高等電磁理論

1、.1、 試證明亥姆霍茲定理。亥姆霍茲定理指出，在由閉合面所包圍的體積中的任一矢量場(chǎng)，由它的散度、旋度和邊界條件（即限定空間體積的閉合面上的矢量場(chǎng)分布）唯一確定，并可寫成一個(gè)無旋場(chǎng)和一個(gè)無散場(chǎng)之和。下面證明亥姆霍茲定理。在圖1-1所示三維直角坐標(biāo)系中有一閉合面，是閉合面所包圍的有限空間。、為有限空間中任意的點(diǎn)，各自坐標(biāo)分別為、，或者記為、。點(diǎn)指向點(diǎn)的矢量記為。圖1-1利用函數(shù)的抽樣性質(zhì)，有限空間中任意一點(diǎn)處的矢量場(chǎng)可以寫為：（1-1）方程1-1右端的積分空間為閉合面所包圍的有限體積，積分變量是，此時(shí)可視為常量并且只有當(dāng)它位于內(nèi)時(shí)方程1-1才成立。為了對(duì)方程1-1做進(jìn)一步處理，考慮使用如下等式。（

2、1-2）等式1-2的證明見附錄1.1。將方程1-2帶入方程1-1可得（1-3）其中積分變量為，而拉普拉斯算子是作用在上，所以交換拉普拉斯算子與積分的運(yùn)算順序不影響結(jié)果，交換兩者運(yùn)算順序有：（1-4）根據(jù)矢量恒等式：方程1-4可以寫為：（1-5）令：（1-6-1）（1-6-2）令：（1-7-1）（1-7-2）則方程1-5可以重新寫為：（1-8）在方程1-8中，矢量場(chǎng)是標(biāo)量的負(fù)梯度為無旋場(chǎng)，矢量場(chǎng)是矢量的旋度為無散場(chǎng)，這就將矢量場(chǎng)表示為了一個(gè)無旋場(chǎng)與一個(gè)無散場(chǎng)的和。下面對(duì)和做進(jìn)一步處理。在方程1-6-1中，由于求散度運(yùn)算“”作用于變量，積分運(yùn)算中積分變量是，所以交換兩運(yùn)算的順序不影響結(jié)果。交換運(yùn)算

3、順序得：（1-9）根據(jù)矢量恒等式：（1-10）得：（1-11）考慮到求散度運(yùn)算“”只作用于變量，而是關(guān)于的函數(shù)，所以對(duì)求散度的結(jié)果為零。方程1-11右端只剩下一項(xiàng)：，代入方程1-9得：（1-12）考慮到等式：（1-13）其中“”作用于變量的梯度運(yùn)算。等式1-13的證明見附錄1.2。方程1-12可以重新表示成：（1-14）利用矢量恒等式：（1-15）可得：（1-16）將方程1-16代入方程1-14得：（1-17）對(duì)上式右端第二項(xiàng)使用高斯定理：（1-18）代入1-17有：（1-19）在式1-6-2中，由于求旋度運(yùn)算“”作用于變量，積分運(yùn)算中積分變量是，所以交換兩運(yùn)算的順序不影響結(jié)果。交換運(yùn)算順序得

4、：(1-20)根據(jù)矢量恒等式：（1-21）可得到：（1-22）考慮到求旋度運(yùn)算“”只作用于變量，而是關(guān)于的函數(shù)，所以對(duì)求旋度的結(jié)果為零。方程1-22右端只剩下一項(xiàng)：，代入方程1-20得：（1-23）再次使用等式1-13，上式可以寫為：（1-24）利用矢量恒等式：（1-25）得：（1-26）帶入1-24得：（1-27）利用恒等式：（1-28）方程1-27右端的第二項(xiàng)可以寫成：（1-29）帶入1-27得：（1-30）綜上，亥姆霍茲定理可以描述為：在由閉合面所包圍的體積中的任一矢量場(chǎng)可以分為用一標(biāo)量函數(shù)的梯度表示的無旋場(chǎng)和用另一矢量函數(shù)的旋度表示的無散場(chǎng)兩部分，即（1-31）而式中的標(biāo)量函數(shù)和矢量函

5、數(shù)分別與體積中矢量場(chǎng)的散度源和旋度源，以及閉合面上矢量場(chǎng)的法向分量和切向分量有關(guān)，即（1-32a）（1-32b）上式中閉合面的法線的正方向指向閉合面外。證畢。附錄11.1 證明等式 。證明：設(shè)直角坐標(biāo)空間中任意兩點(diǎn)、，坐標(biāo)分別為、，或者記為、，點(diǎn)指向點(diǎn)的矢量記為。則點(diǎn)到的距離記為（1.1-1）對(duì)求梯度“”：（1.1-2）當(dāng)時(shí)，由的表達(dá)式1.1-1可得：（1.1-3a）(1.1-3b)(1.1-3c)帶入1.1-2得：(1.1-4)對(duì)標(biāo)量函數(shù)求梯度：（1.1-5）將1.1-4帶入上式得：（1.1-6）對(duì)矢量函數(shù)求散度：（1.1-7）其中：（1.1-8）（1.1-9）將1.1-4帶入方程1.1-9

6、得：（1.1-10）將1.1-8和1.1-10帶入1.1-7得：（1.1-11）在體積上對(duì)進(jìn)行體積分，若積分體積中不包含點(diǎn)則在積分體積中恒成立，則根據(jù)1.1-11有被積函數(shù)恒等于零，積分結(jié)果自然為零。如果積分體積中包含點(diǎn)，此時(shí)可以選取以點(diǎn)為球心半徑為的球面將原積分空間劃分為球外和球內(nèi)兩個(gè)積分空間。在球外的空間中顯然已不含點(diǎn)，所以積分結(jié)果為零。在球內(nèi)積分時(shí)，利用高斯定理有：（1.1-12）其中，是以點(diǎn)為球心半徑為的球，是球面。將1.1-6帶入上式得：（1.1-13）由于位于圓心，位于球面上，所以到的距離恒等于，并且矢量的方向與球面法線方向相同，因此有（1.1-14）所以此情況下在體積上對(duì)進(jìn)行體積

