高等代數(shù)電子教案(Ⅱ)課件

1、高等代數(shù)電子教案()高等代數(shù)電子教案()第一章 基本概念第二章 多項式第三章 行列式第四章 線性方程組第五章 矩陣第六章 向量空間第七章 線性變換第八章 歐氏空間與酉空間第九章 二次型第一章 基本概念第二章 多項式第三章 行列式第四章 第四章 線性方程組4.1 消元法4.2 矩陣的秩 線性方程組可解的判別法4.3 線性方程組的公式解4.4 結(jié)式和判別式第四章 線性方程組4.1 消元法4.1 消元法學習內(nèi)容 4.1.1 線性方程組的初等變換 4.1.2 矩陣的初等變換 階梯形矩陣 4.1.3 線性方程組有解的判別4.1 消元法學習內(nèi)容 前一章中我們只討論了這樣的線性方程組，這種方程組有相等個數(shù)的

2、方程和未知量，并且方程組的系數(shù)行列式不等于零，在這一章我們要討論一般的線性方程組：在實際的解線性方程組時，比較方便的方法是消元法. （1） 前一章中我們只討論了這樣的線性方程組，這種方程例1 解線性方程組：從第一和第三個方程分別減去第二個方程的1/2倍和2倍，來消去這兩個方程中的未知量（2）例1 解線性方程組：從第一和第三個方程分別減去第二個方程的1得到：為了計算的方便，把第一個方程乘以 -2 后，與第二個方程交換，得：把第二個方程的2倍加到第三個方程，消去后一方程中的未知量 ，得到得到：為了計算的方便，把第一個方程乘以 -2 后，與第二把第現(xiàn)在很容易求出方程組（2）的解. 從第一個方程減去第

3、三個方程的3倍，再從第二個方程減去第三個方程，得再從第一個方程減去第二個方程的5/3倍，得：這樣我們就求出方程組的解. 現(xiàn)在很容易求出方程組（2）的解. 從第一個方程再從第一個方程交換兩個方程的位置；用一個不等于零的數(shù)某一個方程；用一個數(shù)乘某一個方程后加到另一個方程.4.1.1 線性方程組的初等變換線性方程的初等變換：對方程組施行下面三種變換：這三種變換叫作線性方程組的初等變換.定理4.1.1 初等變換把一個線性方程組變?yōu)橐粋€與 它同解的線性方程組交換兩個方程的位置；4.1.1 線性方程組的初等變換線性線性方程組的（1）的系數(shù)可以排成下面的一個表：而利用（1）的系數(shù)和常數(shù)項又可以排成下表：（3

4、）（4） 線性方程組的（1）的系數(shù)可以排成下面的一個表：而利用（1）的4.1.2矩陣的初等變換定義1 由st個數(shù)排成一個s行t 列的表 叫做一個s行t列（或st）的矩陣， 叫做這個矩陣的元素. 注意：矩陣和行列式在形式上有些類似，但有完全不同的意義，一個行列式是一些數(shù)的代數(shù)和，而一個矩陣僅僅是一個表. 4.1.2矩陣的初等變換定義1 由st個數(shù)排成一個s行t 列矩陣（3）和（4）分別叫作線性方程組（1）的系數(shù)矩陣和增廣矩陣. 一個線性方程組的增廣矩陣顯然完全代表這個方程組. 定義2 矩陣的行（列）初等變換指的是對一個矩陣施行的下列變換：3) 用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用

5、某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個元素后加到另一行（列）的對應元素上. 1) 交換矩陣的兩行（列）2) 用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列），即用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個元素；矩陣（3）和（4）分別叫作線性方程組（1）的系定義2 矩陣顯然，對一個線性方程組施行一個初等變換，相當于對它的增廣矩陣施行一個對應的行初等變換，而化簡線性方程組相當于用行初等變換化簡它的增廣矩陣. 因此我們將要通過化簡矩陣來討論化簡方程組的問題.下我們給出一種方法，就一個線性方程組的增廣矩陣來解這個線性方程組，而不必每次把未知量寫出. 在對于 一個線性方程組施行初等變換時，我們的目的是消去未知量，也

6、就是說，把方程組的左端化簡. 因此我們先來研究，利用三種行初等變換來化簡一個線性方程組的系數(shù)矩陣的問題. 在此，為了敘述的方便，除了行初等變換外，還允許交換矩陣的兩列，即允許施行第一種列初等變換. 后一種初等變換相當于交換方程組中未知量的位置，這不影響對方程組的研究. 顯然，對一個線性方程組施行一個初等變換，相當于對它的增廣矩陣在例1中，我們曾把方程組（2）的系數(shù)矩陣 先化為 然后，進一步化為 定理4.1.2 設A是一個m行n列的矩陣：在例1中，我們曾把方程組（2）的系數(shù)矩陣 然通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為以下形式：(5)通過行初等變換和第一種列初等變換能把A化為(5)這里 *

