數(shù)字信號(hào)處理(姚天任江太輝第三版)課后習(xí)題答案

1、第二章2.1判斷下列序列是否是周期序列。若是，請(qǐng)確定它的最小周期。TOC o 1-5 h z5兀兀(1)x(n)二Acos(n+)86(2)x(n)=ej(一兀)83兀冗x(n)=Asin(n+)43解對(duì)照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(伽+*)，得出5-。因此豈二156是有理數(shù)，所以8516是周期序列。最小周期等于N二k=16伙取5)。(2)對(duì)照復(fù)指數(shù)序列的一般公式x(n)=exp+jn,得出二1。因此=16兀是無(wú)理數(shù)，所以不8是周期序列。TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark6 3兀兀兀3兀兀(3)對(duì)照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(n+*)，

2、又x(n)=Asinn+)=Acos(-n-)233兀13兀2兀8=Acos(n-),得出。因此二了是有理數(shù)，所以是周期序列。最小周期等于6438N=-k二8(k取3)32.2在圖2.2中，x(n)和h(n)分別是線性非移變系統(tǒng)的輸入和單位取樣響應(yīng)。計(jì)算并列的x(n)和h(n)的線性卷積以得到系統(tǒng)的輸出y(n),并畫(huà)出y(n)的圖形。八h(n)=u(n)八h(n)=u(n)x(n)|21H1,【1|1.-10123n-10123nx(n)2L-1(24n-1-x(n)=u(n)(a)2J-10L121-34n1h(n)-1(b)0i1h(n)=anu(n)1丄T-10123n1234(c)解利

3、用線性卷積公式y(tǒng)(n)=藝x(k)h(n-k)k=-g按照折疊、移位、相乘、相加、的作圖方法，計(jì)算y(n)的每一個(gè)取樣值。y(O)=x(O)h(O)=ly(l)=x(0)h(l)+x(l)h(0)=3y(n)=x(0)h(n)+x(l)h(n-l)+x(2)h(n-2)=4,n三2x(n)=25(n)-5(n-1)h(n)=-5(n)+25(n-1)+5(n-2)y(n)=-25(n)+55(n-1)=5(n-3)(c)y(n)=藝u(k)an-ku(n一k)=區(qū)an-k=1-an+11au(n)k=-gt=-g|VII.三圧丫5的圖形.2.3計(jì)算線性線性卷積(1)y(n)=u(n)*u(n)

4、旳)1.2(2)y(n)=九nu(n)*u(n)解：(1)y(n)=u(k)u(n一k)k=gZu(k)u(n-k)=(n+1),n20k二0即y(n)=(n+1)u(n)(2)y(n)=區(qū)九ku(k)u(n-k)k=-g藝九ku(k)u(nk)=k=01九n+1,n20即y(n)=一兒+1u(n)1-九2.4圖P2.4所示的是單位取樣響應(yīng)分別為h(n)和h(n)的兩個(gè)線性非移變系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)，已知x(n)=u(n),12h(n)=5(n)-5(n-4),h(n)=anu(n),|a|l,求系統(tǒng)的輸出y(n).12jc(n)OOy(n)Al(/2)1丨fTI71-10I2357)-10123n)1

5、解(n)=x(n)*hi(n)=u(k)8(n-k)-5(nk4)k=-g=u(n)u(n4)y(n)=(n)*h2(n)=區(qū)aku(k)u(nk)u(nk4)k=s=ak,n23k=n-32.5已知一個(gè)線性非移變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為h(n)=a-”u(-n),0al用直接計(jì)算線性卷積的方法，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。2.6試證明線性卷積滿(mǎn)足交換率、結(jié)合率和加法分配率。證明(1)交換律X(n)*y(n)=x(k)y(n-k)k=s令k=nt,所以t=nk,又-gkg,所以-gtg,因此線性卷積公式變成x(n)*y(n)x(n-1)yn-(n-1)t=-g=x(n一t)y(t)=y(n)*x(n)交

6、換律得證.(2)結(jié)合律x(n)*y(n)*z(n)=藝x(k)y(n-k)*z(n)k=-g=另區(qū)x(k)y(t-k)z(n-1)t=gk=-g=區(qū)x(k)區(qū)y(t-k)z(n-1)k=-gt=g=另x(k)Yy(m)z(nkm)k=-gm=區(qū)k=-g=x(n)x(k)y(nk)*z(nk)*y(n)*z(n)結(jié)合律得證.(3)加法分配律x(n)*y(n)+z(n)=另x(k)y(nk)+z(nk)k=區(qū)x(k)y(nk)+區(qū)x(k)z(nk)k=sk=s=x(n)*y(n)+x(n)*z(n)加法分配律得證.2.7判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、穩(wěn)定系統(tǒng)、因果系統(tǒng)。并加以證明(1)y

7、(n)=2x(n)+32兀兀(2)y(n)=x(n)sinn+36(3)y(n)=區(qū)x(k)k=-g(4)y(n)=Yx(k)k=n0(5)y(n)=x(n)g(n)解(1)設(shè)y(n)=2x(n)+3,y(n)=2x(n)+3,由于1122y(n)=2x(n)+x(n)+312Hy(n)+y(n)12=2xjn)+x2(n)+6故系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。由于y(nk)=2x(nk)+3,Tx(nk)=2x(nk)+3,因而y(n-k)=Tx(n_k)故該系統(tǒng)是非移變系統(tǒng)。設(shè)|x(n)|WM,則有|y(n)|=|2x(n)+3|W|2M+3|8故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。因y(n)只取決于現(xiàn)在和過(guò)去的輸入x(

8、n),不取決于未來(lái)的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。2兀兀(n)sinn+ HYPERLINK l bookmark514 362兀兀y(n)=bx(n)sinn+2236(2)設(shè)y/n)二aX由于y(n)二TaX(n)+bx(n)2兀兀=ax(n)+bx(n)sinn+12362兀兀(n)sinn+3=ay1(n)+by2(n)故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。=ax12兀兀一+bx(n)sinn+36兀y(nk)=x(nk)sin(nk)+ HYPERLINK l bookmark520 362兀兀Tx(nk)=x(nk)sinn+ HYPERLINK l bookmark524 36因而有Tx(nk)工y(