7、分的結(jié)果為：（1.1-15）綜上，在體積上對(duì)進(jìn)行體積分的結(jié)果可以表示為：（1.1-16）上式也可以表示成：（1.1-17）而三維函數(shù)的積分性質(zhì)為：（1.1-18）比較1.1-17和1.1-18兩式，可以得出，命題得證。證畢。1.2證明等式：。證明：因?yàn)椋海?.2-1）對(duì)求梯“”度有：（1.2-2）當(dāng)時(shí)，由的表達(dá)式1.2-1可得：（1.2-3a）(1.2-3b)(1.2-3c)帶入1.2-2得：(1.2-4)對(duì)標(biāo)量函數(shù)求梯度“”：（1.2-5）將1.2-4帶入上式得：（1.2-6）以上的求梯度運(yùn)算“”是作用在的，若將運(yùn)算作用在上則有：（1.2-7）當(dāng)時(shí)，由的表達(dá)式1.2-1可得：(1.2-8a)

8、(1.2-8b)(1.2-8c)帶入1.2-7得：（1.2-9）對(duì)標(biāo)量函數(shù)求梯度“”：（1.2-10）將1.2-9帶入上式：（1.2-11）比較1.2-6和1.2-11有（1.2-12）即有：。證畢。2、 試證明唯一性定理。這里主要證明：（一）矢量場(chǎng)唯一性定理；（二）電磁場(chǎng)唯一性定理。（一） 矢量場(chǎng)唯一性定理這里所考慮的矢量場(chǎng)是不隨時(shí)間變化的靜態(tài)場(chǎng)。矢量場(chǎng)唯一性定理指出：在任一區(qū)域中，若矢量場(chǎng)的散度、旋度以及邊界上場(chǎng)量的切向分量或法向分量給定后，則該區(qū)域中只可能存在唯一的矢量場(chǎng)。分析：為證明唯一性，首先假設(shè)存在兩個(gè)滿足條件的矢量場(chǎng)，接著利用假設(shè)，若能夠證明這兩個(gè)矢量場(chǎng)相等則說明唯一性成立。證明

9、：假設(shè)存在矢量場(chǎng)及均滿足給定條件：二者在區(qū)域中具有相同的散度和旋度即：，在包圍的邊界上具有相同的法向量或者切向量即：或。下證。令為差場(chǎng)，則在區(qū)域中矢量場(chǎng)的差的散度和旋度分別為：（2-1a）（2-1b）根據(jù)所假設(shè)的條件：兩矢量場(chǎng)在區(qū)域中具有相同的散度和旋度，則有：(2-2a)(2-2b)因?yàn)闊o旋的場(chǎng)可以表示為標(biāo)量場(chǎng)的梯度，所以根據(jù)2-2b可以令（2-3）其中是任意標(biāo)量。將2-3帶入2-2a得：（2-4）根據(jù)第一標(biāo)量Green定理：（2-5）式中的方向?yàn)榉忾]面的正法線方向，標(biāo)量、為任意標(biāo)量，若令兩個(gè)標(biāo)量相同都為，則方程可寫為：（2-6）將2-4帶入上式得：（2-7）因?yàn)槭且C矢量場(chǎng)和相等即兩者場(chǎng)

10、差為零，而由2-3可知證明為零可以轉(zhuǎn)化為證明為零。在假設(shè)的條件中還給出了邊界上的條件，分為兩種情況：給定邊界上場(chǎng)量的法向分量或切向分量。（1）給定邊界上場(chǎng)量的法向分量，則有，即。根據(jù)2-3得（2-8）又由于標(biāo)量場(chǎng)沿法向的方向?qū)?shù)等于它的梯度在法向上的分量，所以有：（2-9）上式表示，在邊界上恒等于零，所以在上的面積分結(jié)果為零，帶入2-7得：（2-10）考慮到是一個(gè)非負(fù)函數(shù)，所以在上對(duì)它進(jìn)行積分所得結(jié)果為零的原因只可能是被積函數(shù)恒等于零，進(jìn)而有。根據(jù)2-3有：（2-11）所以得到。（2）給定邊界上場(chǎng)量的切向分量，則有，即。根據(jù)2-3得（2-12）又由于標(biāo)量場(chǎng)沿切向的方向?qū)?shù)等于它的梯度在切向上的

11、分量，有（2-13）上式說明，在邊界上標(biāo)量沿的切線方向沒有變化，即是標(biāo)量場(chǎng)的等值面，因此方程2-7右端積分號(hào)中的可以提出，即（2-14）由于，則方程2-14可以寫為（2-15）對(duì)使用高斯定理得（2-16）由2-4得，帶入上式得（2-17）將2-17帶入2-15得（2-18）這樣依據(jù)情況（1）中同樣的推導(dǎo)可以得到。綜上，假設(shè)中的兩個(gè)矢量場(chǎng)、實(shí)際是相等的，即在區(qū)域及邊界上滿足條件的矢量場(chǎng)是唯一的。矢量場(chǎng)唯一性定理證畢。（二）電磁場(chǎng)唯一性定理靜電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)、恒定電流產(chǎn)生的靜磁場(chǎng)都是不隨時(shí)間變化的靜態(tài)矢量場(chǎng)，滿足上述的矢量場(chǎng)唯一性定理。對(duì)于隨時(shí)間和空間都變化的時(shí)變電磁場(chǎng)也存在類似的唯一性定理。時(shí)變

12、電磁場(chǎng)唯一性定理表明，在閉合面包圍的區(qū)域中，當(dāng)時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度及磁場(chǎng)強(qiáng)度的初始值給定時(shí)，又在的時(shí)間內(nèi)，邊界面上的電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量或者磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量給定時(shí)，則在的任何時(shí)刻，體積中任一點(diǎn)的電磁場(chǎng)由Maxwell方程唯一決定。分析：微分方程是物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，因此對(duì)電磁場(chǎng)唯一性的證明即是對(duì)表示電磁場(chǎng)規(guī)律的微分方程的確定性的證明。由于微分方程的解可以是一系列滿足方程的通解，所以光有微分方程還不足以準(zhǔn)確的描述某個(gè)特定的物理現(xiàn)象。為準(zhǔn)確地描述一個(gè)特定的物理現(xiàn)象還需要在相應(yīng)的微分方程上加上特定的條件，通常包括初始狀態(tài)和邊界條件。綜上，證明電磁場(chǎng)唯一性即是證明滿足初始狀態(tài)和邊界條件的Maxwell方程