7、表示矩陣的元素，但不同位置上的 * 表示的元素未必相同.證 若是矩陣A的元素都等于零，那么A已有（5）的形式進而化為以下形式， （6）這里 * 表示矩陣的元素，但不同位置上的 * 表示的元素未必 乘第一行，然后由其余各行分別減去第一行的適當倍數(shù)，矩陣A化為設某一不等于零，必要時交換矩陣的行和列，可以使這個元素位在矩陣的左上角.若B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零， 乘第一行，然后由其余各行分別減去第一行的適設某一不等那么B 已有（5）的形式. 設B 的后m 1 行中有一個元素b 不為零，把b 換到第二行第二列的交點位置，然后用上面同樣的方法，可把B 化為如此繼續(xù)下去，最后可以得出一個形如

8、（5）的矩陣. 形如（5）的矩陣可以進一步化為形如（6）的矩陣是 那么B 已有（5）的形式. 設B 的后m 1 行中有如此顯然的. 只要把由第一，第二，第r 1 行分別減去第r 行的適當倍數(shù)，再由第一，第二，第r 2行分別減去第r 1行的適當倍數(shù)，等等. 顯然的. 只要把由第一，第二，第r 1 行4.1.3用消元法解線性方程組考察方程組（1）的增廣矩陣（4）. 由定理4.1.2，我們可以對（1）的系數(shù)矩陣（3）施行一些初等變換而把它化為矩陣（6）. 對增廣矩陣（4）施行同樣的初等變換，那么（4）化為以下形式的矩陣：(7)4.1.3用消元法解線性方程組考察方程組（1）的增廣矩陣（4與（7）相當?shù)?/p>

9、線性方程組是（8） 與（7）相當?shù)木€性方程組是（8） 由于方程組（8）可以由方程組（1）通過方程組的初等變換以及交換未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程組（8）與方程組（1）同解. 因此，要解方程組（1），只需解方程組（8）. 但方程組（8）是否有解以及有怎樣的解都容易看出. 這里 是1，2，n 的一個全排列.情形1， 這時方程組（8）無解，因為它的后m r 個方程中至少有一個無解. 因此方程組（1）也無解. 不全為零，由于方程組（8）可以由方程組（1）通過方程組的初等變換以及交情形2，當r = n 時，方程組（9）有唯一解，就是這也是方程組（1）的唯一解.全為零，這時方程組（8）方

10、程組 同解. (9)情形2，當r = n 時，方程組（9）有唯一解，就是這也是方當r n 時，方程組（9）可以改寫成 (10)于是，給予未知量以任意一組數(shù)值，就得到（9）的一個解：當r 0 . 這時，矩陣（3）含有一個r 階的子式：定義1 在一個s行t列的矩陣中，任取k行k列矩陣的秩. 位于這些行列交點處的元素（不改變元素相對的位置）定義2 一個矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫做這個矩陣的秩. 若一個矩陣沒有不等于零的子式，就認為這個矩陣的秩是零. 按照定義，一個矩陣的秩的不能超過這個矩陣的行的個數(shù)，也不能超過它的列的個數(shù). 一個矩陣A的秩用秩A來表示. 顯然，只有當一個矩陣的元素都為零是，這

11、個矩陣的秩才能是零.這個子式不等于零. 但矩陣（3）不含階數(shù)高于r的不等于零的子式. 這是因為；在r = m 或r = n 時，矩陣（3）根本不含階數(shù)高于r的子式；而當r m ， r r . 那么有三種可能的情形: D不含第i 行的元素，這時D也是矩陣A的一個s階子式，而s大于A的秩r ，因此D= 0. 設把一矩陣的第j 行乘以k加到第i行而得到矩陣B：并且A 的秩是r . 我們證明，B 的秩也是r . 先證明，因為后一行列式是矩陣A的一個s階子式. D含第i行的元素，也含第j行的元素. 這時，由命題3.3.10因為后一行列式是矩陣A的一個s階子式. D含第i行的元這里由于是矩陣A的一個s階的

12、子式，而 與A的一個s階子式最多差一個符號，所以這兩個行列式都等于零，從而D = 0 . D含第i行的元素，但不含第j行的元素，這時這里由于是矩陣A的一個s階的子式，而 與A的一個s階子式但我們也可以對矩陣B 施行第三種行初等變換而得到矩陣A. 因此，也有因此，在矩陣B有階數(shù)大于r的子式的情形，B 的任何這樣的子式都等于零，而B的秩也不超過r . 這樣，在任何情形，都有這樣，我們也就證明了，秩A = 秩B ，即第三種行初等變換不改變矩陣的秩. 對于其它的初等變換來說，我們可以完全類似地證明定理成立. 這樣，我們就解決了前面的第一個問題（甲）.但我們也可以對矩陣B 施行第三種行初等變換而得到因此

13、，在矩陣定理4.2.1給了一種方法，不必計算一個矩陣A的子式就能求出A的秩來. 我們只需利用初等變換把A化成4.1中（5）型的矩陣，然后數(shù)一數(shù)，在化得的矩陣有幾個含有非零的元素的行. 這樣，問題（乙）也就容易解決. 定理4.2.1給了一種方法，不必計算一個矩陣A的4.2.2 線性方程組可解的判別法表示方程組（1）的增廣矩陣：證定理4.2.2 （線性方程組可解的判別法）線性方程組（1）有解的充分且必要條件是：它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩.4.2.2 線性方程組可解的判別法表示方程組（1）的增廣矩陣那么 的前n 列作成的矩陣 A 就是（1）的系數(shù)矩陣. 利用定理4.1.2所指出的那種初等變換把

