高等電磁理論

1、.1、 試證明亥姆霍茲定理。亥姆霍茲定理指出，在由閉合面所包圍的體積中的任一矢量場，由它的散度、旋度和邊界條件（即限定空間體積的閉合面上的矢量場分布）唯一確定，并可寫成一個無旋場和一個無散場之和。下面證明亥姆霍茲定理。在圖1-1所示三維直角坐標系中有一閉合面，是閉合面所包圍的有限空間。、為有限空間中任意的點，各自坐標分別為、，或者記為、。點指向點的矢量記為。圖1-1利用函數的抽樣性質，有限空間中任意一點處的矢量場可以寫為：（1-1）方程1-1右端的積分空間為閉合面所包圍的有限體積，積分變量是，此時可視為常量并且只有當它位于內時方程1-1才成立。為了對方程1-1做進一步處理，考慮使用如下等式。（

2、1-2）等式1-2的證明見附錄1.1。將方程1-2帶入方程1-1可得（1-3）其中積分變量為，而拉普拉斯算子是作用在上，所以交換拉普拉斯算子與積分的運算順序不影響結果，交換兩者運算順序有：（1-4）根據矢量恒等式：方程1-4可以寫為：（1-5）令：（1-6-1）（1-6-2）令：（1-7-1）（1-7-2）則方程1-5可以重新寫為：（1-8）在方程1-8中，矢量場是標量的負梯度為無旋場，矢量場是矢量的旋度為無散場，這就將矢量場表示為了一個無旋場與一個無散場的和。下面對和做進一步處理。在方程1-6-1中，由于求散度運算“”作用于變量，積分運算中積分變量是，所以交換兩運算的順序不影響結果。交換運算

3、順序得：（1-9）根據矢量恒等式：（1-10）得：（1-11）考慮到求散度運算“”只作用于變量，而是關于的函數，所以對求散度的結果為零。方程1-11右端只剩下一項：，代入方程1-9得：（1-12）考慮到等式：（1-13）其中“”作用于變量的梯度運算。等式1-13的證明見附錄1.2。方程1-12可以重新表示成：（1-14）利用矢量恒等式：（1-15）可得：（1-16）將方程1-16代入方程1-14得：（1-17）對上式右端第二項使用高斯定理：（1-18）代入1-17有：（1-19）在式1-6-2中，由于求旋度運算“”作用于變量，積分運算中積分變量是，所以交換兩運算的順序不影響結果。交換運算順序得

4、：(1-20)根據矢量恒等式：（1-21）可得到：（1-22）考慮到求旋度運算“”只作用于變量，而是關于的函數，所以對求旋度的結果為零。方程1-22右端只剩下一項：，代入方程1-20得：（1-23）再次使用等式1-13，上式可以寫為：（1-24）利用矢量恒等式：（1-25）得：（1-26）帶入1-24得：（1-27）利用恒等式：（1-28）方程1-27右端的第二項可以寫成：（1-29）帶入1-27得：（1-30）綜上，亥姆霍茲定理可以描述為：在由閉合面所包圍的體積中的任一矢量場可以分為用一標量函數的梯度表示的無旋場和用另一矢量函數的旋度表示的無散場兩部分，即（1-31）而式中的標量函數和矢量函

5、數分別與體積中矢量場的散度源和旋度源，以及閉合面上矢量場的法向分量和切向分量有關，即（1-32a）（1-32b）上式中閉合面的法線的正方向指向閉合面外。證畢。附錄11.1 證明等式 。證明：設直角坐標空間中任意兩點、，坐標分別為、，或者記為、，點指向點的矢量記為。則點到的距離記為（1.1-1）對求梯度“”：（1.1-2）當時，由的表達式1.1-1可得：（1.1-3a）(1.1-3b)(1.1-3c)帶入1.1-2得：(1.1-4)對標量函數求梯度：（1.1-5）將1.1-4帶入上式得：（1.1-6）對矢量函數求散度：（1.1-7）其中：（1.1-8）（1.1-9）將1.1-4帶入方程1.1-9

6、得：（1.1-10）將1.1-8和1.1-10帶入1.1-7得：（1.1-11）在體積上對進行體積分，若積分體積中不包含點則在積分體積中恒成立，則根據1.1-11有被積函數恒等于零，積分結果自然為零。如果積分體積中包含點，此時可以選取以點為球心半徑為的球面將原積分空間劃分為球外和球內兩個積分空間。在球外的空間中顯然已不含點，所以積分結果為零。在球內積分時，利用高斯定理有：（1.1-12）其中，是以點為球心半徑為的球，是球面。將1.1-6帶入上式得：（1.1-13）由于位于圓心，位于球面上，所以到的距離恒等于，并且矢量的方向與球面法線方向相同，因此有（1.1-14）所以此情況下在體積上對進行體積