13、的確定性。下面綜合微分方程和方程所滿足的條件兩個(gè)方面來證明定理。證明：在區(qū)域中時(shí)變電磁場(chǎng)滿足Maxwell方程：(2-19a)(2-19b)(2-19c)(2-19d)由Maxwell方程可以得到時(shí)變電磁場(chǎng)的能量定理(2-19e)設(shè)有兩組解，及，均滿足Maxwell方程及能量定理，由于Maxwell方程及能量定理都是線性的，因此差場(chǎng)及也滿足Maxwell方程以及能量定理。所以有2-20由于場(chǎng)差矢量和可以分解為兩個(gè)互相正交的方向上的分量之和（選取面的切向和方向兩個(gè)正交的方向）2-20a2-20b其中、為場(chǎng)差的切向分量，、為場(chǎng)差的法向分量。所以2-21當(dāng)邊界上的電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量或者磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分

14、量給定時(shí)，邊界上的差場(chǎng)切向分量或，所以上式中第一項(xiàng)為零。此外，所以上式只剩下中間兩項(xiàng)。帶入2-20中的積分，有（2-22）由于矢積和的方向一定垂直于法向n方向。所以上式積分結(jié)果必為零。2-20可重新寫為2-23由于上式右端被積函數(shù)只可能大于或者等于零，即（2-24）所以（2-25）上式積分值對(duì)時(shí)間求導(dǎo)結(jié)果非正表示該積分值隨時(shí)間增加而減少或者不隨時(shí)間變化。又由于根據(jù)初始條件，時(shí)刻的場(chǎng)強(qiáng)及是給定的，那么時(shí)刻的差場(chǎng)，故時(shí)刻的積分值。因此，2-25中積分的值只可能小于零或等于零，即（2-26）另一方面，從物理意義上來看，上式積分代表電磁場(chǎng)能量，它只可能大于零或等于零。因此該積分只可能為零。由此得，差場(chǎng)

15、為零，即，唯一性得證。電磁場(chǎng)唯一性定理證畢。3、 試證明鏡像原理鏡像原理是根據(jù)唯一性定理求解某些具有理想導(dǎo)體邊界的電磁場(chǎng)邊值問題的一種方法。鏡像原理指出：當(dāng)位于區(qū)域外的一個(gè)或有限個(gè)鏡像源滿足一定要求時(shí)，可以用來代替邊界的影響，鏡像源與真實(shí)源在區(qū)域中共同產(chǎn)生的場(chǎng)與原來區(qū)域中的場(chǎng)相等。分析：電磁場(chǎng)所在的區(qū)域通常是有限的。由電磁場(chǎng)唯一性定理，這種有限區(qū)域的邊界特性直接影響區(qū)域中的場(chǎng)分布，這就是所謂電磁場(chǎng)的邊值問題。鏡像原理只適合于一些特殊的邊值問題。這里對(duì)鏡像原理的證明，根據(jù)電磁場(chǎng)隨時(shí)間的變化情況，分為兩種情況。一個(gè)是靜態(tài)場(chǎng)的鏡像原理，另一個(gè)是時(shí)變電磁場(chǎng)的鏡像原理。（一） 靜態(tài)場(chǎng)鏡像原理靜態(tài)場(chǎng)包括靜

16、電場(chǎng)與靜磁場(chǎng)，是不隨時(shí)間變化的場(chǎng)。靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)分別由靜止電荷與恒定電流產(chǎn)生。下面利用“矢量場(chǎng)唯一性定理”證明無限大理想導(dǎo)電平面的靜態(tài)場(chǎng)鏡像原理。（1） 靜電場(chǎng)鏡像原理3.13.2靜止電荷產(chǎn)生靜電場(chǎng)。靜電場(chǎng)鏡像原理指出：如圖3.1所示，在三維直角坐標(biāo)空間中，無限大理想導(dǎo)電平面與平面重合。在的空間某處放置一正電荷。圖3.2為3.1去掉導(dǎo)電平面并在正電荷關(guān)于平面的鏡像位置放置一等量負(fù)電荷的示意圖。兩種情況下，在的空間內(nèi)有相同的電場(chǎng)。證明：在圖3.1由點(diǎn)電荷與無限大理想導(dǎo)電面構(gòu)成的系統(tǒng)中，電荷是形成電場(chǎng)的源，而且是散度源。作為源的電荷分成兩部分，一部分為處在自由空間中的正電荷，另一部分是位于導(dǎo)電面上

17、而且靠近空間正電荷的部分區(qū)域內(nèi)被正電荷感應(yīng)的負(fù)電荷。這兩部分源為有限空間分布，而形成的電場(chǎng)則分布在無限大的空間。此電場(chǎng)所在的無限區(qū)域與“矢量場(chǎng)唯一性定理”中的有限區(qū)域是不一樣的。不過根據(jù)庫侖定律，空間某處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和它到源點(diǎn)間的距離是成反比例關(guān)系的，這意味著在自由空間中距離場(chǎng)源無限遠(yuǎn)的位置電場(chǎng)強(qiáng)度趨向于零。在空間中距離場(chǎng)源足夠遠(yuǎn)的地方作一個(gè)曲面，使得與導(dǎo)電平面上部分構(gòu)成封閉曲面，如圖3.3所示。因?yàn)樯系狞c(diǎn)距離場(chǎng)源足夠遠(yuǎn)，所以上的電場(chǎng)強(qiáng)度大小趨近于零，并且在封閉曲面外面的自由空間中電場(chǎng)強(qiáng)度大小也趨近于零。這樣就將電場(chǎng)所在的無限大區(qū)域分成了兩個(gè)部分，一個(gè)是封閉曲面外部的零場(chǎng)區(qū)，另一個(gè)是以封閉曲