14、 化為并且用B表示 的前n列作成的矩陣. 那么由定理4.2.1得：（4） 那么 的前n 列作成的矩陣 A 就是（1）的系數(shù)矩陣. 故定理得證. 現(xiàn)在設線性方程組（1）有解. 那么或者r = m，或者r m ，而 ，這兩種情形都有秩 .于是由（4）得， . 反過來，設 ，那么由（4）得，的秩也是r ，由此得，或者r = m ，或者r m 而 ，因而方程組（1）有解. 定理4.2.3 設線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣有相同的秩，那么當r 等于方程組所含的未知量的個數(shù)n時，方程組有唯一解；當r 1）次多項式，令 的全部根（重根按重數(shù)計算）。乘積；4.4.2多項式的判別式 最后，我們介紹一下多項式的判

15、別式叫做多項式 的判別式（這里表示求積的符號）。由判別式的定義很容易看出，多項式 有重根的充分且必要條件是它的判別式等于零。 由定理2.5.2容易推出，多項式 有重根必要且只要 與它的導數(shù) 有公根，因為 ，所以由定理4.4.1和4.4.3， 有重根必要且只要 與 的結(jié)式 ，由此可見， 的判別式與結(jié)式 之間有密切的關(guān)系，下面我們將導出這個關(guān)系，根據(jù)定理4.4.2，公式（1），我們有 叫做多項式 的判別式（這里表示求積的符號）在Cx里，求導數(shù)，我們有所以在Cx里，求導數(shù)，我們有所以這樣， 在這個乘積里，對于任意i 和j（ij）都出現(xiàn)兩個因式： 和 ，它們的乘積等于 ，由于滿足條件 的指標i 和j

16、一共有 對，所以這樣， 在這個乘積里，對于任意iD是多項式 的判別式 從表示 的行列式的第一列顯然可以提出因子 ，因此多項式 的判別式D可以表成由系數(shù) 所組成的一個行列式，因而是 的多項式。 D是多項式 的判別式 從表于是 所以判別式是 例3 求二次多項式 的判別式。 先求出 解:于是 所以判別式是 例3 求二次多項第五章 矩陣5.1 矩陣的運算 5.2 可逆矩陣 矩陣乘積的行列式5.3 矩陣的分塊 第五章 矩陣5.1 矩陣的運算 5.2 可逆矩陣 矩陣乘積5.1 矩陣的運算學習內(nèi)容5.1.1 認識矩陣5.1.2 矩陣的運算5.1.3 矩陣的運算性質(zhì)5.1.4 方陣的多項式5.1.5 矩陣的轉(zhuǎn)

17、置 5.1 矩陣的運算學習內(nèi)容5.1.1 認識矩陣5.1.1 認識矩陣稱為F上 矩陣, 簡寫: 矩陣的產(chǎn)生有豐富的背景: 線形方程組的系數(shù)矩陣., 矩陣的應用非常廣泛. 設F是數(shù)域, 用F的元素 排成的m行n列的數(shù)表 5.1.1 認識矩陣稱為F上 矩陣, 簡寫: 矩陣的產(chǎn)生有豐5.1.2 矩陣的運算定義1 (矩陣的數(shù)乘) 給定數(shù)域F中的一個數(shù)k與矩陣A的乘積定義為 定義2（矩陣的加法） 給定兩個 矩陣 5.1.2 矩陣的運算定義1 (矩陣的數(shù)乘) 給定數(shù)域F中A和B加法定義為:定義3（矩陣的乘法）給定一個 矩陣和一個 矩陣 A和B加法定義為:定義3（矩陣的乘法）給定一個 矩陣和一個 A和B的乘

18、法定義為注意: 相加的兩個矩陣必須同型, 結(jié)果也同型; 相乘的兩個矩陣必須:第一個的列數(shù)等于第二個的行數(shù), 試問: 結(jié)果的形狀?A和B的乘法定義為注意: 相加的兩個矩陣必須同型, 結(jié)果也同5.1.3 矩陣的運算性質(zhì) 矩陣和定義在矩陣上的運算滿足如下運算規(guī)律（其中A，B，C 均為F上的矩陣，k，l為數(shù)域F中的數(shù)）(1) 加法交換律 (2) 加法結(jié)合律 (3) 零矩陣 (4) 負矩陣 (5) 數(shù)乘結(jié)合律 (6) 數(shù)乘分配律 (7) 乘法結(jié)合律 (8) 乘法分配律 注意: 矩陣的乘法不滿足交換律, 消去律: 也不滿足. 滿足: 的兩個矩陣稱為可交換的. 5.1.3 矩陣的運算性質(zhì) 矩陣和定義在矩陣上

