【新教材】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)6.1平面向量的概念 基礎(chǔ)練習(xí)-【含答案】

1、6.1 平面向量的概念 基礎(chǔ)練習(xí)一、單選題1.有下列說法： 若兩個(gè)向量不相等，則它們一定不共線；若四邊形 ABCD 是平行四邊形，則 AB=CD ；若 a/b ， b/c ，則 a/c ；若 AB=CD ，則 |AB|=|CD| 且 AB/CD 其中正確說法的個(gè)數(shù)是（ ）A.0B.1C.2D.32.已知向量 a=(cos75,sin75),b=(cos15,sin15) ，則 |ab| 的值為（ ） A.12B.1C.2D.33.已知 A(0,1) ， B(0,3) ，則 |AB|= （ ） A.2B.10C.4D.2104.已知平面向量 a=(sin,2019) ， b=(cos,2020)

2、 ，若 a/b ，則 tan= （ ） A.20192020B.20202019C.20192020D.202020195.已知 |a|=|b|=2 ， ab=2 若 |cab|=1 ，則 |c| 的取值范圍是（ ） A.12，32B.12，52C.2，3D.1，36.已知 a ， b 是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且 c a = c b =1，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t，| c +t a + 1tb |的最小值是（ ） A.2B.2 2C.4D.4 27.已知點(diǎn)A（1，2），B（3，7），向量 a =(x,1),AB a ，則（ ） A.x=25 ，且 AB 與 a 方向相同B.x=25 ，且 AB 與

3、 a 方向相同C.x=25 ，且 AB 與 a 方向相反D.x=25 ，且 AB 與 a 方向相反8.下列各組向量中，可以作為基底的是（ ） A.e1=(0,0) ， e2=(1,2)B.e1=(1,2) ， e2=(5,7)C.e1=(3,5) ， e2=(6,10)D.e1=(2,3) ， e2=(12,34)9.設(shè)四邊形ABCD中，有 DC = 12AB 且| AD |=| BC |，則這個(gè)四邊形是（ ） A.平行四邊形B.矩形C.等腰梯形D.菱形10.已知向量 a 與 b 不共線， AB=a+mb ， AC=na+b （m，nR），則 AB 與 AC 共線的條件是（ ） A.m+n=0

4、B.mn=0C.mn+1=0D.mn1=011.如圖，在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足 AE =m AB ， AF =n AC ，其中m，n（0，1），m+n=1，M，N分別是EF，BC的中點(diǎn)，則| MN |的最小值為（ ） A.24B.33C.34D.5312.已知向量 a =（2，1）， b =（1，x），若 a + b 與 2ab 平行，則實(shí)數(shù)x的值是（ ） A.2B.12C.1D.213.下列命題中：若 a b =0，則 a = 0 或 b = 0 ；若| a |=| b |，（ a + b ）（ a b ）=0；若 a b = a c ，則 b

5、= c ；若 a b ， b c ，則 a c ；其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）A.1B.2C.3D.414.如圖，在ABC中，AD，BE，CF分別是BC，CA，AB上的中線，它們交于點(diǎn)G，則下列各等式中不正確的是（ ） A.BG=23BEB.CG=12AGC.DG=12AGD.GA+GB+GC=015.設(shè) a ， b 都是非零向量，那么命題“ a 與 b 共線”是命題“| a + b |=| a |+| b |”的（ ） A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件16.下列命題正確的是（ ）A.向量 a 與 b 不共線，則 a 與 b 都是非零向量B.任意兩個(gè)相等的非零向量

6、的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C.a與 b 共線， b 與 c 共線，則 a 與 c 也共線D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行17.下列向量中不是單位向量的是（ ）A.（1，0）B.（1，1）C.（cosa，sina）D.a|a|（| a |0）18.下列說法正確的是（ ） A.向量 AB CD 就是 AB 所在的直線平行于 CD 所在的直線B.共線向量是在一條直線上的向量C.長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量D.零向量長(zhǎng)度等于019.設(shè)a,b是向量，則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（ )A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件20.已知

7、AB=(4,1)，BC=(-1,k)若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k的值為（）A.4B.-4C.-14D.14二、解答題21.已知向量 a=(1,2) ， b=(2sin,cos) ，且 ab .求： （1）|b| ； （2）sin(2+4) . 22.已知 a =（x，1）， b =（4，2）（）當(dāng) a b 時(shí)，求| a + b |；（）若 a 與 b 所成角為鈍角，求x的范圍 23.已知向量 a =（sin x2 ，sin 3 ）， b =（cos x2 ，cos 3 ），且向量 a 與向量 b 共線 （1）求證：sin（ x2 3 ）=0； （2）若記函數(shù)f（x）=sin（ x2 3 ），