18、面為邊界的有限區(qū)域。在3.2中也做同樣的閉合面，結(jié)果如圖3.4所示。下面只考察有限區(qū)域。3,33.4“矢量場(chǎng)唯一性定理”有兩個(gè)方面的要求，一方面針對(duì)有限區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)源，另一方針對(duì)區(qū)域邊界上的場(chǎng)。如果區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)源給定并且區(qū)域邊界上場(chǎng)的切向分量或者法向分量給定則區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)才唯一。下面分別從這兩個(gè)方面比較圖3.3和3.4所示的兩種情況?！笆噶繄?chǎng)唯一性定理”要求區(qū)域內(nèi)場(chǎng)的散度和旋度都要給定。而電場(chǎng)只有散度即為自由電荷，沒有旋度 。根據(jù)3.3和3.4中封閉區(qū)域內(nèi)電荷的分布情況來看，顯然兩種情況中的場(chǎng)的散度是一樣的。圖3.3中，上電場(chǎng)強(qiáng)度大小為零，那么電場(chǎng)的切向分量也必為零。在上，由于是理想導(dǎo)電平面，所以上

19、切向電場(chǎng)為零。圖3.4中，上電場(chǎng)強(qiáng)度大小趨近為零，電場(chǎng)的切向分量自然也為零。在上，與合場(chǎng)強(qiáng)的切向分量為零?？梢?，兩種情況下在邊界上電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量相同都為零。綜上圖3.3和3.4所示的兩種情況滿足“矢量場(chǎng)唯一性定理”，則兩種情況下，以為邊界的封閉面內(nèi)部的電場(chǎng)相同。即靜電場(chǎng)鏡像原理成立。（2） 靜磁場(chǎng)鏡像原理恒定電流產(chǎn)生靜磁場(chǎng)。下面利用“矢量場(chǎng)唯一性定理”證明無限大理想導(dǎo)電平面的靜磁場(chǎng)鏡像原理。由于考慮到電流是具有流向的量，因此首先考察兩種具有特殊流向的電流的情況，即流向與無限大理想導(dǎo)電平面垂直和平行兩種情況。其它流向的電流都可以分解到這兩個(gè)方向上。電流的流向與理想導(dǎo)電平面垂直，如圖3.5所示

20、，它的鏡像原理示意圖如3.6。圖3.5圖3.6往證圖3.6所示情況下封閉面內(nèi)的磁場(chǎng)與3.5中封閉面內(nèi)磁場(chǎng)相等，其中封閉面的選取與靜電場(chǎng)鏡像原理中封閉面選取方法相同，并且與電場(chǎng)類似也有在上磁場(chǎng)強(qiáng)度大小趨近為零，則法向分量必然為零。又因?yàn)樵?.5中是理想導(dǎo)電平面，所以上磁場(chǎng)法向分量為零。而在3.6中，根據(jù)線電流所產(chǎn)生磁場(chǎng)的性質(zhì)，在上磁場(chǎng)法向分量為零。所以有，兩種情況下，磁場(chǎng)在邊界面上的法向分量相同。此外，因?yàn)殪o磁場(chǎng)的散度為零，旋度為恒定電流，而在3.5和3.6各自的封閉曲面內(nèi)，電流的空間分布和大小都是一樣的，這說明兩種情況下的磁場(chǎng)具有相同的散度和旋度。綜上，根據(jù)矢量場(chǎng)唯一性定理可得如圖3.5和3.

21、6所示的封閉面內(nèi)磁場(chǎng)相同。即當(dāng)電流垂直于無限大導(dǎo)電平面放置時(shí)，鏡像原理成立。電流的流向與理想導(dǎo)電平面平行，如圖3.6所示，它的鏡像原理示意圖如3.7。3.63.7在圖3.6中，上磁場(chǎng)大小趨近為零，則法向分量必為零。在上，由于是理想導(dǎo)電平面，故磁場(chǎng)法向分量為零。所以在邊界上磁場(chǎng)法向分量為零。在圖3.7中，上法向分量和前種情況相同也為零，在上根據(jù)線電流所產(chǎn)生磁場(chǎng)的性質(zhì)，合成磁場(chǎng)在法向上的分量為零，所以這種情況下在邊界上磁場(chǎng)法向分量也為零。即兩種情況下，磁場(chǎng)在邊界上的法向分量相同。對(duì)于區(qū)域內(nèi)磁場(chǎng)散度與旋度的考慮和中的分析一樣，可以得到3.6和3.7各自的封閉面內(nèi)磁場(chǎng)具有相同的散度和旋度。綜上，根據(jù)“

22、矢量場(chǎng)唯一性定理”可得圖3.6和3.7所示的封閉面內(nèi)磁場(chǎng)相同。即當(dāng)電流平行于無限大導(dǎo)電平面放置時(shí)，鏡像原理成立。對(duì)于如圖3.8所示無限大理想導(dǎo)電平面上方流向任意的電流，可以分解為方向正交的電流和，如圖3.9所示。根據(jù)上述靜磁場(chǎng)的鏡像原理，和的鏡像電流分別為和如圖3.10所示。和的合成電流即為原電流的鏡像電流如圖3.11所示。并且有：在無限大理想導(dǎo)電平面上方產(chǎn)生的磁場(chǎng)與和在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)相同。3.83.93.103.11所以任意流向電流的鏡像原理是成立的。（二） 時(shí)變電磁場(chǎng)鏡像原理以上靜態(tài)場(chǎng)的鏡像原理主要是根據(jù)“矢量場(chǎng)唯一性定理”。對(duì)于隨時(shí)間變化的源所產(chǎn)生的時(shí)變場(chǎng)也存在同樣的鏡像原理，不過原理的