9、nk)幫該系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。設(shè)|x(n)|WM,則有由于,2兀兀|y(n)|=|x(n)sin(nk)+|36,2兀兀=|x(n)|sin(nk)+|36,2兀兀WM|sin(nk)+|WM36故系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。因y(n)只取決于現(xiàn)在和過(guò)去的輸入x(n),不取決于未來(lái)的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。(3)設(shè)y(n)二工x(k),y(n)=工x(k)，由于1122k=gk=Sy(n)=Tax(n)+bx(n)=工ax(k)+bx(k)1212k=-g=a工X(k)+b工兀2(k)=ay(n)+by(n)k=_gk=_g故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。y(nk)二藝x(k)工x(m-1)k=-gm=-g=Tx(n-

10、t)所以該系統(tǒng)是非移變系統(tǒng)。設(shè)x(n)=M8y(n)=M=,所以該系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。k=一8因y(n)只取決于現(xiàn)在和過(guò)去的輸入x(n),不取決于未來(lái)的輸入，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。(4)設(shè)y(n)二丫x(k),y(n)=工x(k)，由于1122k=nok=nqy(n)=Tax(n)+bx(n)=工ax(k)+bx(k)1212k=nqX2(k)=ayi(n)+by2(n)k=nQ=a丫x(k)+b工1k=nq故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。y(n-k)=藝x(k)=工x(mt)k=nqMTx(n-1)二x(mt)k=HQ所以該系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。設(shè)x(n)=M,則limy(n)=nslim(n-nnsq)M=-，

11、所以該系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。顯而易見(jiàn)若n2nQ。則該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)；若nn。則該因果系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。設(shè)yi(n)=xi(n)g(n)，y2(n)=x2(n)g(n)，由于y(n)=Tax(n)+bx(n)=(ax(n)+bx(n)g(n)1212=ax(n)g(n)+b(n)=ay(n)+by(n)1212故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。因y(n-k)=x(n-k),而Tx(n_k)=x(n_k)g(n)Hy(n_k)所以系統(tǒng)是移變系統(tǒng)。設(shè)|x(n)|WM，則有|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)|所以當(dāng)g(n)有限時(shí)該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。因y(n)只取決于現(xiàn)在和過(guò)去的輸入x(n),不取決于本來(lái)的輸入

12、，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。2.8討論下列各線性非移變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性h(n)=2nu(-n)h(n)=-anu(nl)h(n)=(2)nu(n)1h(n)=u(n)n(6)h(n)=2nRu(n)nh(n)=5(n+n),n三000解(1)因?yàn)樵趎0時(shí)，h(n)=2n工0,故該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。因?yàn)镾=|h(n)|=|2n|=1g，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。n=-gn=0因?yàn)樵趎0時(shí)，h(n)工0,故該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。因?yàn)镾=區(qū)|h(n)|=工|an|=區(qū)a-n，故該系統(tǒng)只有在|a|1時(shí)才是穩(wěn)定系統(tǒng)。n=-gn=-gn=g因?yàn)樵趎0時(shí)，h(n)工0,故該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。因?yàn)镾=區(qū)|h(n)|=藝

13、|5(n+n)|=1g，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。0n=-gn=-g因?yàn)樵趎0時(shí)，h(n)=0，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。因?yàn)镾=區(qū)1|h(n)|=無(wú)1|(2)nlg，故該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。n=-gn=0、因?yàn)樵趎0時(shí)，h(n)=u(n)=0，故該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。n因?yàn)镾=區(qū)|h(n)|=藝|u(n)|=區(qū)=g，故該系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark40 nnn=-gn=-gn=0因?yàn)樵趎,J=二二匚護(hù)廠3b匸廠=1-l-be_iw=-虻.振幅的特性平方l_be2陽(yáng)(旳|=6石=.丨心-5一5l-be_iw-Lei*4Ls=1一己一-j.e-j.:1aei

14、空1若選取b*或匕=a*,則有|H(ejw)|2=|b|2，即幅度響應(yīng)等于與頻率響應(yīng)無(wú)關(guān)的常數(shù),故該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)。2.16(1)個(gè)線性非移變系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(n)=anu(n),其中a為實(shí)數(shù)，且0al。設(shè)輸入為x(n)=卩u(n),卩為實(shí)數(shù)，且0卩1.試?yán)镁€性卷積計(jì)算系統(tǒng)的輸出y(n),并將結(jié)果寫(xiě)成下列形式y(tǒng)(n)=(k1an+k2卩n)u(n)分別計(jì)算x(n)、肛和(1)中求得的y(n)的傅立葉變換X(ejw)、H(ejW)、Y(ejw)，并證明Y(ejw)=H(ejw)X(ejw)解(1)y(n)=藝h(k)x(n一k)k=區(qū)aku(k)p-1u(n-k)k=-g1-ap-i=P

15、-1(aP-1)k=P-11-(aP-1)n+1k=-gP-11-aP-1an+l+ay(n)=(1-pP1-P卩n)u(n)(2)X(eiw)=藝p丫e-i=n=0H(ej)=區(qū)1ae-jn=0Ea(a、a-Pn=01(_paP1ae-jaPe-j=X(e)H(ej)由于占1”(1ae-j)(1Re-j)故得出Y(ejw)=H(ejw)X(ejw)2.17令x（n）和X（ejw）分別表示一個(gè)序號(hào)及其傅立葉變換，證明:n=8藝x(n)x*(n)=1JX(ejw)X*(ejw)dx2兀n此式是帕塞瓦爾（Parseval）定理的一種形式。證明：證法一8x*8x*X(ejwnjwn其中(ejw8(e

16、jw)X888ejw-m)dw(ejw)X證法二:8x(n)8x(n)8(ejw)(ejw)X(N)ejwn)(ejw)dwjwn8jw(8ejw(nm)(ejw)dw(ejw(ejw8jwn(n)ejwn(n)ejwdw)dwejw(0,.8dw)ejwndwjwndw(ejw)dw2.18當(dāng)需要對(duì)帶限模擬信號(hào)濾波時(shí)，經(jīng)常采用數(shù)字濾波器，如圖P2.18所示，圖中T表示取樣周期，假設(shè)T很小，足以防止混疊失真，把從x(t)到y(tǒng)(t)的整個(gè)系統(tǒng)等效成一個(gè)模擬濾波器。aa如果數(shù)字濾波器h(n)的截止頻率等于?rad,對(duì)T=20kHz，重復(fù)(1)的計(jì)算=10kHz，求整個(gè)系統(tǒng)的截止頻率f，并求出8Ta