7、分的結果為：（1.1-15）綜上，在體積上對進行體積分的結果可以表示為：（1.1-16）上式也可以表示成：（1.1-17）而三維函數的積分性質為：（1.1-18）比較1.1-17和1.1-18兩式，可以得出，命題得證。證畢。1.2證明等式：。證明：因為：（1.2-1）對求梯“”度有：（1.2-2）當時，由的表達式1.2-1可得：（1.2-3a）(1.2-3b)(1.2-3c)帶入1.2-2得：(1.2-4)對標量函數求梯度“”：（1.2-5）將1.2-4帶入上式得：（1.2-6）以上的求梯度運算“”是作用在的，若將運算作用在上則有：（1.2-7）當時，由的表達式1.2-1可得：(1.2-8a)

8、(1.2-8b)(1.2-8c)帶入1.2-7得：（1.2-9）對標量函數求梯度“”：（1.2-10）將1.2-9帶入上式：（1.2-11）比較1.2-6和1.2-11有（1.2-12）即有：。證畢。2、 試證明唯一性定理。這里主要證明：（一）矢量場唯一性定理；（二）電磁場唯一性定理。（一） 矢量場唯一性定理這里所考慮的矢量場是不隨時間變化的靜態(tài)場。矢量場唯一性定理指出：在任一區(qū)域中，若矢量場的散度、旋度以及邊界上場量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中只可能存在唯一的矢量場。分析：為證明唯一性，首先假設存在兩個滿足條件的矢量場，接著利用假設，若能夠證明這兩個矢量場相等則說明唯一性成立。證明

9、：假設存在矢量場及均滿足給定條件：二者在區(qū)域中具有相同的散度和旋度即：，在包圍的邊界上具有相同的法向量或者切向量即：或。下證。令為差場，則在區(qū)域中矢量場的差的散度和旋度分別為：（2-1a）（2-1b）根據所假設的條件：兩矢量場在區(qū)域中具有相同的散度和旋度，則有：(2-2a)(2-2b)因為無旋的場可以表示為標量場的梯度，所以根據2-2b可以令（2-3）其中是任意標量。將2-3帶入2-2a得：（2-4）根據第一標量Green定理：（2-5）式中的方向為封閉面的正法線方向，標量、為任意標量，若令兩個標量相同都為，則方程可寫為：（2-6）將2-4帶入上式得：（2-7）因為是要往證矢量場和相等即兩者場

10、差為零，而由2-3可知證明為零可以轉化為證明為零。在假設的條件中還給出了邊界上的條件，分為兩種情況：給定邊界上場量的法向分量或切向分量。（1）給定邊界上場量的法向分量，則有，即。根據2-3得（2-8）又由于標量場沿法向的方向導數等于它的梯度在法向上的分量，所以有：（2-9）上式表示，在邊界上恒等于零，所以在上的面積分結果為零，帶入2-7得：（2-10）考慮到是一個非負函數，所以在上對它進行積分所得結果為零的原因只可能是被積函數恒等于零，進而有。根據2-3有：（2-11）所以得到。（2）給定邊界上場量的切向分量，則有，即。根據2-3得（2-12）又由于標量場沿切向的方向導數等于它的梯度在切向上的

11、分量，有（2-13）上式說明，在邊界上標量沿的切線方向沒有變化，即是標量場的等值面，因此方程2-7右端積分號中的可以提出，即（2-14）由于，則方程2-14可以寫為（2-15）對使用高斯定理得（2-16）由2-4得，帶入上式得（2-17）將2-17帶入2-15得（2-18）這樣依據情況（1）中同樣的推導可以得到。綜上，假設中的兩個矢量場、實際是相等的，即在區(qū)域及邊界上滿足條件的矢量場是唯一的。矢量場唯一性定理證畢。（二）電磁場唯一性定理靜電荷產生的靜電場、恒定電流產生的靜磁場都是不隨時間變化的靜態(tài)矢量場，滿足上述的矢量場唯一性定理。對于隨時間和空間都變化的時變電磁場也存在類似的唯一性定理。時變

