)，它僅影響到個(gè)別資產(chǎn)，是可以通過投資組合而消去的風(fēng)險(xiǎn)。因此式 (7-4)b 2(r) P2b2(r ) + b2(e )表明：i i Mi資產(chǎn)總體風(fēng)險(xiǎn)=系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)+非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)另外，系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)本身是兩項(xiàng)之積，第一項(xiàng)是資產(chǎn)的P因子，它表示資產(chǎn)收益率隨市場投 資組合的變動(dòng)而受影響的程度，第二項(xiàng)是

10、市場投資組合收益率的方差，表示市場投資組合收 益率的變化幅度。第二項(xiàng)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，即殘差方差，表示資產(chǎn)收益率由于偏離了特征線而引 起的那部分方差的大小。在單指數(shù)模型的假設(shè)下，資產(chǎn)收益率的總體方差來自兩部分：一部 分是特征線的變動(dòng)(即系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn))，另一部分是各點(diǎn)偏離特征線的程度(即非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn))。下面考慮在單指數(shù)模型下投資組合的結(jié)構(gòu)。設(shè)滿足單指數(shù)模型的n種資產(chǎn)的投資組合，則投資組合仍有單指數(shù)結(jié)構(gòu):r =xr =Zx a + HYPERLINK l bookmark67 o Current Document Pi ii i HYPERLINK l bookmark150 o Current Docume

11、nt i=1i=1E(r ) = ZxE(r) = Zxa +Pi iii =1i =1簡寫為：R =a +0 R + eP P PM P0 = cov(r ,r )/b2(rr + Exei=1Ex.E(e)i=1i IXj 0. IE(r ) +i=1/(7-8)罕,rX i=1=Ex cov(r,r )/b2(r ) = Ex 0i = 1由，、和式(7-1)，式(7-2),有cov(e , e ) = 0(i 豐 j)七 7 七 7i j)=cov(7-9)b2(r ) =Q2=%xi i=1Zxa +1- i=1X.*. I b2r)+i=1/i=1、 pi I+ Zxeii i=1

12、(7-10)Zx2b2(e)i=1在單指數(shù)模型下，式(7-8)表明投資組合仍具有同類的單指數(shù)結(jié)構(gòu)，式(7-9)表明投資組合 的0因子為各資產(chǎn)0因子的加權(quán)平均，而式(7-10)表明投資組合的方差(風(fēng)險(xiǎn))與單種資產(chǎn)類似，仍由兩部分構(gòu)成，第一項(xiàng)是由市場投資組合方差反映的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，第二項(xiàng)反映的是組 合中各資產(chǎn)非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的加權(quán)平均(以，2為權(quán)重)。X 2i通過以上討論，在單指數(shù)模型下，馬柯維茨組合投資模型為r ) + 乙 X2b 2(e.)(7-11)minb2(r ) = (Ex0 )2b2(r ) + EPi ii=1=Ex a +iii=1i=1”i=1s.t.|t|95.0% Conf. In

13、t.const-0.00050.007-0.0640.950-0.0170.016x11.17040.3483.3610.0080.3831.958Omnibus:0.763Durbin-Watson:2.191Prob(Omnibus):0.683Jarque-Bera (JB):0.195Skew:0.318Prob(JB):0.907Kurtosis:2.849Cond. No.47.1通過觀察上面的結(jié)果，可以看出模型的F值為11.30, P值為0.008，說明該模型整體 上是顯著的。模型的可決系數(shù)R-squared= 0.557，修正的可決系數(shù)Adj. R-squared=0.507，

14、說 明模型的解釋能力是比較好的。從上述結(jié)果可以看出，r =a +p r + =_0.0005 +1.1704 + e。111 M 11可見，a =0.0005； P = 1.1704。11對于證券2、證券3、證券4可做類似的討論。思考題假設(shè)用指數(shù)模型估計(jì)的股票A和股票B的超額收益的結(jié)果如下：R = 1.0% + 0.9 R + eR =2.0% + 1.1R + eAM Bb = 20%，b (e ) = 30%，b (e ) = 10%計(jì)算每只股票的標(biāo)準(zhǔn)差和它們之間的協(xié)方差。對股票A和股票B分析估計(jì)的指數(shù)模型結(jié)果如下：R = 0.12 + 0.6 R + e R = 0.04 +1.4 R + eAMABM Bb = 0.26b(e)=0. 20b(e)= 0. 10MAB股票A和股票B收益之間的協(xié)方差是多少？每只股票