17、c理想低通濾波器的截止頻率fc解理想低通濾波器的截止頻率T(弧度/秒)折合成數(shù)字域頻率為兀(弧度)，它比數(shù)字濾波器h(n)的TOC o 1-5 h z兀兀截止頻率石(弧度)要大，故整個(gè)系統(tǒng)的截止頻率由數(shù)字濾波器h(n)的截止頻率&(弧度)來(lái)決定。將88其換算成實(shí)際頻率，即將f=T=i0000Hz帶入=8，便得到sTf8f=625Hzac理想低通濾波器的截止頻率壬(弧度/秒)換算成實(shí)際頻率使得到f，即由壬=2兀f，得到TcTcL=型00=500Hzac2T22.19(1)(2)(3)anu(-n-l)求下列序列的Z變換和收斂域8(nm)1()nu(n)(4)(丄)nu(n)-u(n-10)20時(shí)

18、，x(n)是因果序列，收斂域?yàn)?I時(shí)，x(n)是逆因果序列，收斂域?yàn)?WIzIW收斂域?yàn)?WIz|W，既無(wú)零點(diǎn)，(2)X(z)=r12n=-gu(n)z-n=n=0,也無(wú)極點(diǎn)1z-12丿z，無(wú)零點(diǎn)，極點(diǎn)為0(m階)；當(dāng)m0零點(diǎn)為0(m階)，無(wú)極點(diǎn)；當(dāng)m=0,X(z)=1，X(n)是右邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑為R的圓的外部區(qū)域，這里x-R=limx-nsx(n+1)1x(n)，故收斂域?yàn)?小丨3。零點(diǎn)為o,極點(diǎn)為2。X(n)還是因果序列，可以有丨z丨=811，故收斂域?yàn)?ss。零點(diǎn)為0,極點(diǎn)為2。x(z)=anu(-u-1)z-nn=g(az-1)nn=-1)n=(az-1)n=a-1z

19、=-111-a-1z1-az-1n=1X(n)是左邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑圍R+的圓的內(nèi)部區(qū)域，這里xlimix(一n)ilimiI|aiR+=x(-(n+1)=a-(n+1)=xnTgx(n)還是逆因果序列，可以有Iz1=0，故收斂域?yàn)?Mz11aI零點(diǎn)為0,極點(diǎn)為a。(4)X二n=-gL(n)-u(n-10)lz-nn=0I2丿Z-n=1-(2乞Z1-(2z)-1iX(n)是有限長(zhǎng)序列，且它的Z變換只有負(fù)幕項(xiàng)，故收斂域?yàn)?丨z零點(diǎn)為0和-(10i階)，極點(diǎn)為2。ejwn+e一jwncos(wn)u(n)z-n=乙00z(5)0n=gn=g=工2(ejw0z-1)n+，2n=0n=0

20、11亠J+)=21ejw0z-11e-jw0z-1工丄(e-jw0z-1)1一z-1cosw01一2z-1cosw+z-20 x(n)是右邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑為R-的圓的外部區(qū)域，這里xx(n+1).Icosw(n+1)R二xx(n)=cos(wn)=1nsnTg0極點(diǎn)為eejw0和-jwox(n)還是因果序列，可以有1Z3,故收斂域?yàn)?Z8,零點(diǎn)為0和C0SW2.20求下列序列的Z變換和收斂域和零極點(diǎn)分布圖x(n)=a|n|,0a1x(n)=e(a+jwo)nu(n)x(n)=Arncos(+P)u(n),0rlo1x(n)=u(n)n!(5)x(n)=sin(+P)u(n)og

21、(1)X(z)=a|n|z-nanzn+anZnn=gn=ganZn+anZn=ax1+1一ax1一axin=1z(1a2)(1az)(za)和一個(gè)因果序列(收斂域0|z|X(n)是雙邊序列，可看成是由一個(gè)因果序列(收斂域az8相加組成，故X(z)的收斂域是這兩個(gè)收斂域的重疊部分，即圓環(huán)區(qū)域|a|z|。零點(diǎn)為o和g,極點(diǎn)u(n)zn=n=9n=g11=1-ee+叫z-iX(n)是右邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑為R的圓的外部區(qū)域，這里X-X=limXSx(n+1)x(n)zX(n)還是右邊序列，可以有Ar，故收斂域?yàn)閑eZe零點(diǎn)為0,極點(diǎn)為n=0Ae另Arncos(en+9)u(n)z-no

22、n=-8ej(eon+9)+e-j(eon+9)nz-nAe-j9+厶(re-joz-1)nn=0Aej91-rejeoz-1ej9-(re-j(o-9)+rej(eo-9)z-1+e-j91-rz-1(ejeo+e-jeo)+r2z-2cos9-rz-1cos(e-9)o1-2rz-1cose+r2z-2oX(n)是右邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑為R3的圓的外部區(qū)域，這里R-=limXnT8x(n+1)x(n)=limnT8Acose(n+1)+9rn+10Acos(e+9)rn0X(n)還是因果序列，可以有=8，故收斂域?yàn)閞eje0和re-je0rcos(e-9)0零點(diǎn)為o和cos9，

23、極點(diǎn)為X(z)(4)g工n=gngZn=工n=0n!1n+.+Z+的圓的外部區(qū)域，這里RX(n)是右邊序列，它的Z變換的收斂域是半徑為R=limXZX(n)還是因果序列，可以有Zx(n+1)Zg，故收斂域?yàn)?，無(wú)零點(diǎn)，極點(diǎn)為0。gX(z)=工sin(wn+申)u(n)zn0n=gg.=乞sin(wn+申)z10gej(w0n+p)e7(w0n+p)=工Dznejwg石n=01ejp(e匚Z1)n(e沖匚Z1)n27(ej一e)+(ej(w0)ej(w0)z11(ejw0+ejw0)z1+z2sin0+sin(w-0)z-101-2coswz-1+z-i0 x(n)是右邊序列，它的Z變換收斂域是

24、半徑為R的圓的外部象區(qū)域，這里sinw(n+1)+0sin(w)0n+0R=lim0 xfgx(n+1)x(n)=limxfgsin(w-6)IM極點(diǎn)為x(n)還是因果序列，大故收斂域?yàn)?zg.零點(diǎn)為0和cosw+jsinw和cosw-jsinw.00002.21用三種方法求下列Z變化的逆變換IZI2/、1-az-1I.X(Z)=,|Z|a-1|z-1-a解采用幕級(jí)數(shù)法。由收斂域課確定x1(n)是左邊序列。又因?yàn)閘imX(z)=1為有限值，所以xfg1x(n)1是逆因果序列。用長(zhǎng)除法將X1(z)展開(kāi)成正幕級(jí)數(shù)即X=11111+z-12=2z一4z2+8z3一16z4+21z5+.+(-1)n-