12、電磁場唯一性定理表明，在閉合面包圍的區(qū)域中，當時刻的電場強度及磁場強度的初始值給定時，又在的時間內，邊界面上的電場強度的切向分量或者磁場強度的切向分量給定時，則在的任何時刻，體積中任一點的電磁場由Maxwell方程唯一決定。分析：微分方程是物理規(guī)律的數學表達式，因此對電磁場唯一性的證明即是對表示電磁場規(guī)律的微分方程的確定性的證明。由于微分方程的解可以是一系列滿足方程的通解，所以光有微分方程還不足以準確的描述某個特定的物理現象。為準確地描述一個特定的物理現象還需要在相應的微分方程上加上特定的條件，通常包括初始狀態(tài)和邊界條件。綜上，證明電磁場唯一性即是證明滿足初始狀態(tài)和邊界條件的Maxwell方程

13、的確定性。下面綜合微分方程和方程所滿足的條件兩個方面來證明定理。證明：在區(qū)域中時變電磁場滿足Maxwell方程：(2-19a)(2-19b)(2-19c)(2-19d)由Maxwell方程可以得到時變電磁場的能量定理(2-19e)設有兩組解，及，均滿足Maxwell方程及能量定理，由于Maxwell方程及能量定理都是線性的，因此差場及也滿足Maxwell方程以及能量定理。所以有2-20由于場差矢量和可以分解為兩個互相正交的方向上的分量之和（選取面的切向和方向兩個正交的方向）2-20a2-20b其中、為場差的切向分量，、為場差的法向分量。所以2-21當邊界上的電場強度切向分量或者磁場強度的切向分

14、量給定時，邊界上的差場切向分量或，所以上式中第一項為零。此外，所以上式只剩下中間兩項。帶入2-20中的積分，有（2-22）由于矢積和的方向一定垂直于法向n方向。所以上式積分結果必為零。2-20可重新寫為2-23由于上式右端被積函數只可能大于或者等于零，即（2-24）所以（2-25）上式積分值對時間求導結果非正表示該積分值隨時間增加而減少或者不隨時間變化。又由于根據初始條件，時刻的場強及是給定的，那么時刻的差場，故時刻的積分值。因此，2-25中積分的值只可能小于零或等于零，即（2-26）另一方面，從物理意義上來看，上式積分代表電磁場能量，它只可能大于零或等于零。因此該積分只可能為零。由此得，差場

15、為零，即，唯一性得證。電磁場唯一性定理證畢。3、 試證明鏡像原理鏡像原理是根據唯一性定理求解某些具有理想導體邊界的電磁場邊值問題的一種方法。鏡像原理指出：當位于區(qū)域外的一個或有限個鏡像源滿足一定要求時，可以用來代替邊界的影響，鏡像源與真實源在區(qū)域中共同產生的場與原來區(qū)域中的場相等。分析：電磁場所在的區(qū)域通常是有限的。由電磁場唯一性定理，這種有限區(qū)域的邊界特性直接影響區(qū)域中的場分布，這就是所謂電磁場的邊值問題。鏡像原理只適合于一些特殊的邊值問題。這里對鏡像原理的證明，根據電磁場隨時間的變化情況，分為兩種情況。一個是靜態(tài)場的鏡像原理，另一個是時變電磁場的鏡像原理。（一） 靜態(tài)場鏡像原理靜態(tài)場包括靜

16、電場與靜磁場，是不隨時間變化的場。靜電場和靜磁場分別由靜止電荷與恒定電流產生。下面利用“矢量場唯一性定理”證明無限大理想導電平面的靜態(tài)場鏡像原理。（1） 靜電場鏡像原理3.13.2靜止電荷產生靜電場。靜電場鏡像原理指出：如圖3.1所示，在三維直角坐標空間中，無限大理想導電平面與平面重合。在的空間某處放置一正電荷。圖3.2為3.1去掉導電平面并在正電荷關于平面的鏡像位置放置一等量負電荷的示意圖。兩種情況下，在的空間內有相同的電場。證明：在圖3.1由點電荷與無限大理想導電面構成的系統(tǒng)中，電荷是形成電場的源，而且是散度源。作為源的電荷分成兩部分，一部分為處在自由空間中的正電荷，另一部分是位于導電面上

17、而且靠近空間正電荷的部分區(qū)域內被正電荷感應的負電荷。這兩部分源為有限空間分布，而形成的電場則分布在無限大的空間。此電場所在的無限區(qū)域與“矢量場唯一性定理”中的有限區(qū)域是不一樣的。不過根據庫侖定律，空間某處電場強度的大小和它到源點間的距離是成反比例關系的，這意味著在自由空間中距離場源無限遠的位置電場強度趨向于零。在空間中距離場源足夠遠的地方作一個曲面，使得與導電平面上部分構成封閉曲面，如圖3.3所示。因為上的點距離場源足夠遠，所以上的電場強度大小趨近于零，并且在封閉曲面外面的自由空間中電場強度大小也趨近于零。這樣就將電場所在的無限大區(qū)域分成了兩個部分，一個是封閉曲面外部的零場區(qū)，另一個是以封閉曲