23、證明主要是根據(jù)“時(shí)變電磁場(chǎng)唯一性定理”。在靜態(tài)場(chǎng)的分析中，產(chǎn)生場(chǎng)的源即靜電荷和恒定電流是被分開考慮的。而在時(shí)變電磁場(chǎng)，電流連續(xù)性定理將時(shí)變電荷與時(shí)變電流聯(lián)系在了一起。如圖3.12所示的直線電流元，在它的兩端必將同時(shí)存在大小相等符號(hào)相反時(shí)變電荷。3.12直線電流元因?yàn)槿魏螘r(shí)變電磁場(chǎng)的場(chǎng)源都可以看成是由若干如圖3.12所示的直線電流元組成。所以為證明時(shí)變電磁場(chǎng)的鏡像原理，需先證明直線電流元的鏡像原理，再根據(jù)線性疊加性質(zhì)將鏡像原理推廣到復(fù)雜源的情況。下面證明直線電流元的鏡像原理。3.13a3.13b直線電流元的鏡像原理指出：在圖3.13a所示直角空間坐標(biāo)系中，無限大理想導(dǎo)電平面與平面重合，一直線電流

24、元放置在上半平面內(nèi)。面的選取使得上場(chǎng)的值趨向于零。與構(gòu)成封閉面，將無限空間轉(zhuǎn)化為有限空間。圖3.13b為3.13a去掉無限大理想導(dǎo)電平面，并在添加原電流的鏡像電流的情形。兩種情況下，各自閉合面中電磁場(chǎng)相同。證明：“時(shí)變電磁場(chǎng)唯一性定理”表明，在有限區(qū)域中，當(dāng)滿足以下三個(gè)條件時(shí)，時(shí)變電磁場(chǎng)是唯一的：（1） 初始條件，即在時(shí)，區(qū)域中的電磁場(chǎng)給定；（2） 邊界條件，即在邊界上，電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量或者磁場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量給定；（3） 區(qū)域中源給定時(shí)，時(shí)變電磁場(chǎng)滿足maxwell方程。首先，在區(qū)域中，時(shí)變電磁場(chǎng)顯然是滿足maxwell方程的。其次，根據(jù)maxwell方程，電磁場(chǎng)是以有限的速度從源處向外傳播

25、的，這意味著，在時(shí)電磁場(chǎng)只存在于源區(qū)，無源區(qū)場(chǎng)點(diǎn)處電磁場(chǎng)為零。比較3.13a和3.13b各自封閉面內(nèi)的區(qū)域，由于源的分布是完全一樣的，所以在時(shí)刻各自封閉面包圍的區(qū)域中，源區(qū)電磁場(chǎng)相等，無源區(qū)電磁場(chǎng)都為零也相等。滿足“時(shí)變電磁場(chǎng)唯一性定理”所要求的初始條件。對(duì)于邊界條件，這里主要考察邊界上的電場(chǎng)。在3.13a中，因?yàn)樯想妶?chǎng)的值趨向于零，則上電場(chǎng)切向分量必為零。又由于是無限大理想導(dǎo)電平面，所以上切向電場(chǎng)為零。所以邊界上電場(chǎng)的切向分量為零。在3.13b中，同樣有上電場(chǎng)切向分量為零。此外還需求出上的電場(chǎng)。這里采用間接法求電場(chǎng)，即先求出矢量位，再根據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度與矢量位的關(guān)系求出。在洛侖茲條件下，矢量為只取

26、決于電流（3-1）式中是電流源所在的源區(qū)，是電磁場(chǎng)在自由空間中傳播的速度，是自由空間磁導(dǎo)率。電場(chǎng)強(qiáng)度與矢量位的關(guān)系為（3-2）上任一場(chǎng)點(diǎn)處的矢量位為原電流產(chǎn)生的矢量位和鏡像電流產(chǎn)生的矢量位之和。(3-3a)(3-3b)其中和分別為原電流和鏡像電流的流向的單位向量。由于原電流與鏡像電流二者的電流密度大小相等不妨令為，故有（3-4）所以（3-5）由于兩電流源的鏡像位置的原因，的結(jié)果只是沿方向的量，不妨設(shè)為表示沿方向大小為的矢量。則3-5可以表示為（3-6）上式說明只含有方向分量，所以對(duì)時(shí)間求偏導(dǎo)，結(jié)果也不會(huì)出現(xiàn)切向分量。若對(duì)進(jìn)行散度運(yùn)算“”，有（3-7）又由于以上的運(yùn)算是在面進(jìn)行的，此時(shí)結(jié)果必為零

27、，故3-7也為零。再對(duì)進(jìn)行梯度運(yùn)算結(jié)果仍為零。帶入3-2可知，電場(chǎng)的切向分量為零。所以3.13b中，在邊界上電場(chǎng)切向分量為零。即3.13a和3.13b在邊界上具有同樣的電場(chǎng)切向分量，滿足“時(shí)變電磁場(chǎng)唯一性定理”的邊界條件。綜上，無限大理想導(dǎo)電面附近直線電流元的鏡像原理成立。根據(jù)線性疊加性，無限大理想導(dǎo)電平面附近任意時(shí)變電流源的鏡像原理也成立。4、試證明等效原理等效原理指出，在某一區(qū)域中能產(chǎn)生同樣電磁場(chǎng)的該區(qū)域外的兩種源，對(duì)該區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)是等效的，這時(shí)對(duì)該區(qū)域內(nèi)的場(chǎng)來說，該區(qū)域外的這兩種源的一種源是另一種源的等效源。電磁場(chǎng)的實(shí)際源可以用它的等效源來代替，實(shí)際源的邊值問題的解可以用等效源的邊值問題的

28、解來代替。分析：設(shè)在介質(zhì)參數(shù)為，的均勻無限大空間中，存在電流源及磁流源，它們共同產(chǎn)生的電磁場(chǎng)為及。作一個(gè)閉合面包圍及，如圖4.1.1所示；4.1.14.1.2現(xiàn)將中的電流源及磁流源移去而在面上放置面電流及面磁流如圖4.1.2所示。若能使此新放置的源與真實(shí)源在外區(qū)域中產(chǎn)生的電磁場(chǎng)相同，則說明放置在上的源是真實(shí)源的等效源，即等效原理成立。因此，要證明等效原理成立，即要證明等效源的存在性。令包圍的內(nèi)區(qū)域?yàn)椋獾膮^(qū)域?yàn)?。因?yàn)樵粗淮嬖谟谥?，所以?dāng)中的真實(shí)源確定時(shí)，它在中所產(chǎn)生的電磁場(chǎng)也隨之確定。若從“電磁場(chǎng)唯一性定理”的角度來看，中的場(chǎng)取決于中的源和的邊界。當(dāng)中不存在源時(shí)，中的場(chǎng)就只取決于邊界條件。所以