8、求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程； （3）求f（1）+f（2）+f（3）+f（2013）的值； （4）如果已知角0AB，且A+B+C=，滿足f（ 4A ）=f（ 4B ）= 12 ，求 sinBsinC 的值 答案解析部分一、單選題1. A 對(duì)于，當(dāng)兩個(gè)向量不相等時(shí)，可能方向相反，所以可能共線，故不正確； 對(duì)于，若四邊形 ABCD 是平行四邊形，則 AB=DC ，故不正確；對(duì)于，當(dāng) b=0 時(shí)， a 與 c 可以不共線，故不正確；對(duì)于，“若 AB=CD ，則 |AB|=|CD| 且 AB/CD 或 AB 與 CD 在一條直線上”，故不正確.故A.2. B 因?yàn)?|a|=1,|b|=1,ab=cos7

9、5cos15+sin75sin15=cos60=12 ，所以 |ab|=(ab)2=12212+12=1 ， 故B.3. C 因?yàn)?A(0,1) ， B(0,3) ，所以 AB=(0,4) ， 則 |AB|=4 .故C.4. A 解: a/b , 2020sin2019cos=0 , sincos=20192020 , tan=20192020 .故A.5. D 因?yàn)?|a|=|b|=2 ， ab=2 ，所以 |a+b|2=|a|2+|b|2+2ab=4+44=4 ， 即 |a+b|=2 ，當(dāng) c 與 a+b 同向時(shí)， |c(a+b)| 最??；當(dāng) c 與 a+b 反向時(shí)， |cab| 最大，又

10、 |cab|=1 ，所以 1|c|a+b|1 ，即 1|c|3 .故D6.B 解： ab =0， |a|=|b|=1 ， ca=cb=1 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，取 a=(1，0) ， b=(0，1) 設(shè) c=(x，y) ，（x，y）（1，0）=（x，y）（0，1）=1x=y=1 c=(1，1) |c|=2 t0 |c+ta+1tb| = c2+t2a2+1t2b2+2tac+2tbc+2ab = 2+2(t+1t)+t2+1t22+4+2 = 22 ，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)故選：B7. D 解：因?yàn)?A(1,2),B(3,7) ，所以 AB=(2,5) ，a=(x,1),AB/a ，可得

11、5x=2 ，解得 x=25 ，a=(25,1) 與 AB 方向相反，故D.8. B A 選項(xiàng)中，零向量與任意向量都共線，A不符合題意；B 選項(xiàng)中，不存在實(shí)數(shù) ，使得 e1=e2 ，故兩向量不共線，B符合題意；C 選項(xiàng)中， e2=2e1 ，兩向量共線，C不符合題意；D 選項(xiàng)中， e1=4e2 ，兩向量共線，D不符合題意；故 B9.C 解： DC = 12 AB ， DCAB，且DCAB又| AD |=| BC |，四邊形為等腰梯形故選C10.D 解：由 AB=a+mb ， AC=na+b(m，nR) 共線， 得 a+mb=(na+b) ，即mn1=0，故選：D11.C 解：因?yàn)?AE =m AB

12、 ， AF =n AC ，其中m，n（0，1），m+n=1，M，N分別是EF，BC的中點(diǎn) 所以 MN=ANAM = 12 （ AB+AC ） 12 （ AE+AF ）= 12 （1m） AB +12 （1n） AC ，又m+n=1，所以 MN=12(1m)AB+12mAC ，所以| MN |2= 14(1m)2AB2+14m2AC2 + 12(1m)mABAC ，ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，所以上式整理得| MN |2= 14(1m)2+14m2+14(1m)m = 14(112m)2+316 ，所以當(dāng)m= 12 時(shí)，| MN |2最小值為 316 ，所以| MN |的最小值為 34 ；故選

13、C12.B 【考點(diǎn)】平行向量與共線向量 解： a + b =（3，1+x）， 2ab =（3，2x）， a + b 與 2ab 平行，3（1+x）3（2x）=0，解得x= 12 故選：B13. A 解：對(duì)于，當(dāng) a b =0時(shí)， a = 0 或 b = 0 或 a b ，錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)| a |=| b |時(shí)，（ a + b ）（ a b ）= a2 b2 =| a2 | b2 |=0，正確；對(duì)于，當(dāng) a b = a c 時(shí)， a b a c = a （ b c ）=0， a = 0 或 b c = 0 或 a （ b c ），錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng) b = 0 時(shí)，有 a b ， b c ，但 a