19、的運算滿足如下高等代數(shù)電子教案()高等代數(shù)電子教案()5.1.4 方陣的多項式單位矩陣 :主對角線上全是1,其余元素全是0的方陣稱為單位矩陣, 記為 或 單位矩陣也可以記為 .它有如下性質(zhì): 方陣A的方冪: 規(guī)定: 設多項式 那么, 在多項式的等式中, 用A代x可以作出形式相同的矩陣等式.5.1.4 方陣的多項式單位矩陣 :主對角線上全是1,其余元5.1.5 矩陣的轉(zhuǎn)置 設把矩陣 的行與列互換之后，得到的矩陣稱為矩陣 的轉(zhuǎn)置矩陣, 記為 或 轉(zhuǎn)置有下面的性質(zhì): (9)(10)(11)5.1.5 矩陣的轉(zhuǎn)置 設把矩陣 的行與列互換之后，得到的5.2 可逆矩陣 矩陣的乘積的行列式 學習內(nèi)容 521

20、 可逆矩陣的定義 522 可逆矩陣的性質(zhì) 523 初等矩陣的定義、性質(zhì) 524 矩陣可逆的判別 525 逆矩陣的求法 526 矩陣乘積的行列式5.2 可逆矩陣 矩陣的乘積的行列式 5.2.1 可逆矩陣的定義定義1 A為F上n 階方陣，若存在n階方陣B，使AB = BA = I稱A為可逆矩陣（非奇異矩陣），B稱為A的逆矩陣. 例：A與B互為逆矩陣. 注1 有零行或零列的矩陣不可逆. 5.2.1 可逆矩陣的定義定義1 A為F上n 階方陣，若5.2.2 可逆矩陣的性質(zhì) A可逆，則A的逆矩陣唯一。證 設B,C均為A的逆矩陣 ，則 AB = BA =I,AC = CA =IB = BI = BAC =（

21、BA）C = IC = C 證 注意到 即得.證 注意到 即得. A可逆，則 A可逆，則 可逆，且 由 有 .證 A，B可逆，則AB也可逆，且 .5.2.2 可逆矩陣的性質(zhì) A可逆，則A的逆矩陣唯一。證5.2.3 初等矩陣的定義、性質(zhì)定義2 由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換所得的矩陣稱為初等矩陣. n = 45.2.3 初等矩陣的定義、性質(zhì)定義2 由單位矩陣經(jīng)過一定理1 對A作初等行變換相當于用同類型的初等矩陣左乘A; 對A作初等列變換相當于用同類型的初等矩陣右乘A。如1、交換A的i ，j 行相當于用 .如 2、把A的第i 行乘以數(shù)k 相當于用 .3、把A的第j 行乘以k后加到第i 行相當于用 .即

22、 .定理1 對A作初等行變換相當于用同類型的初等矩陣左乘A;定理2 初等矩陣可逆，且逆矩陣仍為初等矩陣.且 引理1 ，則 . （初等變換不改變可逆性）. 定理3 任一mn矩陣A總可以通過初等變換化為 定理2 初等矩陣可逆，且逆矩陣仍為初等矩陣.且 引理1 證 由定理4.1.2，A可通過行及列變換化為對（*）作第三種列變換即可化為證 由定理4.1.2，A可通過行及列變換化為對（*）作第三種5.2.4 矩陣可逆的判別n 階矩陣A可逆證明： A可逆,則 可逆， 無零行，即 . 反之，若AI，由I可逆知A可逆. 5.2.4 矩陣可逆的判別n 階矩陣A可逆證明： A可 AI，即IA 即存在初等矩陣 使注

23、 A可逆,則A可經(jīng)初等行變換化為I. 由 AI， AI，即IA注 A可逆,則A可經(jīng)初等行變換化為I.5.2.5 逆矩陣的求法 行初等變換法 A可逆，由 ，即存在初等矩陣 ，使即例1 解：5.2.5 逆矩陣的求法 行初等變換法 A可逆，由 公式法設令 稱 則由行列式的依行依列展開公式 公式法設令 稱 則由行列式的依行依列展開公式，有，有即若A可逆，則|A|0，從而即 即若A可逆，則|A|0，從而即 例2： 故 例2： 故 例3：求矩陣 的逆矩陣. 解法一 利用公式因為計算每個元素 的代數(shù)余子式例3：求矩陣 高等代數(shù)電子教案()所以,所以,解法二 行初等變換法.解法二 行初等變換法.高等代數(shù)電子教

24、案()所以所以例4 解矩陣方程 其中解 顯然A是可逆的.先求出再在原方程兩邊左乘 得例4 解矩陣方程 其中所以注：當n 3時，求 的計算量較大，因此公式（*）常用于理論的證明. 所以注：當n 3時，求 的計算量較大，因此公式5.2.6 矩陣乘積的行列式引理5.2.6：n階矩陣A總可以通過第三種行和列的初等變換化為對角矩陣 5.2.6 矩陣乘積的行列式引理5.2.6：n階矩陣A總可 若A的第一行、第一列元素不全為零，則總可使A的左上角的元素不為零. 若A的第一行，第一列元素全為零，則已具有 的形式，同理，可以把 化為 若A的第一行、第一列元素不全為零，則總可使A的左上角的元繼續(xù)作第三種初等變換，