18、面為邊界的有限區(qū)域。在3.2中也做同樣的閉合面，結果如圖3.4所示。下面只考察有限區(qū)域。3,33.4“矢量場唯一性定理”有兩個方面的要求，一方面針對有限區(qū)域內的場源，另一方針對區(qū)域邊界上的場。如果區(qū)域內的場源給定并且區(qū)域邊界上場的切向分量或者法向分量給定則區(qū)域內的場才唯一。下面分別從這兩個方面比較圖3.3和3.4所示的兩種情況?！笆噶繄鑫ㄒ恍远ɡ怼币髤^(qū)域內場的散度和旋度都要給定。而電場只有散度即為自由電荷，沒有旋度 。根據3.3和3.4中封閉區(qū)域內電荷的分布情況來看，顯然兩種情況中的場的散度是一樣的。圖3.3中，上電場強度大小為零，那么電場的切向分量也必為零。在上，由于是理想導電平面，所以上

19、切向電場為零。圖3.4中，上電場強度大小趨近為零，電場的切向分量自然也為零。在上，與合場強的切向分量為零?？梢姡瑑煞N情況下在邊界上電場強度的切向分量相同都為零。綜上圖3.3和3.4所示的兩種情況滿足“矢量場唯一性定理”，則兩種情況下，以為邊界的封閉面內部的電場相同。即靜電場鏡像原理成立。（2） 靜磁場鏡像原理恒定電流產生靜磁場。下面利用“矢量場唯一性定理”證明無限大理想導電平面的靜磁場鏡像原理。由于考慮到電流是具有流向的量，因此首先考察兩種具有特殊流向的電流的情況，即流向與無限大理想導電平面垂直和平行兩種情況。其它流向的電流都可以分解到這兩個方向上。電流的流向與理想導電平面垂直，如圖3.5所示

20、，它的鏡像原理示意圖如3.6。圖3.5圖3.6往證圖3.6所示情況下封閉面內的磁場與3.5中封閉面內磁場相等，其中封閉面的選取與靜電場鏡像原理中封閉面選取方法相同，并且與電場類似也有在上磁場強度大小趨近為零，則法向分量必然為零。又因為在3.5中是理想導電平面，所以上磁場法向分量為零。而在3.6中，根據線電流所產生磁場的性質，在上磁場法向分量為零。所以有，兩種情況下，磁場在邊界面上的法向分量相同。此外，因為靜磁場的散度為零，旋度為恒定電流，而在3.5和3.6各自的封閉曲面內，電流的空間分布和大小都是一樣的，這說明兩種情況下的磁場具有相同的散度和旋度。綜上，根據矢量場唯一性定理可得如圖3.5和3.

21、6所示的封閉面內磁場相同。即當電流垂直于無限大導電平面放置時，鏡像原理成立。電流的流向與理想導電平面平行，如圖3.6所示，它的鏡像原理示意圖如3.7。3.63.7在圖3.6中，上磁場大小趨近為零，則法向分量必為零。在上，由于是理想導電平面，故磁場法向分量為零。所以在邊界上磁場法向分量為零。在圖3.7中，上法向分量和前種情況相同也為零，在上根據線電流所產生磁場的性質，合成磁場在法向上的分量為零，所以這種情況下在邊界上磁場法向分量也為零。即兩種情況下，磁場在邊界上的法向分量相同。對于區(qū)域內磁場散度與旋度的考慮和中的分析一樣，可以得到3.6和3.7各自的封閉面內磁場具有相同的散度和旋度。綜上，根據“

22、矢量場唯一性定理”可得圖3.6和3.7所示的封閉面內磁場相同。即當電流平行于無限大導電平面放置時，鏡像原理成立。對于如圖3.8所示無限大理想導電平面上方流向任意的電流，可以分解為方向正交的電流和，如圖3.9所示。根據上述靜磁場的鏡像原理，和的鏡像電流分別為和如圖3.10所示。和的合成電流即為原電流的鏡像電流如圖3.11所示。并且有：在無限大理想導電平面上方產生的磁場與和在空間產生的磁場相同。3.83.93.103.11所以任意流向電流的鏡像原理是成立的。（二） 時變電磁場鏡像原理以上靜態(tài)場的鏡像原理主要是根據“矢量場唯一性定理”。對于隨時間變化的源所產生的時變場也存在同樣的鏡像原理，不過原理的