29、中確定的場(chǎng)要求了的邊界上確定的邊界條件。當(dāng)然，這里的邊界條件取決于中或者面上的源。因此要證明對(duì)于中場(chǎng)的等效源的存在性，即要證明能在的邊界上產(chǎn)生確定邊界條件的等效源的存在性。證明：設(shè)如圖4.1.1所示的原問題中，真實(shí)源在邊界面上產(chǎn)生的電磁場(chǎng)確定為和。所以4.1.2中面上的等效源在閉合面外側(cè)產(chǎn)生的場(chǎng)為。又假設(shè)面上的等效源在閉合面內(nèi)側(cè)產(chǎn)生的場(chǎng)為。所以根據(jù)電磁場(chǎng)邊界條件，面源與邊界兩側(cè)場(chǎng)量的關(guān)系為：4-1-14-1-2式中為閉合面的外法線方向上單位矢量。上式中是確定的，而是任意的，但一旦確定，則便確定。既然是任意的，則不妨令為零。此時(shí)等效源變?yōu)椋?-2-14-2-2這不僅說明等效源是存在的而且是確定的

30、。這種等效源稱為Love等效源或稱為零場(chǎng)等效源。上面的證明同時(shí)利用了面上和的切向分量。而事實(shí)上電磁場(chǎng)唯一性定理要求在邊界上電場(chǎng)的切向分量或者磁場(chǎng)的切向分量兩者中有一個(gè)確定即可。這意味著，僅有磁流源或者僅有電流源就可以構(gòu)成等效源。這兩種等效形式稱為Schelkunoff等效原理。5、 試證明感應(yīng)原理在均勻空間中，已知源的分布后，可以求出空間任一點(diǎn)的場(chǎng)。但是實(shí)際空間中通常存在一些障礙物，這些障礙物在電磁場(chǎng)作用下，內(nèi)部將產(chǎn)生極化電荷、傳到電流及磁化電流。這些電荷及電流在空間中又產(chǎn)生二次場(chǎng)，這種二次場(chǎng)通常稱為散射場(chǎng)，產(chǎn)生散射場(chǎng)的物體稱為散射體。感應(yīng)原理用于求解這種散射場(chǎng)。當(dāng)空間存在散射體時(shí)，空間電磁場(chǎng)

31、應(yīng)為入射場(chǎng)與散射場(chǎng)之和。設(shè)空間總場(chǎng)為，入射場(chǎng)為，散射場(chǎng)為，則5-1-15-1-2為求散射場(chǎng)，利用等效原理。沿散射體表面作一個(gè)閉合面，令上分布兩種面等效源：面電流及面磁流。則面等效源在面外產(chǎn)生的場(chǎng)與散射體在面外所產(chǎn)生的場(chǎng)必然相同，而兩者在面內(nèi)產(chǎn)生的場(chǎng)不一定相同。等效源及場(chǎng)的分布如圖5.1所示，為面內(nèi)的場(chǎng)。5.1面源與邊界兩側(cè)場(chǎng)量的關(guān)系為：5-2-15-2-2式中，場(chǎng)量帶下標(biāo)表示場(chǎng)位于邊界上。根據(jù)等效原理，面內(nèi)的場(chǎng)是任意的，這里不妨令面內(nèi)的場(chǎng)等于原先的總場(chǎng)，即，。帶入式5-2-1和5-2-2可得（5-3-1）（5-3-2）又根據(jù)5-1，在邊界上散射場(chǎng)可以用總場(chǎng)與入射場(chǎng)來表示，即（5-4-1）（5-

32、4-2）帶入5-3得（5-5-1）（5-5-2）這說明，障礙物對(duì)入射場(chǎng)的散射場(chǎng)等效于在這一障礙物的表面上放置值為入射場(chǎng)切向分量（如5-5）的等效電流源和磁流源所激發(fā)的場(chǎng)，這就是感應(yīng)原理。6、 試證明巴比涅原理巴比涅原理原是光學(xué)中關(guān)于完全吸收的衍射屏與它的互補(bǔ)盤的衍射場(chǎng)的關(guān)系的原理。光學(xué)巴比涅原理涉及光強(qiáng)度而不是矢量場(chǎng)，同時(shí)光學(xué)巴比涅原理中的完全吸收屏在電磁場(chǎng)中也不存在，因此，光學(xué)中標(biāo)量巴比涅原理不能直接用于電磁場(chǎng)。適應(yīng)于電磁場(chǎng)的矢量巴比涅原理是由英國學(xué)者H.G.Booker建立的，稱為推廣的巴比涅原理或者電磁場(chǎng)巴比涅原理。設(shè)電流在自由空間產(chǎn)生的入射場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)為?，F(xiàn)設(shè)在處放置一無限大理想導(dǎo)電薄屏，屏

33、上開有形狀任意的孔，孔區(qū)的面積用表示。將此導(dǎo)電屏放置在電流附近時(shí)，導(dǎo)電屏?xí)a(chǎn)生散射場(chǎng)，散射場(chǎng)與電流的入射場(chǎng)之和為空間中的總場(chǎng)，用表示，如圖6.1.1所示。若在上述的孔區(qū)放上同樣大小的導(dǎo)磁體，而在A以外的余面上保持自由空間，此時(shí)導(dǎo)磁面仍會(huì)產(chǎn)生散射場(chǎng)，并與入射場(chǎng)疊加形成空間總場(chǎng)，如圖6.1.2所示。6.1.16.1.2電磁場(chǎng)巴比涅原理指出，在空間上述各個(gè)場(chǎng)強(qiáng)之間的關(guān)系為：（6-1-1）（6-1-2）分析： “電磁場(chǎng)唯一性定理”指出，區(qū)域中確定的電磁場(chǎng)取決于區(qū)域內(nèi)確定的源及確定的邊界條件。這里，由于的空間是無源區(qū)，所以的空間內(nèi)確定的場(chǎng)只取決于的邊界上場(chǎng)的情況。方程6-1左邊表示電流源在的空間產(chǎn)生的入