25、則可將A化為對角形矩陣，且定理：設A，B為n 階矩陣，則 |AB| = |A| |B| 證 若A為對角矩陣 繼續(xù)作第三種初等變換，則可將A化為對角形矩陣，且定理：設A， 對一般情形，由引理5.2.6，A可通過第三種變換化為對角矩陣 ，即存在初等矩陣 使從而 對一般情形，由引理5.2.6，A可通過第三種變換化為對角推廣 相當于對 作第三種行初等變換. 故 定理 A，B為mn及np階矩陣，則秩（AB）秩A，秩（AB）秩B. 特別當A可逆時，秩（AB）= 秩B. 推廣 推論： 例5 A可逆，則存在 n 階可逆矩陣P，Q，使 PAQ = I證：A可逆，則推論： 例5 A可逆，則存在 n 階可逆矩陣P，

26、Q，使證學習內(nèi)容 5.3.1 分塊矩陣的概念 5.3.2 分塊矩陣的運算 5.3.3 特殊的分塊矩陣 5.3 分塊矩陣學習內(nèi)容 5.3 分塊矩陣 在行列式 中任意取定了 行.由這 行元素所組成的一切 級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式 .復習:拉普拉斯(Laplace)定理 在行列式 中任意取定了 行.由這 一、分塊矩陣的概念定義 將矩陣用若干縱橫直線分成若干個小塊，每一小塊稱為矩陣的子塊(或子陣), 以子塊為元素形成的矩陣稱為分塊矩陣。一、分塊矩陣的概念定義 將矩陣用若干縱橫直線分1. 線性運算 （加法與數(shù)乘）二. 分塊矩陣的運算1. 線性運算 （加法與數(shù)乘）二. 分塊矩陣的運算2

27、. 乘法運算符合乘法的要求2. 乘法運算符合乘法的要求例1 設為了求乘積AB，我們可以對A，B如下地分塊例1 設為了求乘積AB，我們可以對A，B如下地分塊這里I 是二階單位矩陣，O 是二階零矩陣.按照分塊矩陣的乘法，我們有這里I 是二階單位矩陣，O 是二階零矩陣.按照分塊矩陣的乘法這里這里3. 轉(zhuǎn)置運算3. 轉(zhuǎn)置運算1. 準對角陣則三. 特殊的分塊陣1. 準對角陣則三. 特殊的分塊陣高等代數(shù)電子教案()求A的行列式及逆。解 將矩陣分塊例2求A的行列式及逆。解 將矩陣分塊例2 2. 分塊三角陣證明: 2. 分塊三角陣證明:解：將矩陣分塊例3解：將矩陣分塊例3解：將矩陣分塊例33. 分塊次對角陣解

28、：將矩陣分塊例33. 分塊次對角陣小結(jié):一.分塊矩陣的概念 將矩陣用若干縱橫直線分成若干個小塊，每一小塊稱為矩陣的子塊(或子陣), 以子塊為元素形成的矩陣稱為分塊矩陣。注意：分塊矩陣是以子塊為元素形成的矩陣，且子塊也是矩陣。作用：簡化高階矩陣運算 簡化運算的表達形式小結(jié):二.分塊矩陣的運算:1. 線性運算2. 乘法運算將矩陣的子塊視為元素時，矩陣應符合運算的要求 相應的子塊間也應符合運算的要求 3. 轉(zhuǎn)置運算.注意：大塊小塊一起轉(zhuǎn)二.分塊矩陣的運算:三. 特殊的分塊矩陣準對角,分塊三角陣分塊次對角一些重要公式課外作業(yè): P215. 習題1, 習題2,習題4.三. 特殊的分塊矩陣課外作業(yè): P2

29、15. 習題1, 習題第6章 向量空間6.1 向量空間的定義和例子6.2 子空間6.3 向量的線性相關(guān)6.4 基和維數(shù)6.5 坐 標6.6 向量空間的同構(gòu)6.7 矩陣的秩 齊次線性方程組的解空間 第6章 向量空間6.1 向量空間的定義和例子 向量空間（Vector Spaces）又稱線性空間（Linear Spaces）.本章的特點及要求： 向量空間是線性代數(shù)的最基本的、最重要的概念之一，是進一步學習數(shù)學必備的內(nèi)容. 向量空間產(chǎn)生有著豐富的數(shù)學背景，又在許多領(lǐng)域（包括數(shù)學本身）中有著廣泛的應用，例如：線性非常組解的結(jié)構(gòu). 向量空間是我們遇到的第一抽象的代數(shù)系統(tǒng).所謂代數(shù)系統(tǒng)，就是帶有運算的集合

30、.通過本章的學習，初步熟悉用公理系統(tǒng)處理代數(shù)問題的思維方法、邏輯推理的方法. 向量空間（Vector Spaces）又稱線6.1向量空間的定義和例子 引例定義產(chǎn)生的背景.向量空間的定義抽象出的數(shù)學本質(zhì).進一步的例子加深對定義的理解.一些簡單性質(zhì).6.1向量空間的定義和例子 引例定義產(chǎn)生的背景.1. 引例定義產(chǎn)生的背景 例1 設 F 是一個數(shù)域， 表示上mn矩陣的集合，回憶一下 上所能夠施行的運算（教材P182）：只有加法和數(shù)乘兩種，并且滿足(教材P183)： A+B=B+A(A+B)+C= A+( B+C) OA=AA+(-A)=Oa(A+B)= aA+Ab(a+b)B=a B +Bb(ab)