23、證明主要是根據“時變電磁場唯一性定理”。在靜態(tài)場的分析中，產生場的源即靜電荷和恒定電流是被分開考慮的。而在時變電磁場，電流連續(xù)性定理將時變電荷與時變電流聯系在了一起。如圖3.12所示的直線電流元，在它的兩端必將同時存在大小相等符號相反時變電荷。3.12直線電流元因為任何時變電磁場的場源都可以看成是由若干如圖3.12所示的直線電流元組成。所以為證明時變電磁場的鏡像原理，需先證明直線電流元的鏡像原理，再根據線性疊加性質將鏡像原理推廣到復雜源的情況。下面證明直線電流元的鏡像原理。3.13a3.13b直線電流元的鏡像原理指出：在圖3.13a所示直角空間坐標系中，無限大理想導電平面與平面重合，一直線電流

24、元放置在上半平面內。面的選取使得上場的值趨向于零。與構成封閉面，將無限空間轉化為有限空間。圖3.13b為3.13a去掉無限大理想導電平面，并在添加原電流的鏡像電流的情形。兩種情況下，各自閉合面中電磁場相同。證明：“時變電磁場唯一性定理”表明，在有限區(qū)域中，當滿足以下三個條件時，時變電磁場是唯一的：（1） 初始條件，即在時，區(qū)域中的電磁場給定；（2） 邊界條件，即在邊界上，電場強度的切向分量或者磁場強度的切向分量給定；（3） 區(qū)域中源給定時，時變電磁場滿足maxwell方程。首先，在區(qū)域中，時變電磁場顯然是滿足maxwell方程的。其次，根據maxwell方程，電磁場是以有限的速度從源處向外傳播

25、的，這意味著，在時電磁場只存在于源區(qū)，無源區(qū)場點處電磁場為零。比較3.13a和3.13b各自封閉面內的區(qū)域，由于源的分布是完全一樣的，所以在時刻各自封閉面包圍的區(qū)域中，源區(qū)電磁場相等，無源區(qū)電磁場都為零也相等。滿足“時變電磁場唯一性定理”所要求的初始條件。對于邊界條件，這里主要考察邊界上的電場。在3.13a中，因為上電場的值趨向于零，則上電場切向分量必為零。又由于是無限大理想導電平面，所以上切向電場為零。所以邊界上電場的切向分量為零。在3.13b中，同樣有上電場切向分量為零。此外還需求出上的電場。這里采用間接法求電場，即先求出矢量位，再根據電場強度與矢量位的關系求出。在洛侖茲條件下，矢量為只取

26、決于電流（3-1）式中是電流源所在的源區(qū)，是電磁場在自由空間中傳播的速度，是自由空間磁導率。電場強度與矢量位的關系為（3-2）上任一場點處的矢量位為原電流產生的矢量位和鏡像電流產生的矢量位之和。(3-3a)(3-3b)其中和分別為原電流和鏡像電流的流向的單位向量。由于原電流與鏡像電流二者的電流密度大小相等不妨令為，故有（3-4）所以（3-5）由于兩電流源的鏡像位置的原因，的結果只是沿方向的量，不妨設為表示沿方向大小為的矢量。則3-5可以表示為（3-6）上式說明只含有方向分量，所以對時間求偏導，結果也不會出現切向分量。若對進行散度運算“”，有（3-7）又由于以上的運算是在面進行的，此時結果必為零

27、，故3-7也為零。再對進行梯度運算結果仍為零。帶入3-2可知，電場的切向分量為零。所以3.13b中，在邊界上電場切向分量為零。即3.13a和3.13b在邊界上具有同樣的電場切向分量，滿足“時變電磁場唯一性定理”的邊界條件。綜上，無限大理想導電面附近直線電流元的鏡像原理成立。根據線性疊加性，無限大理想導電平面附近任意時變電流源的鏡像原理也成立。4、試證明等效原理等效原理指出，在某一區(qū)域中能產生同樣電磁場的該區(qū)域外的兩種源，對該區(qū)域內的場是等效的，這時對該區(qū)域內的場來說，該區(qū)域外的這兩種源的一種源是另一種源的等效源。電磁場的實際源可以用它的等效源來代替，實際源的邊值問題的解可以用等效源的邊值問題的