25、12nzn+.=(1)n-12nzn=一(2)nz-nn=1n=1最后得到x1(n)=-2(-2)-n,n=-1,-2,-3x(n)-)nu(-n-1)121采用部分分式展開(kāi)法。將x2(z)展開(kāi)陳部分分式1-一z-1X2(Z)=13211+z-1+z-248Ac1-一z-12(1+一z-1)+(1+一z-1)24A+r1+z-11+z-124其中1-Z-121+丄Z-1Z=-2Z=-441-Z-121+-Z-12由收斂域可確定X(n)式右邊序列。又因limX(z)=1,所以X(n)還是因果序列。用長(zhǎng)除法分別將TOC o 1-5 h z2X”22+展開(kāi)成負(fù)幕級(jí)數(shù)，即1+一z-11+一z-1 HY

26、PERLINK l bookmark376 44111、1=41-z-1+z-2-z-3+.+()nz-n+.24821+z-12=anz-nn=0-311丁-4z-11+z-1411+z-2z-3+.+8_16nz-n+.1n=-3()z-n4n=0由上兩式得到11x2(n)=4(-2)n-3(-4)nu(n)采用留數(shù)定理法。圍線積分的被積函數(shù)為/、(1-az-1)zn-1(1-a-1z)zn-1z-a-ix(n)zn-1=3z-1a1_當(dāng)n0時(shí)，由給定的收斂域可知，被積函數(shù)在圍線之內(nèi)僅有一個(gè)極點(diǎn)z二，因此ax(n)=Resx(z)zn-1丄=(1-a-1z)zn-133a=(a2-1)a-

27、n-i,n01當(dāng)n=0時(shí)，被積函數(shù)在圍線之內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn)z=和z=0,因此ax=ResX(z)zn-1丄+ResX(z)zn-1,033a31一a-1z+z=1z一a-1a=(1-a-1z)z-1z=0=(1-a-2)a一a=一a-1,n=0當(dāng)n0時(shí)，因?yàn)閤(z)zn-1在圍線之外無(wú)極點(diǎn)，且3zn-1在-處有1心2階極點(diǎn)，所以有x3(n)二0,n0最后解得x(n)=0-a-1,n=00,n0J故x(n)=(a21)a-n-1u(n1)a-15(n)32.22求下列Z變換的逆變換3(1-z-1)(1-2z-1)小切2(2)X(Z)=(1-0.5zd-0.5z)，-5|z|e一T(4)X(z)=(J

28、一2,|a|z|b|解(4)采用部分分式法AX(z)=一+-41-z-11-2z-1A=11=-1,A=1=2112z-1t=121z-1t=21-2根據(jù)收斂域1IzI2,和分別對(duì)應(yīng)一個(gè)因果序列和逆因果序列。將它們分別展開(kāi)成z的負(fù)1-z-11-2z-1幕級(jí)數(shù)和正幕級(jí)數(shù)，即I=JEz-nn=6-2丫另小=2-(n-1)zn=2n+1z-nn=1n=-1最后得到X(4)=-u(n)-2n+iu(-n-1)4用留數(shù)定理法，被積函數(shù)(z-5)zn-1(z-5)zX5(z1=(1-0.5z-1)(1-0.5z)=(-05)(1-0.5z)根據(jù)收斂域0.5z2可知，對(duì)應(yīng)的是一個(gè)雙邊序列.其中0.50時(shí)，被

29、積函數(shù)有1個(gè)極點(diǎn)0.5在圍線內(nèi),故得x(n)5=ResX(z)zn-i,0.5(z-5)zn(1-0.5z)z=0.5n,n0|z|0時(shí)，x(n)=0;n2,故得=ResX(z)zn-1,2L5=(z5)znz05x(n)5最后得到(n)=-6f112丿2n=+1(n)-2n-iu(-n-1)5=-2n+i,nc-T可以知道，對(duì)應(yīng)的序列是一個(gè)因果序列。即no時(shí)，在x(n)=0時(shí)，在n0時(shí)，被以1-bz-1對(duì)應(yīng)于一個(gè)逆因果序列X2(n)。用長(zhǎng)除法將1-bz-1展開(kāi)成z的正幕級(jí)數(shù)，即以1-bz-1對(duì)應(yīng)于一個(gè)逆因果序列X2(n)。用長(zhǎng)除法將1-bz-1展開(kāi)成z的正幕級(jí)數(shù)，即積函數(shù)在積分圍線內(nèi)有1個(gè)2

30、階極點(diǎn)z=c-t，因此x(n)=RcsL(z)zlldzl=e-T=c-Tnzn-1=ncTn,n0最后得到nc-Tn,n00,na表明它對(duì)應(yīng)于一個(gè)右邊序列；又因lim一1tT01-aZ一1=1有限值,11所以匚石應(yīng)于一個(gè)逆因果序列x1(n)。用長(zhǎng)除法將吋展開(kāi)成z的正幕級(jí)數(shù)，即=1+az一1+az一1+az一1+=anz一n1-az-in=0由此得到x(n)=anu(n)11對(duì)于1bz1，收斂條件IliQ1Z|b表明它對(duì)應(yīng)于一個(gè)左邊序列又因-01bz一1=0為有限值，所b-1Zb-2Z2.bnZn.=-藝b一nZn=藝bnZ-nn=1n=1由此得到兀2(n)=-bnu(-u-1)最后得到x(n

31、)=anu(n)bu(-u1)72.23求X(Z)=ez+ez,0|z|，的逆變換解將ez和eZ展開(kāi)成幕級(jí)數(shù)1z2zny1ez=1+z+=zn2!n!n!n=01y1z-n=1+厶z-n=工(-n)!InI!n=8n=g1z-2z-ne?=1+z-1+2!n!由以上兩式得出=藝丄z-nn!n=0X(z)=l+z-n+n!n=g最后得n=01z-nInI!n=gx(n)=5(n)+,-gn1Y(z)=,1zla1-az-1W(z)=X(z)Y(z)=1AA=1+2(1-z-1)(1az-1)1z-11az-1其中A111-az-1z=1TOC o 1-5 h z彳1-1aA=I=21z-1z=a