31、A=a(b)A還有一個顯而易見的：8. 1AA1. 引例定義產(chǎn)生的背景 例1 設 F 是一個數(shù)例2 設R是實數(shù)域，V3表示空間向量的集合.兩個向量可以作加法（平行四邊形法則），可以用R中的一個數(shù)乘一個向量，加法和數(shù)乘滿足同樣的8條性質(zhì).按照解析幾何的方法，向量可以用的坐標（x,y,z）來表達，加法和數(shù)乘都有表達式，類似的問題許多，有必要總結(jié)它們的共性： 涉及兩個集合（其中一個集合）. 涉及兩種運算（什么樣的運算？）. 滿足8條運算性質(zhì).例2 設R是實數(shù)域，V3表示空間向量的集合.兩個向量可2. 向量空間的定義抽象出的數(shù)學本質(zhì)定義1設F是一個數(shù)域，V是一個非空集合.我們把V中的元素稱為向量，V稱

32、為向量空間，如果下列條件成立：閉合性：(c1) V上有(閉合的)加法運算，即：對任意u,v屬于V, 一定有u+v屬于V.(c2) F上的數(shù)對V上的向量有 (閉合的)數(shù)乘運算，即：對任意F中數(shù) 和V中元素v, 一定有： v屬于V.加法的性質(zhì)：(a1) u+v= v +u，對所有u和v屬于V.(a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 對所有u、v和w屬于V.(a3) V中存在一個向量，記作o, 它滿足：v+o= v 對所有V中的v.(a4) 給定V中每一個向量v, V中存在一個向量u滿足： u+v= 0. 這樣的u稱為v的負向量.2. 向量空間的定義抽象出的數(shù)學本質(zhì)定義1設F是一個數(shù)域乘法的性

33、質(zhì)：(m1) (m2) (m3) (m4) 1u= u 對所有u屬于V. 乘法的性質(zhì)：(m1) (m2) (m3) (m4) 1u=3. 進一步的例子加深定義的理解例3按照定義1， 是數(shù)域F上的向量空間，稱為矩陣 空間. （1） 統(tǒng)稱為元向量空間，統(tǒng)一用符號 表示. （2） 是解析幾何的坐標平面、坐標空間的推廣它是常 用的一類. 例4 數(shù)域F上一元多項式集合Fx按照通常的加法與數(shù)乘構(gòu)成F上的向量空間，稱為多項式空間.證明：根據(jù)多項式加法和數(shù)乘的定義， (c1) f(x)+g(x) Fx, 任給f(x),g(x) Fx. (c2) f(x) Fx，任給 F，f(x) Fx. (a1) f(x)+

34、g(x)= g(x) + f (x), 任給f(x),g(x) Fx. 3. 進一步的例子加深定義的理解例3按照定義1， 是(a2) f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+ g(x) +h(x) , 任給f(x),g(x),h(x) Fx. (a3) 0向量就是零多項式. (a4) f(x)的負向量為（- f(x)）.(m1) f(x)= f(x). (m2) f(x)+g(x)= f(x)+ g(x). (m3) f(x)= f(x)+ f(x). (m4) 1 f(x)= f(x). 注1：剛開始，步驟要完整.(a2) f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+ 例5 Ca,b表示區(qū)間

35、a,b上連續(xù)實函數(shù)按照通常的加法與數(shù)乘構(gòu)成實數(shù)域R的向量空間，稱為函數(shù)空間.證明：比照例3，給出完整步驟.例6 （1）數(shù)域F是F上的向量空間.（2）R是Q上的向量空間，R是否為C上的向量空間？注2：這個例子說明向量空間與F有關(guān).例5 Ca,b表示區(qū)間a,b上連續(xù)實函數(shù)按照通常例7 設數(shù)域取R, 集合為R+(實數(shù))，加法和數(shù)乘定義為：證明 關(guān)于給定的運算構(gòu)成R上的向量空間. 證明：注3：運算可以是通常的，可以重新定義的.如何理解運算？注4：取數(shù)乘為通常的乘法如何？，向量空間與運算有關(guān).注5：證明向量空間需要10條性質(zhì)，其中：8條是驗證，2條需要解方程求出零向量與負向量. 例7 設數(shù)域取R, 集合

36、為R+(實數(shù))，加法和數(shù)乘定義為：例8 在上定義加法和數(shù)乘： 證明 關(guān)于給定運算構(gòu)成R上的向量空間. 證明：留作課外練習.例8 在上定義加法和數(shù)乘： 證明 關(guān)于給定運算構(gòu)成R上4.簡單性質(zhì)（1） 零向量0是唯一的.（2） 一個向量v的負向量是唯一的，用（- v）表示.（3）0v0， 00. （4）(-v)= （5）4.簡單性質(zhì)（1） 零向量0是唯一的.（3）0v0， 6.2 子空間學習內(nèi)容6.2.1 子空間的概念6.2.2子空間的交與和. 6.2 子空間學習內(nèi)容6.2.1 子空間的概念6.2.2子空6.2.1 子空間的概念設V是數(shù)域F上一個向量空間. W是V 的一個非空子集.對于W 中任意兩個