28、解來代替。分析：設在介質參數為，的均勻無限大空間中，存在電流源及磁流源，它們共同產生的電磁場為及。作一個閉合面包圍及，如圖4.1.1所示；4.1.14.1.2現將中的電流源及磁流源移去而在面上放置面電流及面磁流如圖4.1.2所示。若能使此新放置的源與真實源在外區(qū)域中產生的電磁場相同，則說明放置在上的源是真實源的等效源，即等效原理成立。因此，要證明等效原理成立，即要證明等效源的存在性。令包圍的內區(qū)域為，外的區(qū)域為。因為源只存在于中，所以當中的真實源確定時，它在中所產生的電磁場也隨之確定。若從“電磁場唯一性定理”的角度來看，中的場取決于中的源和的邊界。當中不存在源時，中的場就只取決于邊界條件。所以

29、中確定的場要求了的邊界上確定的邊界條件。當然，這里的邊界條件取決于中或者面上的源。因此要證明對于中場的等效源的存在性，即要證明能在的邊界上產生確定邊界條件的等效源的存在性。證明：設如圖4.1.1所示的原問題中，真實源在邊界面上產生的電磁場確定為和。所以4.1.2中面上的等效源在閉合面外側產生的場為。又假設面上的等效源在閉合面內側產生的場為。所以根據電磁場邊界條件，面源與邊界兩側場量的關系為：4-1-14-1-2式中為閉合面的外法線方向上單位矢量。上式中是確定的，而是任意的，但一旦確定，則便確定。既然是任意的，則不妨令為零。此時等效源變?yōu)椋?-2-14-2-2這不僅說明等效源是存在的而且是確定的

30、。這種等效源稱為Love等效源或稱為零場等效源。上面的證明同時利用了面上和的切向分量。而事實上電磁場唯一性定理要求在邊界上電場的切向分量或者磁場的切向分量兩者中有一個確定即可。這意味著，僅有磁流源或者僅有電流源就可以構成等效源。這兩種等效形式稱為Schelkunoff等效原理。5、 試證明感應原理在均勻空間中，已知源的分布后，可以求出空間任一點的場。但是實際空間中通常存在一些障礙物，這些障礙物在電磁場作用下，內部將產生極化電荷、傳到電流及磁化電流。這些電荷及電流在空間中又產生二次場，這種二次場通常稱為散射場，產生散射場的物體稱為散射體。感應原理用于求解這種散射場。當空間存在散射體時，空間電磁場

31、應為入射場與散射場之和。設空間總場為，入射場為，散射場為，則5-1-15-1-2為求散射場，利用等效原理。沿散射體表面作一個閉合面，令上分布兩種面等效源：面電流及面磁流。則面等效源在面外產生的場與散射體在面外所產生的場必然相同，而兩者在面內產生的場不一定相同。等效源及場的分布如圖5.1所示，為面內的場。5.1面源與邊界兩側場量的關系為：5-2-15-2-2式中，場量帶下標表示場位于邊界上。根據等效原理，面內的場是任意的，這里不妨令面內的場等于原先的總場，即，。帶入式5-2-1和5-2-2可得（5-3-1）（5-3-2）又根據5-1，在邊界上散射場可以用總場與入射場來表示，即（5-4-1）（5-

32、4-2）帶入5-3得（5-5-1）（5-5-2）這說明，障礙物對入射場的散射場等效于在這一障礙物的表面上放置值為入射場切向分量（如5-5）的等效電流源和磁流源所激發(fā)的場，這就是感應原理。6、 試證明巴比涅原理巴比涅原理原是光學中關于完全吸收的衍射屏與它的互補盤的衍射場的關系的原理。光學巴比涅原理涉及光強度而不是矢量場，同時光學巴比涅原理中的完全吸收屏在電磁場中也不存在，因此，光學中標量巴比涅原理不能直接用于電磁場。適應于電磁場的矢量巴比涅原理是由英國學者H.G.Booker建立的，稱為推廣的巴比涅原理或者電磁場巴比涅原理。設電流在自由空間產生的入射場場強為?，F設在處放置一無限大理想導電薄屏，屏

33、上開有形狀任意的孔，孔區(qū)的面積用表示。將此導電屏放置在電流附近時，導電屏會產生散射場，散射場與電流的入射場之和為空間中的總場，用表示，如圖6.1.1所示。若在上述的孔區(qū)放上同樣大小的導磁體，而在A以外的余面上保持自由空間，此時導磁面仍會產生散射場，并與入射場疊加形成空間總場，如圖6.1.2所示。6.1.16.1.2電磁場巴比涅原理指出，在空間上述各個場強之間的關系為：（6-1-1）（6-1-2）分析： “電磁場唯一性定理”指出，區(qū)域中確定的電磁場取決于區(qū)域內確定的源及確定的邊界條件。這里，由于的空間是無源區(qū)，所以的空間內確定的場只取決于的邊界上場的情況。方程6-1左邊表示電流源在的空間產生的入