32、1a-11a由于x(n)和y(n)都是因果序列，故w(n)亦是因果序列，因果序列，因而W的收斂域?yàn)镮zl1。這樣，W(z)的收斂域應(yīng)為Iz卜1,而W(z)的收斂域?yàn)镮zba。這意味著W(z)和W(z)都對(duì)應(yīng)于因果1212序列，因此可用長(zhǎng)除法分別將氣和%展開(kāi)成Z的負(fù)幕級(jí)數(shù)，即TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark60 11yW(z)=(1+z-1+z-2+)=z-n HYPERLINK l bookmark10 11a1an=gW(z)=(1+az-1+a2z-2+az-+)=藝az-n21a1an=0由上二式得到 HYPERLINK l bookmark240 1

33、-a(n)=u(n)，(n)=au(n)11-a21-a最后得到1一an+1(n)=(n)+(n)=u(n)121一a2.29(1)因?yàn)橄到y(tǒng)是因果的，所以收斂域?yàn)閍11zl；為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須要求收斂域包含單位圓，即要求Ia11。極點(diǎn)為z=a，零點(diǎn)為z二a-1，收斂域Ia11z1。極一零點(diǎn)圖和收斂域示于圖1.7。1-a-ie-j(2)H(ej)=1一ae-j/、，4-a-1e-j、Z1-a-e-j、-a-e-j、-a-e1、1+a-一a-(ej+e-j)IH(ej)I2=()()*=()()=1一ae-j1一ae-j1一ae-j1一aej1+a2一a(ej+e-j),1+a-2一2a-1cos

34、a-2(a2+1一2acos)=a-2因此得到IH(ej)I=a-1，即系統(tǒng)的幅度特性為一常數(shù)，所以該系統(tǒng)是一個(gè)全通系統(tǒng)。2.30(1)根據(jù)極一零點(diǎn)圖得到x(n)的Z變換X(z)=(z-3)(z-2)(z-3)因傅里葉變換收斂，所以單位圓在收斂域內(nèi)，因而收斂域?yàn)?IzI2。故x(n)是雙邊序列。(2)因?yàn)閤(n)是雙邊序列，所以它的Z變換的收斂域是一個(gè)圓環(huán)。根據(jù)極點(diǎn)分布情況，收斂域有兩種可1能：3IzI2或21zI3。采用留數(shù)定理法求對(duì)應(yīng)的序列。被積函數(shù)為X(z)zn-1=1zn-1(z-1)(z-2)(z-3)11對(duì)于收斂域3IzI2(因n0)，故-(z+1)zn-1(z+1)zn-1x(n

35、)=-ResX(z)z”-1,z-ResX(z)z”-1,z=zzI一zzI12I7=2I7=3(z一3)(z一3)(z一3)(z一2)最后得到=0.9x2n一0.5x3n,n0 x(n)=0.93-)n200.9x2n0.5x3n,n0或x(n)=0.9(1)nu(n)+(0.9x2n-0.5x3”)u(-n-1)對(duì)于收斂域2IzI2(因n0)，故x(n)=-Re衛(wèi)z(z-1)=3-(z+1z一1=-x0.n5(z-1)z-2z=3最后得x(n)=0.9(3)n-0.9x2n，n-0-0.5x3n,nP得到y(tǒng)(n)=和pPnu(n)由丫2=占j，1z卜1得到2屮)=刁卩nu(n)因此系統(tǒng)的單

36、位階躍響應(yīng)為-1-py(n)=y1(n)+y2(n)=口1Pn21Pn1Pn+1Pnu(n)+匚pu(n)=1-pu(n)+匚u(n)=匸可u(n)+】押u(n)2.33(1)求差分方程兩邊的z變換Y(z)二z-1Y(z)+z-2Y(z)+z-iX(z)由上式得到系統(tǒng)函數(shù)z-1H(z)=1-z-1-z-2z-1求系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)H(z)=1-z-1-z-2z2-z-1(z-P)(z-P)12其中，零點(diǎn)為o；極點(diǎn)為P二；(1+u5)和P二(1j5)。由此可畫(huà)出極一零點(diǎn)圖，如圖1.9所1222/示o已知系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，因此收斂域?yàn)镮P11zlo1采用留數(shù)定理法。由H(z)=円市(收斂域?yàn)?片z

37、広-)計(jì)算單位取樣響應(yīng)2znh(n)二ReS日(z)zn-1，P1+ReS日(z)zn-1，P2=占!電2Pn_Pn+I二1au(n)z-Pz=P2P-P112zn(3)要使系統(tǒng)穩(wěn)定，單位圓必須在收斂域內(nèi)，即收斂域應(yīng)為P2IzIP1,這是一個(gè)雙邊序列。采用部分分式法將系統(tǒng)函數(shù)分解為H(z)=(z-P)(z-P)12AA=+2r-z-Pz-P12P1P-P12P由H1(z)=P-1P1z其中A=51P1z-Pz=P12A2=dr1z-P計(jì)算單位取樣響應(yīng)h1(n)。因收斂域?yàn)?z1，故h1(n)為左邊序列，又1因ixmH1(z)二0為有限值，故即)還是逆因果序列。采用留數(shù)定理法，被積函數(shù)331(3

38、)Zn-lzn-1|z=廠占即，n021PH(z)zn-1=詬2P-Pz-P212zn-12H(z)zn-1=2二，當(dāng)n2(因n0P2P-P221P2最后得到滿(mǎn)足題給差分方程的一個(gè)穩(wěn)定但非因果的系統(tǒng)，它的單位取樣響應(yīng)為h(n)=h(n)+h(n)=厶12卩-卩22.34(1)求差分方程兩邊的Z變換ztY(z)-Y(z)+zY(z)=X(z)由上式得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)=竺=_J=_X(z)z-1-2+z(z-2)(z-1一(Pnu(-n一1)+Pnu(n)1一1系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)：z=0；極點(diǎn)：P1=2，P2=2。系統(tǒng)單位取樣響應(yīng)的3種可能選擇方案如下(參考圖1.10所示的極一零點(diǎn)圖)。(1)收斂域

39、取為2IzI，系統(tǒng)是因果的，但不是穩(wěn)定的。得到系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為Pn-Pn112h(n)=1亠u(n)=-2n-(_)nu(n)=-(2n-2-n)u(n)P-Pq123122一2(2)收斂域?yàn)?1zI2，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但不是因果的。得到系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)為h(n)=P-P121Pnu(-n一1)+Pnu(n)=-2nu(-n一1)+()nu(n)12322收斂域取為IzI，系統(tǒng)既不是穩(wěn)定的，又不是因果的。因收斂域?yàn)镮zI0時(shí)積分圍線內(nèi)有唯一的極點(diǎn)，P2=2(1-同，因此有左邊序列，又因limH(z)=0為有限值，故h2(n)還是逆因果序列。采用留數(shù)定理法，被積zSZn,1函數(shù)H(z)zn-