37、向量，它們的和+是V中一個向量. 一般說來，+不一定在W 內(nèi).如果W中任意兩個向量的和仍在W內(nèi)，那么就說，W對于V的加法是封閉的. 同樣，如果對于W中任意向量和數(shù)域F中任意數(shù)a，a仍在W內(nèi)，那么就說，W 對于標量與向量的乘法是封閉的.6.2.1 子空間的概念設V是數(shù)域F上一個向量空間. W是V定理6.2.1 設W是數(shù)域F上向量空間V的一個非空子集.如果W 對于V 的加法以及標量與向量乘法是封閉的，那么本身也作成上一個向量空間. 定義1 令W是數(shù)域F上向量空間V的一個非空子集.如果W 對于V 的加法以及標量與向量的乘法來說是封閉的，那么就稱W是V 的一個子空間. 由定理6.2.1，V的一個子空間

38、也是F上一個向量空間，并且一定含有V的零向量。定理6.2.1 設W是數(shù)域F上向量空間V的一個非空子集.如果例1 向量空間V總是它自身的一個子空間。另一方面，單獨一個零向量所成的集合0顯然對于V的加法和標量與向量的乘法是封閉，因而也是V的一個子空間，稱為零空間。 一個向量空間V本身和零空間叫做V的平凡子空間。V的非平凡子空間叫做V的真子空間。 例2 是不是 的子空間？ 是不是 的子空間？例1 向量空間V總是它自身的一個子空間。另一方面，單獨一個零解 U中的矩陣是上三角形矩陣，顯然U為向量空間 的非空子集。又中 的運算是矩陣的加法及數(shù)與矩陣的乘法，而兩個上三角形的和仍是一個上三角形矩陣，一個數(shù)與一

39、個上三角形矩陣的乘積仍是上三角形矩陣，所以，由子空間的定義 ，U是 的 一個子空間。 不是 的子空間，因為n階單位矩陣I及 I W，但 在空間V2里，平行于一條固定直線的一切向量空間作成V2的一個子空間。在間間V3里，平行于一條固定直線或一張固定平面的一切向量分別作成V3的子空間(6.1,例1)。例3解 U中的矩陣是上三角形矩陣，顯然U為向量空間 例4 中一切形如的向量作成 的一個子空間。 例5 F x中次數(shù)不超過一個給定的整數(shù)n的多項式全體連同零多項式一起作成F x的一個子空間。 例6 閉區(qū)間a,b上一切可微分函數(shù)作成C a,b的一個子空間。例4 中一切形如的向量作成 的一個子空間。 例5

40、F例7 設 (1) 把滿足AX = 0的解X表示為 ，顯然 。并記AX = 0的解集為 證明 是向量空間 的一個子空間。(2) 記AX = 的解集為 是否也是 的一個字空間？這里例7 設 (1) 把滿足AX = 0的解X表示為 證明 （1）首先， ，且A0 = 0，所以， 。 其次，如果 那么 所以 ，對于任何 。故 對于 的兩種運算封閉， 是向量空間 的一個子空間。證明 （1）首先， ，且A0 = 0，所以， 定理6.2.2 向量空間W的一個非空子集W是V的一個子空間，要且只要對于任意a,bF和任意,W，都有a+bW （2）可以知道，在0 的時候， 不一定是 的子空間。因為對任何 ，都有A

41、(X + Y) = AX +AY =+，故 對 的加法不封閉。定理6.2.2 向量空間W的一個非空子集W是V的一個子空間，6.2.2子空間的交與和設W1，W2是向量空間V的二個子空間，那么它們的交W1W2也是V的一個子空間.一般，設 Wi 是向量空間V的一組子空間（個數(shù)可以有限，也可以無限）.令 表示這些子空間的交。如同上面一樣可以證明，也是V的一個子空間.作為子集的二個子空間W1與W2 的并集，一般說來不是子空間，現(xiàn)在考慮V的子集。6.2.2子空間的交與和設W1，W2是向量空間V的二個子空間由于0W1，0W2，所以0=0+0W1+W2，因此W1+W2。設a, bF, ,W1+W2, 那么,

42、因為W1,W2都是子空間,所以 , ,于是這就證明了W1+W2是V的子空間,這個子空間叫做W1與W2 的和. 由于0W1，0W2，所以0=0+0W1+W2，因此W1yzxloyzxo+zxoy圖6-2-1圖6-2-2圖6-2-3xyo圖6-2-4例8 在 中，終點位于過原點的同一條直線l上的所有向量作成 的子空間W。為敘述簡便，也說W就是過原點的直線 l ，直線 l 是 的子空間（圖6-2-1）。這樣， 中過原點的直線都是 的子空間。同理， 中以過原點的平面上的點為終點的所有向量作成 的子空間。這樣，過原點的平面都是 的子空間（圖6-2-2）。yzxloyzxo+zxoy圖6-2-1圖6-2-

43、兩個子空間的和的概念也可以推廣到任意有限的子空間的情形.設W1,W2,，Wn是V 的子空間.容易證明,一切形如 的向量作為V 的一個子空間,這個子空間稱為子空間W1,W2,，Wn的和,并且用符號W1+W2+Wn來表示.不過原點的直線不能作成 的子空間，如圖6-2-3所示， 為不過原點的直線，以 上兩點A，B為終點的向量，的和+按平行四邊形法則 ，其終點C不在 上，因此 不能作成 的子空間。同樣，不過原點的平面也不能作成 的子空間。 兩個子空間的和的概念也可以推廣到任意有限的子空間的情形.設W6.3向量的線性相關(guān)電子內(nèi)容6.3.1 線性組合與線性表示6.3.2 線性相關(guān)與線性無關(guān)6.3.3 向量