34、射場，右邊的場是兩部分場的疊加，一部分是在導電面附近放置電流源時的空間內的場，另一部分是在導磁面附近放置電流源時的空間內的場。根據上面的分析，為證明方程兩邊的場相等即要證明它們滿足相同的邊界條件。此外“電磁場唯一性定理”對邊界的要求是時，邊界上電場的切向分量或者磁場的切向分量給定。所以需要從邊界上電場的切向分量或磁場的切向分量來考慮。證明：對于導電面附近放置電流源的情況，如圖6.1.1所示。邊界的平面可以分成兩部分，一部分是導電面，另一部分是孔面。在導電面上電場切向分量顯然為零。在孔面上，總場為入射場與屏的散射場之和，但導電平面上的面電流不會在與它處在同一平面的孔平面上產生切向磁場（證明見附錄

35、6.1），因此，孔平面上的切向磁場等于入射場的切向磁場。所以有的平面上邊界條件：在上 （6-2-1）在上 （6-2-2）對于導磁面附近放置電流源的情況，如圖6.1.2所示。邊界同樣可以分成兩部分，一部分是放置導磁體的孔平面，另一部分是自由空間平面。在導磁面上，磁場切向分量顯然為零，而在它的余面上總場為入射場與磁屏的散射場之和，但導磁平面上的面磁流不會在與它處在同一平面的孔平面上產生切向電場，因此，面上的切向電場等于入射場的切向電場。所以有的平面上邊界條件：在上 （6-3-1）在上 （6-3-2）將以上兩種場相疊加，相應的邊界條件也疊加，得在上 （6-3-1）在上 （6-3-2）上式說明，場和場

36、疊加后，在平面的上與入射場有相同的切向電場分量，而在孔平面上和入射場有相同的切向磁場分量，所以根據電磁場唯一性定理可得式6-1。即電磁場巴比涅原理得證。附錄6.11. 證明導電平面上的面電流不會在與它處在同一平面的平面上產生切向磁場。證明：設面電流所在平面與xoy面平行，如圖6.2所示。圖6.2由電流與空間矢量位的關系（6-4）可得，與xoy面平行的面電流所產生的矢量位也必定與xoy面平行，即矢量位只含有x和y兩個方向的分量，而沒有z方向分量，不妨設為（6-5）式中分別表示矢量位在x方向上的分量大小和在y方向上的分量大小。假設面電流所在平面的z坐標為，則面電流在的平面上產生的矢量位為（6-6）

37、又因為磁場與矢量位的關系為（6-7）將式6-6帶入6-7得（6-8）因為對求偏導時為常量，故偏導結果為零，所以上式結果不含切向分量。即面電流不會在與它處在同一平面的平面上產生切向磁場。命題得證。7、 式證明互易定理電磁場互易原理又稱為互易定理，是關于兩組源相互作用的定理。在一定的介質條件下，兩組源之間具有互易關系。設區(qū)域內充滿各向同性的線性介質，兩組同頻率的源和分別放置在內的有限子區(qū)域和中。兩組源相應的場分別為和。如圖7.1所示。圖7.1兩組源產生的場都滿足頻域Maxwell方程組，有（7-1-1）（7-1-2）及（7-2-1）（7-2-2）利用矢量恒等式，得（7-3-1）（7-3-2）將7-

38、1與7-2代入上式得（7-4-1）（7-4-2）式7-4-1減7-4-2，得（7-5）將式7-5兩邊對體積求積分，再結合高斯定理得（7-6）式7-5和式7-6分別稱為互易定理的微分形式和積分形式。若式7-5僅對有源區(qū)或求積分，那么閉合面僅包圍源a或者源b，即或，則積分的結果分別為（7-7-1）（7-7-2）若式7-5僅對無源區(qū)求積分，那么閉合面不包括任何源，因此面積分為零，即：(7-8)上式稱為洛倫茲互易定理。上式表明，若已知一種源產生的電磁場就能求出另一種電磁場。事實上，式7-6右端進行體積分時，只要積分體積包括了全部的源而不管它超出源體積多大，積分都會是在源體積上進行，所以積分結果都會是固