40、1=，當(dāng)nvO時(shí)極點(diǎn)0.二和02=2都在積分圍線外，且被(z0)(z0)12212積函數(shù)的分母與分子多項(xiàng)式階數(shù)之差為2-n2(因n0)，因此有12h(n)=(-0n+0n)u(-n-1)=-(-2n+2n)u(-n-1)0一012312(4)驗(yàn)證每一種方案都滿(mǎn)足差分方程：前面已經(jīng)由差分方程求得系統(tǒng)函數(shù)H(z)=15一，故只要z-1+z2驗(yàn)證每一種方案的系統(tǒng)函數(shù)即可。(1)(2z-1)n一(2-1z-1)n二l(F一E)(2)H(z)=S3(2n-2n)u(n)z“=3Sn=gn=g=2(1z)=1=3(E一=)=2n=8$122-1z=-_2L(21z)n+=-(+12-1z-1312z-11

41、2z-1n=1H(z)=藝-|(2nu(-n-1)-2-nU(n)z-n=-送(2z-1)n-S(2-1z-1)nn=-gn=01)=十z2+z(3)H(z)=S-2(2n-2-n)u(-n-1)z-n=扌S(2z-1)nn=82/21z一2z-S(2-1z-1)nn=g=S(2z-1)n-S(2z)n=(-)=331-2z-11-2zn=1n=1n=81z1一+Z2AcI1-z-3Iz一3z=2.35z-1Y(z)Y(z)+zY(z)二X(z)H(z)=需=善=11TOC o 1-5 h z極點(diǎn)為3，3。系統(tǒng)穩(wěn)定，單位圓在收斂域內(nèi)，即3乙zk3，對(duì)應(yīng)于雙邊序列。zAH二廠二亦+(z3)(z3

42、)z3z9其中A=亍1=，A=11z=382z由收斂域1z*3知h1(n)為左邊序列，由H1(z)-0為有限值知即)是逆因果序列。采用留由收斂域1z*3知h1(n)為左邊序列，由H1(z)-0為有限值知即)是逆因果序列。采用留9Zn-1數(shù)定理法，被積函數(shù)H1(z)zn-1=8p，當(dāng)n2(因nvO)，因此有-9-3h(n)-ResH(z)z”-1,3118z-381-1由收斂域|z|知h(n)為右邊序列，因limH(z)為有限值，故h(n)是因果序列。采用32zx2821Zn-11留數(shù)定理法，被積函數(shù)H(z)zn-1亍，當(dāng)n0時(shí)積分圍線內(nèi)有唯一的極點(diǎn)巧，因此2813z-3h(n)=ResH(z)

43、z”-1,1z”-11二-3)n,n2238z-183z3最后得到3h(n)=h(n)+h(n)=一一3nu(-n-1)-1+3-nu(n)1282.36(1)根據(jù)差分方程可畫(huà)出系統(tǒng)的框圖，(2)求差分方程兩邊的Z變換如圖1.11所示。Y(z)2rc0szY(z)22zY(z)X(z)由上式得到系統(tǒng)函數(shù)H(z)竺X(z)12rcos0z-1+r丈-2(zP)(zP)12其中，極點(diǎn):“00+jsiQi，pre-j0r(cosO-jsin0)21x(n)aU的z變換為X(z)，因此可以得到1-az-1卩二refi1Y(z)二(zP)(zP)(1az-i)(zP)(zP)(za)1212因?yàn)槭且蚬?/p>

44、統(tǒng)，故收斂域?yàn)?z卜maXP1，匕，a，且有y(n)=0，n0，采用留數(shù)定理法求Y(z)逆Z變換，被積函數(shù)Y(z)zn1=(z-P)(；-P)(z-a)在積分轉(zhuǎn)線內(nèi)有3個(gè)極點(diǎn)：z1=P1，z2=P212z3二a。因此有y（n）仝ResY（z）z-1,zii=1Zn+2Zn+2Zn+2=I+I+I（z一卩）（z一a）z=Pj（z一卩）（z一a）z=（z一卩）（z一卩）z=a112Bn+2Bn+2Qn+2=1+2+（卩-卩）（卩-a）（卩-卩）（卩-a）（a-卩）（a-卩）21121212（B-a）Bn+2-（B-a）Bn+2+（R-B）an+2=2+212（卩-卩）（卩一a）（卩一a）1212=

45、（re-j0-a）（rej）n+2-（refi-a）（re-j）n+2+j2rsin0an+2j2rsin0（rej-a）（re-j0-a），第三章離散傅里葉變換及其快速算法習(xí)題答案參考31圖P3.1所示的序列X(n)是周期為4的周期性序列。請(qǐng)確定其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)X(k)。TOC o 1-5 h z-10123圖P3.f解:文(k)=刃X(n)Wnk=藝x(-n)Wnk=一為X(n)W-n=X(k)=X*(k) HYPERLINK l bookmark42 NNNn=0n=0n=03.2設(shè)X(n)為實(shí)周期序列，證明X(n)的傅里葉級(jí)數(shù)X(k)是共軛對(duì)稱(chēng)的，即X(k)=X*(-k)。(2)證明

46、當(dāng)X(n)為實(shí)偶函數(shù)時(shí)，尢(k)也是實(shí)偶函數(shù)。證明：(1)X(-k)=X(n)W-nkNn=0X*(-k)=乞X(n)W-nk*=EX(n)Wnk=X(k)NNn=0n=0(2)因X(n)為實(shí)函數(shù)，故由(1)知有X(k)=X*(-k)或X(-k)=X*(k)又因X(n)為偶函數(shù)，即X(n)=X(-n)，所以有龍(k)=藝X(n)Wnk=藝X(-n)Wnk=為X(n)W-nk=X(-k)=X*(k)NNNn=0n=0n=03.3圖P3.3所示的是一個(gè)實(shí)數(shù)周期信號(hào)X(n)。利用DFS的特性及3.2題的結(jié)果，不直接計(jì)算其傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)乂(k)，確定以下式子是否正確。X(k)=X(k+10)，對(duì)于所

