高等數(shù)學(xué)課件D32洛必達(dá)法則

1、高等數(shù)學(xué)課件D32洛必達(dá)法則高等數(shù)學(xué)課件D32洛必達(dá)法則微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化( 或 型)本節(jié)研究:洛必達(dá)法則洛必達(dá) 9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限一、存在 (或?yàn)?)定理 1.型未定式(洛必達(dá)法則) 9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件一、存在 (或?yàn)?)定理 1.型未定式(洛必達(dá)法則)( 在 x , a 之間)證:無妨假設(shè)在指出的鄰域內(nèi)任取則在以 x, a 為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯故定理?xiàng)l件: 西定理?xiàng)l件,存在 (或?yàn)?)9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件( 在 x , a 之間)證:無妨

2、假設(shè)在指出的鄰域內(nèi)任取推論1.定理 1 中換為下列過程之一:推論 2. 若理1條件, 則條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理 1 仍然成立.洛必達(dá)法則定理1 9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件推論1.定理 1 中換為下列過程之一:推論 2. 若理1條件例1. 求解:原式注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 !洛洛9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件例1. 求解:原式注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 !洛例2. 求解: 原式 思考: 如何求 ( n 為正整數(shù)) ?洛9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件例2. 求解: 原式 思考: 如何求 ( n 為正整數(shù)) ?二、型未定式存在 (或?yàn)?定理 2.證:

3、僅就極限存在的情形加以證明 .(洛必達(dá)法則)9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件二、型未定式存在 (或?yàn)?定理 2.證: 僅就極限存在的情1)的情形從而9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件1)的情形從而9/3/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件2)的情形.取常數(shù)可用 1) 中結(jié)論9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件2)的情形.取常數(shù)可用 1) 中結(jié)論9/3/2022同濟(jì)高等3)時(shí), 結(jié)論仍然成立. ( 證明略 )說明: 定理中換為之一,條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理仍然成立.定理2 9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件3)時(shí), 結(jié)論仍然成立. ( 證明略 )說明: 定理中換為例3. 求解:原式例4. 求解:

4、 (1) n 為正整數(shù)的情形.原式洛洛洛9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件例3. 求解:原式例4. 求解: (1) n 為正整數(shù)的情例4. 求(2) n 不為正整數(shù)的情形.從而由(1)用夾逼準(zhǔn)則存在正整數(shù) k , 使當(dāng) x 1 時(shí),9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件例4. 求(2) n 不為正整數(shù)的情形.從而由(1)用夾逼例4.例3. 說明:1) 例3 , 例4 表明時(shí),后者比前者趨于更快 .例如,事實(shí)上用洛必達(dá)法則2) 在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計(jì)算問題 . 9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件例4.例3. 說明:1) 例3 , 例4 表明時(shí),后者比前者3) 若例如,極限不

5、存在不能用洛必達(dá)法則 ! 即 9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件3) 若例如,極限不存在不能用洛必達(dá)法則 ! 即 9/3/2三、其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化例5. 求解: 原式洛9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件三、其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化例5.解: 原式例6. 求通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化洛9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件解: 原式例6. 求通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化洛9/3/例7. 求解: 利用 例5例5 通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件例7. 求解: 利用 例5例5 通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)例8. 求解:

6、 注意到原式洛9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件例8. 求解: 注意到原式洛9/3/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件例3例9. 求法1. 直接用洛必達(dá)法則.下一步計(jì)算很繁 ! 法2. 利用例3結(jié)果.原式例3 例39/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件例3例9. 求法1. 直接用洛必達(dá)法則.下一步計(jì)算很繁 ! 內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則9/3/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件思考與練習(xí)1. 設(shè)是未定式極限 , 如果是否的極限也不存在 ? 舉例說明 .極限不存在 , 說明3) 原式分析:說明3)9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件思考與練習(xí)1. 設(shè)是未定式極限 , 如果是否的

7、極限也不存在 分析:3.原式洛9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件分析:3.原式洛9/3/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件則4. 求解: 令原式洛洛9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件則4. 求解: 令原式洛洛9/3/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件作業(yè) P138 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), *4第三節(jié) 9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件作業(yè) P138 第三節(jié) 9/3/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件洛必達(dá)(1661 1704)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他著有無窮小分析(1696),并在該書中提出了求未定式極限的方法, 后人將其命名為“ 洛必達(dá)法的擺線難題 ,以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 線 ” 問題 ,在他去世后的1720 年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書 .則 ”.他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件洛必達(dá)(1661 1704)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他著有無窮小分求下列極限 :解:備用題洛9/10/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件求下列極限 :解:備用題洛9/3/2022同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件則原式 =解: 令(用洛必達(dá)法則)(