34、射場(chǎng)，右邊的場(chǎng)是兩部分場(chǎng)的疊加，一部分是在導(dǎo)電面附近放置電流源時(shí)的空間內(nèi)的場(chǎng)，另一部分是在導(dǎo)磁面附近放置電流源時(shí)的空間內(nèi)的場(chǎng)。根據(jù)上面的分析，為證明方程兩邊的場(chǎng)相等即要證明它們滿足相同的邊界條件。此外“電磁場(chǎng)唯一性定理”對(duì)邊界的要求是時(shí)，邊界上電場(chǎng)的切向分量或者磁場(chǎng)的切向分量給定。所以需要從邊界上電場(chǎng)的切向分量或磁場(chǎng)的切向分量來考慮。證明：對(duì)于導(dǎo)電面附近放置電流源的情況，如圖6.1.1所示。邊界的平面可以分成兩部分，一部分是導(dǎo)電面，另一部分是孔面。在導(dǎo)電面上電場(chǎng)切向分量顯然為零。在孔面上，總場(chǎng)為入射場(chǎng)與屏的散射場(chǎng)之和，但導(dǎo)電平面上的面電流不會(huì)在與它處在同一平面的孔平面上產(chǎn)生切向磁場(chǎng)（證明見附錄

35、6.1），因此，孔平面上的切向磁場(chǎng)等于入射場(chǎng)的切向磁場(chǎng)。所以有的平面上邊界條件：在上 （6-2-1）在上 （6-2-2）對(duì)于導(dǎo)磁面附近放置電流源的情況，如圖6.1.2所示。邊界同樣可以分成兩部分，一部分是放置導(dǎo)磁體的孔平面，另一部分是自由空間平面。在導(dǎo)磁面上，磁場(chǎng)切向分量顯然為零，而在它的余面上總場(chǎng)為入射場(chǎng)與磁屏的散射場(chǎng)之和，但導(dǎo)磁平面上的面磁流不會(huì)在與它處在同一平面的孔平面上產(chǎn)生切向電場(chǎng)，因此，面上的切向電場(chǎng)等于入射場(chǎng)的切向電場(chǎng)。所以有的平面上邊界條件：在上 （6-3-1）在上 （6-3-2）將以上兩種場(chǎng)相疊加，相應(yīng)的邊界條件也疊加，得在上 （6-3-1）在上 （6-3-2）上式說明，場(chǎng)和場(chǎng)

36、疊加后，在平面的上與入射場(chǎng)有相同的切向電場(chǎng)分量，而在孔平面上和入射場(chǎng)有相同的切向磁場(chǎng)分量，所以根據(jù)電磁場(chǎng)唯一性定理可得式6-1。即電磁場(chǎng)巴比涅原理得證。附錄6.11. 證明導(dǎo)電平面上的面電流不會(huì)在與它處在同一平面的平面上產(chǎn)生切向磁場(chǎng)。證明：設(shè)面電流所在平面與xoy面平行，如圖6.2所示。圖6.2由電流與空間矢量位的關(guān)系（6-4）可得，與xoy面平行的面電流所產(chǎn)生的矢量位也必定與xoy面平行，即矢量位只含有x和y兩個(gè)方向的分量，而沒有z方向分量，不妨設(shè)為（6-5）式中分別表示矢量位在x方向上的分量大小和在y方向上的分量大小。假設(shè)面電流所在平面的z坐標(biāo)為，則面電流在的平面上產(chǎn)生的矢量位為（6-6）

37、又因?yàn)榇艌?chǎng)與矢量位的關(guān)系為（6-7）將式6-6帶入6-7得（6-8）因?yàn)閷?duì)求偏導(dǎo)時(shí)為常量，故偏導(dǎo)結(jié)果為零，所以上式結(jié)果不含切向分量。即面電流不會(huì)在與它處在同一平面的平面上產(chǎn)生切向磁場(chǎng)。命題得證。7、 式證明互易定理電磁場(chǎng)互易原理又稱為互易定理，是關(guān)于兩組源相互作用的定理。在一定的介質(zhì)條件下，兩組源之間具有互易關(guān)系。設(shè)區(qū)域內(nèi)充滿各向同性的線性介質(zhì)，兩組同頻率的源和分別放置在內(nèi)的有限子區(qū)域和中。兩組源相應(yīng)的場(chǎng)分別為和。如圖7.1所示。圖7.1兩組源產(chǎn)生的場(chǎng)都滿足頻域Maxwell方程組，有（7-1-1）（7-1-2）及（7-2-1）（7-2-2）利用矢量恒等式，得（7-3-1）（7-3-2）將7-

38、1與7-2代入上式得（7-4-1）（7-4-2）式7-4-1減7-4-2，得（7-5）將式7-5兩邊對(duì)體積求積分，再結(jié)合高斯定理得（7-6）式7-5和式7-6分別稱為互易定理的微分形式和積分形式。若式7-5僅對(duì)有源區(qū)或求積分，那么閉合面僅包圍源a或者源b，即或，則積分的結(jié)果分別為（7-7-1）（7-7-2）若式7-5僅對(duì)無源區(qū)求積分，那么閉合面不包括任何源，因此面積分為零，即：(7-8)上式稱為洛倫茲互易定理。上式表明，若已知一種源產(chǎn)生的電磁場(chǎng)就能求出另一種電磁場(chǎng)。事實(shí)上，式7-6右端進(jìn)行體積分時(shí)，只要積分體積包括了全部的源而不管它超出源體積多大，積分都會(huì)是在源體積上進(jìn)行，所以積分結(jié)果都會(huì)是固