47、有的k；X(k)=X(-k)，對(duì)于所有的k；尢(0)=0；X(k)ejk5，對(duì)所有的k是實(shí)函數(shù)。*1X*X-5JTO010*t圖P3,3解：(1)正確。因?yàn)閄(n)個(gè)周期為N=10的周期序列，故X(k)也是一個(gè)周期為N=10的周期序列。不正確。因?yàn)閄(n)個(gè)實(shí)數(shù)周期序列，由例3.2中的(1)知，X(k)是共軛對(duì)稱(chēng)的，即應(yīng)有X(k)=X*(-k)，這里X(k)不一定是實(shí)數(shù)序列。正確。因?yàn)閄(n)在一個(gè)周期內(nèi)正取樣值的個(gè)數(shù)與負(fù)取樣值的個(gè)數(shù)相等，所以有X(0)=藝x(n)=0n=02兀(4)不正確。根據(jù)周期序列的移位性質(zhì)，X(k)ejk5=X(k)W-2k對(duì)應(yīng)與周期序列X(n+2)，如102w圖P3

48、.3_1所示，它不是實(shí)偶序列。由題3.2中的(2)知道，X(k)ejk5不是實(shí)偶序列。S?(rr吃)1一01FW1(5圖P3,3_1x(n+6r)，求X(k)，并作圖表示X(n)和X(k)。3r=g解龍(k)=藝x(n)Wnk=工x(n)Wnk=工Wnk=1W3k=1ejk=1(1)k解：N661Wk.匹卜匹kn=0n=0n=061eJ31eJ3戈(0)二1X(2)二X(4)二02X二1-(1-幾3)/2二1-八3X二2二11一e-用乂=1一j=1+澎x(n)和X(k)的圖形如圖3.4_1所示:x(n)-3-2H0123456789f4Ef1kXR(k)11-0*0圖P3,4_13.5在圖P3

49、.5中表示了兩個(gè)周期序列X(n)和X(n)，兩者的周期都為6,計(jì)算這兩個(gè)序列的周期卷積12X(n)，并圖表示。311io圖P3.5解：圖P35_l所示的是計(jì)算這兩個(gè)序列的周期卷積卩）的過(guò)程可以看出，中）是Xi（n）延時(shí)1的結(jié)果，即x(n)二x(n1)。TOC o 1-5 h z1_ HYPERLINK l bookmark384 -101234567-10123斗567n=0n=0八刼2f)TOC o 1-5 h zY匸_4:_-101234567-101234567-10123456-101234567n3.5計(jì)算下列序列的N點(diǎn)DFT：x(n)=5(n)x(n)=5(nn)*R(n),0nN

50、0NN0(3)x(n)二an,0nN12兀x(n)=cos(nm),0nN一1,omNN解：(1)X(k)=15(n)Wnk=5(0)=1,0kN1n=0(2)X(k)=藝一5(nn)R(n)Wnk=W咻,0kN10NNNN-11-aWk1-aX(k)=ZanWnk=N1-aWkn=01-aWk，0k-1N11_e-j2冗(k-m)1_e-j2冗(k+m)n=0.2冗.2冗/nm-/nmen+ejn2.2冗2冗2冗(l-e-q(k-m)1-ej(k+m)丿1e加(k-m)e-(k-m)LRN(k-m)-e-jN(k-m)sin(k-m)1一2sin(k-m)R/Ne-jN+1(k-m)K+嘰+

51、m)-j+m)片“eN(k+m)-e-jN(k+m)sin(k+mkin(k+m)n/Je-jN+(k-m)K+sinsi_,k=m或:=-m=I20其他3.7圖P3.7表示的是一個(gè)有限長(zhǎng)序列x(n)，畫(huà)出x(n)和x(n)的圖形。(1)x(n)=x(n-2)(2)x(n)=x2R(n)44(2一n)R(n)L44x(n)jr0123圖P3.7解：卩)和屮)的圖形如圖P37_l所示:x(n2)4Rq(n)x(2n)4R4(n)0123圖P3.7J3.8圖P3.8表示一個(gè)4點(diǎn)序列x(n)。繪出x(n)與x(n)的線性卷積結(jié)果的圖形。繪出x(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果的圖形。繪出x(n)與x

52、(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果的圖形，并將結(jié)果與(1)比較，說(shuō)明線性卷積與循環(huán)卷積之間的關(guān)系。x(n)2f0123圖P3.8解：(1)圖P3.8_1(1)所示的是x(n)與x(n)的線性卷積結(jié)果的圖形。圖P3.8_1(2)所示的x(n)與x(n)的4點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果的圖形。圖P3.8_1(3)所示的x(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果的圖形?？梢钥闯?，x(n)與x(n)的8點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果的圖形與(1)中x(n)與x(n)的線性卷積結(jié)果的圖形相同。x(n)*x(n)10-101234567xCn)xCn)toFt-10123456(3)圖P3.8_13.9x(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為N的序列，試證明x(-n)N

53、二x(N_n)N。證明：因?yàn)閤(n)是由x(n)周期性重復(fù)得到的周期序列，故可表示為x(n)二x(n+rN)NNN取戸1,上式即為X(_n)N二X(N_“兒。3.10已知序列x(n)二anu(n),0a1o現(xiàn)在對(duì)其Z變換在單位圓上進(jìn)行N等分取樣，取值為X(k)=X(z)1，求有限長(zhǎng)序列的IDFToz=Wk解：在z平面的單位圓上的N個(gè)等角點(diǎn)上，對(duì)z變換進(jìn)行取樣，將導(dǎo)致相應(yīng)時(shí)間序列的周期延拓,延拓周期為N,即所求有限長(zhǎng)序列的IDFT為x(n)二藝x(n+rN)二藝an+rNu(n+rN)二a,n二0,1,.,N1p1aNr=8r=_83H若長(zhǎng)為N的有限長(zhǎng)序列x(n)是矩陣序列x(n)二Rn(n)o

54、求Zx(n)，并畫(huà)出及其-零點(diǎn)分布圖。求頻譜X0)，并畫(huà)出幅度IX(ej)|的函數(shù)曲線。求x(n)的DFT的閉式表示，并與X(ej)對(duì)照。解:(1)3.12在圖P3.12中畫(huà)出了有限長(zhǎng)序列x(n),試畫(huà)出序列x(-n)4的略圖。3.12在圖P3.12中畫(huà)出了有限長(zhǎng)序列x(n),試畫(huà)出序列x(-n)4的略圖。X(Z)二藝R(n)z-n=SZ-n=ZN1-Z-1Nn=sn=0仃(z-W-k)訂(z-W-k)訂(z-ej錄k)=-=0N=N=zn-1(z一1)zn-1(z一1)zn-1ZN-1ZN-12兀極點(diǎn)：z=0(N1階)；零點(diǎn)：z=ejNk,k=1,2,.,N-10pk圖P3.11_l(1)是