14、c 不一定成立，錯(cuò)誤；綜上，正確的命題個(gè)數(shù)為1故選：A14.C 解：由條件可知G為ABC的重心，由三角形重心的性質(zhì)可知 DG=12GA ，故C不正確 故選項(xiàng)為C15.B 解：由命題“ a 與 b 共線”可得 a 與 b 方向相同或方向相反，若 a 與 b 方向相同，則有 |a+b| = |a|+|b| ，若 a 與 b 方向相反，則有 |a+b| = ，故不能推出 |a|+|b| 由 |a+b| = |a|+|b| ，可得 a 與 b 方向相同， a 與 b 共線故命題“ a 與 b 共線”是命題“| a + b |=| a |+| b |”的必要不充分條件，故選B16. A 解：對(duì)于A，若

15、a 或 b 是非零向量，則向量 a 與 b 共線是真命題，所以它的逆否命題也是真命題；對(duì)于B，任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，或四個(gè)頂點(diǎn)在一條直線上，故原命題錯(cuò)誤；對(duì)于C， a 與 b 共線， b 與 c 共線時(shí)， a 與 c 也共線，當(dāng) b = 0 時(shí)命題不一定成立，故是假命題；對(duì)于D，有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量也可能平行，故原命題錯(cuò)誤綜上，正確的命題是A故選：A17. B 解：ACD中的向量的模都等于1，因此都是單位向量；B中的向量的模= 2 ，因此不是單位向量故選：B18. D 解：A：向量 AB CD 就是 AB 所在的直線平行于 CD 所在的直線，不正確；

16、B：共線向量是在一條直線上的向量，不正確；C：長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量，不正確；D：零向量長(zhǎng)度等于0，正確；故選：D19. D 若 |a|=|b| 成立，則以 a ， b 為邊組成平行四邊形，那么該平行四邊形為菱形， a+b ， ab 表示的是該菱形的對(duì)角線，而菱形的對(duì)角線不一定相等，所以 |a+b|=|ab| 不一定成立，從而不是充分條件；反之， |a+b|=|ab| 成立，則以 a ， b 為邊組成平行四邊形，則該平行四邊形為矩形，矩形的鄰邊不一定相等，所以 |a|=|b| 不一定成立，從而不是必要條件.【分析】根據(jù)向量模相等的幾何意義，結(jié)合充要條件的定義，可得答案20. C 解：A，B

17、，C三點(diǎn)共線，AB與BC共線又AB=(4,1)，BC=(-1,k)，4k1（1）=0，解得k=-14故選C二、解答題21. （1）解：因?yàn)?ab ，所以 ab=02sin2cos=0 sin=2cos ，又 sin2+cos2=1 所以 2cos2+cos2=1cos2=13 ， sin2=23 |b|=2sin2+cos2=43+13=53 （2）解：由（1） sin=2cos ，若 cos=0 ，則 sin=0 ，與 sin2+cos2=1 矛盾 所以 tan=sincos=2 sin(2+4)=sin2cos4+cos2sin4=22sin2+cos2sin2+cos2 =222sinc

18、os+cos2sin2sin2+cos2=222tan+1tan2tan2+1 =2222+122+1=426 （1）根據(jù)垂直關(guān)系和平方關(guān)系求出 cos2=13 ， sin2=23 ，根據(jù)公式即可求得模長(zhǎng)；（2）結(jié)合（1）的垂直關(guān)系得 tan=sincos=2 ，展開 sin(2+4) 構(gòu)造齊次式求解.22.解：（）當(dāng) a b 時(shí)，有2x4=0，解得：x=2，故 a + b =（2，1），所以| a + b |= 5 ；（）由 a b =4x2，且 a 與 b 所成角為鈍角，則滿足4x20且 a 與 b 不反向，由第（）問知，當(dāng)x=2時(shí)， a 與 b 反向， 故x的范圍為（，2）（2， 12 ） （）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)公式可得x=2，即得a +b =（2，1）再根據(jù)向量的模求得結(jié)果。 （）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算公式；a b=4x2, 所成角為鈍角，即得4x20.由已知可得,當(dāng)x=2時(shí)，a 與b 反向，即得x的取值范圍。23. （1）證明：向量