39、定的常數(shù)。那么此時(shí)等式左端的面積分自然也為相同的常數(shù)。若取擴(kuò)大到無限遠(yuǎn)的閉合面為積分面，這個(gè)結(jié)論仍然成立，而且由于在這個(gè)面上，式7-6左端的面積分可以確定為零，即上述固定的常數(shù)為零。所以對(duì)任意的能夠包圍全部源的閉合面進(jìn)行積分，結(jié)果都為零。即滿足洛倫茲互易定理。此外，當(dāng)式7-8成立時(shí)，由式7-6可得（7-9）考慮到源a僅存在中，源b僅存在中，上式又可以寫為下面形式：（7-10）該式稱為卡森互易定理。7.1證明：緊貼在一塊理想導(dǎo)電體表面上的電流元的輻射場(chǎng)為零。證明：用反證法。如果緊貼在理想導(dǎo)體表面上的電流元有輻射場(chǎng)，那么至少有一點(diǎn)場(chǎng)不為零，記為。另取一電流元放在場(chǎng)不為零的點(diǎn)，并使電流元沿放置，設(shè)電

40、流元的場(chǎng)為。應(yīng)用卡森互易定理，由于無磁流元，由式7-10得（7-11）上式中分別表示電流元的線電流密度?？紤]到是在很短的長度上進(jìn)行積分，所以在積分范圍內(nèi)可以認(rèn)為電場(chǎng)為常數(shù)，可以提出積分號(hào)。所以上式為（7-12）因?yàn)樵诶硐雽?dǎo)體表面只可以存在電場(chǎng)強(qiáng)度的垂直分量，所以電流元在電流元附近產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度必垂直于理想導(dǎo)體表面，因而同時(shí)也垂直于電流元，所以的值為零。所以7-12右端的值也為零。又由于和方向相同，所以（7-13）由于電流元的值不為零，所以只可能是的值為零。因此證明了緊貼在一塊理想導(dǎo)電體表面上的電流元的輻射場(chǎng)為零。8、 靜電場(chǎng)電位邊值問題的唯一性定理指出：當(dāng)在場(chǎng)域中電位滿足Possion方程或L

41、aplace方程，在邊界上滿足第一類（給定區(qū)域邊界上的電位值）、第二類（給定區(qū)域邊界上電位的法向?qū)?shù)）、第三類（給定區(qū)域邊界上電位值和法向?qū)?shù)值）。試對(duì)此定理做完整證明。分析：因?yàn)槿魏我粋€(gè)具體的物理現(xiàn)象都是處在特定條件下的，所以在描述一個(gè)具體問題時(shí)，既要給出此問題所具有的物理規(guī)律的數(shù)學(xué)式子，也要把這個(gè)問題所具有的特定條件用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來。此特定條件也稱為定解條件，包括用以說明初始狀態(tài)的初始條件和用以說明邊界上的約束情況的邊界條件。一個(gè)偏微分方程（也叫泛定方程）和相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起就構(gòu)成了一個(gè)定解問題。Laplace方程和Poisson方程都是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的，與初始狀態(tài)無關(guān)，所以不提初始

42、條件，只討論邊界條件。邊界條件有如下三種類型：（1） 在邊界上直接給出未知函數(shù)的值。稱為第一類邊界條件。（2） 在邊界上給出未知函數(shù)沿邊界外法線方向的方向?qū)?shù)。稱為第二類邊界條件。（3） 在邊界上給出未知函數(shù)及其沿邊界外法線方向?qū)?shù)的某一線性組合值。稱為第三類邊界條件。在均勻、線性、各向同性的電介質(zhì)中，是一個(gè)常數(shù)。因此有（8-1）為自由體電荷密度。將代入上式得（8-2）這就是電位的泊松方程。在自由體電荷密度的區(qū)域內(nèi)，式8-2變?yōu)椋?-3）這就是電位的拉普拉斯方程。在靜電場(chǎng)問題中，如果帶電導(dǎo)體系統(tǒng)的形狀、尺寸、相對(duì)位置以及導(dǎo)體間的電介質(zhì)分布一定，則滿足給定邊界條件的拉普拉斯方程或泊松方程的解是唯

43、一的。采用反證法證明此唯一性定理。證明：如圖8.1所示，設(shè)在有限區(qū)域內(nèi)放置N個(gè)帶電導(dǎo)體并在外面用一個(gè)無限大的球面把它們包圍起來。球面以內(nèi)，除去各導(dǎo)體所占部分以外，設(shè)總體積為。限定體積的閉合面由兩部分組成，一部分是無限大的球面，另一部分則是各導(dǎo)體的表面，即。圖8.1假設(shè)在體積內(nèi)，拉普拉斯方程的解不是唯一的，至少有兩個(gè)解和都滿足給定的邊界條件。則有 ，顯然（8-4）式中（8-5）在內(nèi)利用第一標(biāo)量Green定理：（8-6）令上式中的標(biāo)量都為，則有（8-7）由式8-4，上式簡化為（8-8）因?yàn)殡姾煞植荚谟邢迏^(qū)域內(nèi)，所以正比于，正比于，正比于，當(dāng)時(shí)，在無限大球面上面積分趨于零。所以（8-9）1.第一類邊值問題給定的是各導(dǎo)體表面上的電位。既然和滿足相同的邊值，則在各導(dǎo)體表面上必然有。如果在導(dǎo)體表面上只取有限值，則式8-9右端等于零。故（8-10）上式中的被積函數(shù)是個(gè)非負(fù)數(shù)，在體積內(nèi)必然有=0。2.第二類邊值問題給定的是各導(dǎo)體表面上的電位法向?qū)?shù)。既然假定和滿足相同的邊值，則在各導(dǎo)體表面上必然有，同樣可以由式8-9得到=0。3.第三類邊值問題一般意義上的第三類邊值問題指給定的是各導(dǎo)體表面上與的線性組合的值， 而靜電場(chǎng)電位問題的第三類邊值問題是更為特殊的一類問題。這里說它特殊主要指上述線性組合的特殊，表現(xiàn)在并非是任意的線性組合。靜電場(chǎng)電位問題的第三類邊值問題指在一部分導(dǎo)體表面上給定電位值即第一