55、極-零點(diǎn)分布圖。1一ejeNX(eje)=X(z)Iz=力E.N.N.Nje/ejee2(e2e2)丄丄丄e-j2e(ej2e-e-j2e)(N)sin一e12丿-esin2sinIX(ejo)1=(N)12丿.esin2圖P3.11_l(2)所示的是頻譜幅度IX(eje)|的函數(shù)曲線。X(k)=-1R(n)Wnk(3丿NNn=01WNk1e-j2兀kN-1-WkN=X(eje)1-e-j育k=N,k=0e=2兀k0,k=1,2,.,N-1N可見(jiàn)，X(k)等于X(eje)在N個(gè)等隔頻率點(diǎn)e=普(k=0,1,2,.,N-1)上的取樣值。Nx(n)9一-n-2-10123456圖P3.12解:3.

56、13有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換相當(dāng)與其Z變換在單位圓上的取樣。例如10點(diǎn)序列x(n)的離散傅里葉變換相當(dāng)與X(z)在單位圓10個(gè)等分點(diǎn)上的取樣，如圖P3.13(a)所示。為求出圖P3.13(b)所示圓周上X(z)的等間隔取樣，即X(z)在z二0.5ej(2“k/10)+(“/10)各點(diǎn)上的取樣，試指出如何修改x(n)，才能得到序列卩)，使其傅里葉變換相當(dāng)于上述Z變換的取樣。(a)圖P3.13解:X(k)=x(n)e-j養(yǎng)nk11n=0=X(z)1z=0.5exp=工x(n)(0.5)-ne-j10ne-j爺nkn=0兀由上式得到x(n)=(0.5)-nej10nx(n)i3.14如果一臺(tái)通用計(jì)

57、算機(jī)計(jì)算一次復(fù)數(shù)乘法需要100卩s，計(jì)算一次復(fù)數(shù)加法需要20卩s，現(xiàn)在用它來(lái)計(jì)算N=1024點(diǎn)的DFT,問(wèn)直接計(jì)算DFT和用FFT計(jì)算DFT各需要多少時(shí)間？解：直接計(jì)算DFT：復(fù)數(shù)乘法：N2=10242=1048576次,1048576x100卩s沁105s復(fù)數(shù)加法：N(N-1)=1024x1023=1047552次,1047552x20rs沁21s總計(jì)需要時(shí)間：(105+21)s=126s用FFT計(jì)算DFT：N,復(fù)數(shù)乘法：一logN=5120次,5120 x100s0.512s22復(fù)數(shù)加法：Nlog?N=10240次,10240 x20卩s0.2048s總計(jì)需要時(shí)間：(0.512+0.204

58、8)s=0.7168s3.15仿照本教材中的圖3.15，畫(huà)出通過(guò)計(jì)算兩個(gè)8點(diǎn)DFT的辦法來(lái)完成一個(gè)16點(diǎn)DFT計(jì)算的流程圖。解：圖P3.15_1所示的是用兩個(gè)8點(diǎn)DFT來(lái)計(jì)算一個(gè)16點(diǎn)DFT的流程圖。K(0)OK。XOx(6)oX(0)OxdojoX(14joK(1)OK。KOX(7)oKOK(n)&x(15jo(8X(9)X(10jX(11)xdzjx(13)XC14JX(15)L)-XI/7/9仃(2(3(4(5(6(7圖P3.15_13.16設(shè)x(n)二0,1,0,1,1,1，現(xiàn)對(duì)x(n)進(jìn)行頻譜分析。畫(huà)出FFT的流程圖，F(xiàn)FT算法任選。并計(jì)算出每級(jí)蝶形運(yùn)算的結(jié)果。x(0)0 xIx0

59、x0 x(1)1X1x(3)1x(7)0X1X；XXXXXXXo/-iXX3X%Xt瞬/3哼/-1吧X(0)4畑卜jX-2X(-1+1?姻+門(mén)忑X(1+jx(-1-1)+Z解：圖P3.16_1所示的為時(shí)間軸選8點(diǎn)FFT的流程圖和每級(jí)蝶形運(yùn)算的結(jié)果。圖P316_13.17根據(jù)本教材中圖3.27所示的流程圖，研究基2頻率抽選FFT算法。設(shè)N為2的任意整數(shù)冪，但不等于8。為了給數(shù)據(jù)全部加上標(biāo)號(hào)，假設(shè)數(shù)組中的數(shù)據(jù)被存在依次排列的復(fù)數(shù)寄存器中，這些寄存器的編號(hào)從0到N1,而數(shù)組的編號(hào)為0到log2N。具有最初數(shù)據(jù)的數(shù)組是第0列,蝶形的第一級(jí)輸出是第1列，依次類(lèi)推。下列問(wèn)題均與第m列的計(jì)算有關(guān)，這里lWm

60、WlogN，答案應(yīng)通過(guò)m和N2表示。要計(jì)算多少個(gè)蝶形?每個(gè)蝶形有多少次復(fù)數(shù)乘法和復(fù)數(shù)加法運(yùn)算？整個(gè)流程圖需要多少次復(fù)數(shù)加法和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算？由第(m-1)列到m列，包含的W的幕是什么？N蝶形的兩個(gè)復(fù)數(shù)輸入點(diǎn)的地址之間的間隔是多少？利用同樣系數(shù)的各蝶形的數(shù)據(jù)地址間隔是什么？注意這種算法的蝶形計(jì)算的系數(shù)相乘是置于蝶形的輸出端的。NN解：(1)logN級(jí)，每級(jí)個(gè)蝶形，共可logN個(gè)蝶形。每個(gè)蝶形有1次復(fù)數(shù)乘法和2次復(fù)數(shù)222使用基2FFT算法計(jì)算x(n)與h(n)的線性卷積，寫(xiě)出計(jì)算步驟。用C語(yǔ)言編寫(xiě)程序，并上機(jī)計(jì)算。解：(1)計(jì)算步驟：N加法運(yùn)算，故整個(gè)流程圖需要NlogN次復(fù)數(shù)加法和logN次復(fù)數(shù)