39、定的常數。那么此時等式左端的面積分自然也為相同的常數。若取擴大到無限遠的閉合面為積分面，這個結論仍然成立，而且由于在這個面上，式7-6左端的面積分可以確定為零，即上述固定的常數為零。所以對任意的能夠包圍全部源的閉合面進行積分，結果都為零。即滿足洛倫茲互易定理。此外，當式7-8成立時，由式7-6可得（7-9）考慮到源a僅存在中，源b僅存在中，上式又可以寫為下面形式：（7-10）該式稱為卡森互易定理。7.1證明：緊貼在一塊理想導電體表面上的電流元的輻射場為零。證明：用反證法。如果緊貼在理想導體表面上的電流元有輻射場，那么至少有一點場不為零，記為。另取一電流元放在場不為零的點，并使電流元沿放置，設電

40、流元的場為。應用卡森互易定理，由于無磁流元，由式7-10得（7-11）上式中分別表示電流元的線電流密度。考慮到是在很短的長度上進行積分，所以在積分范圍內可以認為電場為常數，可以提出積分號。所以上式為（7-12）因為在理想導體表面只可以存在電場強度的垂直分量，所以電流元在電流元附近產生的電場強度必垂直于理想導體表面，因而同時也垂直于電流元，所以的值為零。所以7-12右端的值也為零。又由于和方向相同，所以（7-13）由于電流元的值不為零，所以只可能是的值為零。因此證明了緊貼在一塊理想導電體表面上的電流元的輻射場為零。8、 靜電場電位邊值問題的唯一性定理指出：當在場域中電位滿足Possion方程或L

41、aplace方程，在邊界上滿足第一類（給定區(qū)域邊界上的電位值）、第二類（給定區(qū)域邊界上電位的法向導數）、第三類（給定區(qū)域邊界上電位值和法向導數值）。試對此定理做完整證明。分析：因為任何一個具體的物理現象都是處在特定條件下的，所以在描述一個具體問題時，既要給出此問題所具有的物理規(guī)律的數學式子，也要把這個問題所具有的特定條件用數學形式表達出來。此特定條件也稱為定解條件，包括用以說明初始狀態(tài)的初始條件和用以說明邊界上的約束情況的邊界條件。一個偏微分方程（也叫泛定方程）和相應的定解條件結合在一起就構成了一個定解問題。Laplace方程和Poisson方程都是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與初始狀態(tài)無關，所以不提初始

42、條件，只討論邊界條件。邊界條件有如下三種類型：（1） 在邊界上直接給出未知函數的值。稱為第一類邊界條件。（2） 在邊界上給出未知函數沿邊界外法線方向的方向導數。稱為第二類邊界條件。（3） 在邊界上給出未知函數及其沿邊界外法線方向導數的某一線性組合值。稱為第三類邊界條件。在均勻、線性、各向同性的電介質中，是一個常數。因此有（8-1）為自由體電荷密度。將代入上式得（8-2）這就是電位的泊松方程。在自由體電荷密度的區(qū)域內，式8-2變?yōu)椋?-3）這就是電位的拉普拉斯方程。在靜電場問題中，如果帶電導體系統(tǒng)的形狀、尺寸、相對位置以及導體間的電介質分布一定，則滿足給定邊界條件的拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯

43、一的。采用反證法證明此唯一性定理。證明：如圖8.1所示，設在有限區(qū)域內放置N個帶電導體并在外面用一個無限大的球面把它們包圍起來。球面以內，除去各導體所占部分以外，設總體積為。限定體積的閉合面由兩部分組成，一部分是無限大的球面，另一部分則是各導體的表面，即。圖8.1假設在體積內，拉普拉斯方程的解不是唯一的，至少有兩個解和都滿足給定的邊界條件。則有 ，顯然（8-4）式中（8-5）在內利用第一標量Green定理：（8-6）令上式中的標量都為，則有（8-7）由式8-4，上式簡化為（8-8）因為電荷分布在有限區(qū)域內，所以正比于，正比于，正比于，當時，在無限大球面上面積分趨于零。所以（8-9）1.第一類邊值問題給定的是各導體表面上的電位。既然和滿足相同的邊值，則在各導體表面上必然有。如果在導體表面上只取有限值，則式8-9右端等于零。故（8-10）上式中的被積函數是個非負數，在體積內必然有=0。2.第二類邊值問題給定的是各導體表面上的電位法向導數。既然假定和滿足相同的邊值，則在各導體表面上必然有，同樣可以由式8-9得到=0。3.第三類邊值問題一般意義上的第三類邊值問題指給定的是各導體表面上與的線性組合的值， 而靜電場電位問題的第三類邊值問題是更為特殊的一類問題。這里說它特殊主要指上述線性組合的特殊，表現在并非是任意的線性組合。靜電場電位問題的第三類邊值問題指在一部分導體表面上給定電位值即第一