44、組等價6.3.4 向量組的極大線性無關(guān)組6.3向量的線性相關(guān)電子內(nèi)容6.3.1 線性組合與線性表示66.3.1 線性組合與線性表示定義1 設 是向量空間V的r個向量， 是數(shù)域F中任意r個數(shù). 我們把和叫做向量 的一個向量組合.如果V 中某一向量可以表示成向量 的線性組合，我們也說可以由 線性表示.零向量顯然可以由任意一組向量 線性表示，因為6.3.1 線性組合與線性表示定義1 設 6.3.2 線性相關(guān)與線性無關(guān)定義2 設 是向量空間V的r個向量。如果存在F中不全為零的數(shù) 使得（1）那么就說 線性相關(guān).如果不存在F中不全為零的數(shù) 使得等式（1）成立，換句話說，等式（1）僅當 時才成立，那么就說，

45、向量 線性無關(guān).6.3.2 線性相關(guān)與線性無關(guān)定義2 設 例1 令F是任意一個數(shù)域。 中向量1=（1,2,3），2=（2,4,6），3=（3,5,-4）線性相關(guān)。例2 判斷 的向量1=（1,-2,3），2=（2,1,0），3=（1,-7,9）是否線性相關(guān)。例3 在向量空間F x里，對于任意非負整數(shù) n ,線性無關(guān)。 例1 令F是任意一個數(shù)域。 中向量1=（1,2,3命題6.3.1 向量組 中每一個向量 都可以由這一組向量線性表示. 命題6.3.2 如果向量可以由 線性表示，而每一個又都可以由 線性表示，那么可以由 線性表示.命題6.3.3 如果向量組 線性無關(guān),那么它的任意一部分也線性無關(guān).一

46、個等價的提法是:如果向量組 有一部分向量線性相關(guān),那么整個向量組 也線性相關(guān).命題6.3.1 向量組 命題6.3.4 設向量組 線性無關(guān),而 線性相關(guān).那么一定可以由 線性表示.定理 6.3.5 向量 線性相關(guān),必要且只要其中某一個向量是其余向量的線性組合.命題6.3.4 設向量組 6.3.3 向量組等價定義3 設 和 是向量空間V的兩個向量組,如果每一個 都可以由 線性表示,而每一 也可以由 線性表示, 那么就說這兩個向量組等價.例4 向量組1=(1,2,3), 2=(1,0,2)與向量組1=(3,4,8), 2=(2,2,5), 3=(0,2,1)等價.6.3.3 向量組等價定義3 設 等

47、價的概念顯然具有傳遞性:如果 與 等價,而后者又與 等價, 那么 與 等價.定理6.3.6 (替換定理）設向量組 線性無關(guān),并且每一 都 可以由向量組線性表示,那么rs, 并且必要時可以對 中向量重新編號,使得用 替換后所得的向量 與 等價. 推論6.3.7 兩個等價的線性無關(guān)的向量組含有相同個數(shù)的向量。等價的概念顯然具有傳遞性:如果 6.3.4 向量組的極大線性無關(guān)組(1) 線性無關(guān)；定義4 向量組 的一部分向量組 叫做一個極大線性無關(guān)部分組（簡稱極大無關(guān)組），如果 (2)每一 ，j = 1, n,都可以由 線性表示。6.3.4 向量組的極大線性無關(guān)組(1) 例5看F3的向量組在這里 線性無

48、關(guān)，而 ,所以 是一個極大無關(guān)組。另一方面，容易看出， ， 也是向量組 的極大無關(guān)組。推論6.3.8 等價的向量組的極大無關(guān)組含有相同個數(shù)的向量.特別，一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組含有相同個數(shù)的向量。 例5看F3的向量組在這里 線性無關(guān)，6.4 基和維數(shù) 學習內(nèi)容6.4.1 子空間的生成元6.4.2向量空間的基與維數(shù)6.4.3 維數(shù)定理6.4.4余子空間與子空間的直和6.4 基和維數(shù) 學習內(nèi)容6.4.1 子空間的生成元6.4.6.4.1 子空間的生成元設V是數(shù)域F上的一個向量空間. 考慮 的一切線性組合所成的集合。這個集合顯然不空，因為零向量屬于這個集合.其次,設那么對于任意仍是 的一個線性

49、組合,因此, 的一切線性組合作成V的一個子間.這子空間叫做由 所生成的子空間,并且用符號 表示,向量 叫做這個子空間的一組生成元.6.4.1 子空間的生成元設V是數(shù)域F上的一個向量空間. 考例1看 如下的n個向量:這里除 第 i 位置是1外,其余位置的元素都是零. 令是 中任意一個向量。我們有因此, , 而 是 的一組生成元.例1看 如下的n個向量:這里除 第 i 位置例2F X在里,由多項式 所生成的子空間是就是F上一切次數(shù)n不超過的多項式連同零多項式所生成的子空間.設 是向量組 的一個極大無關(guān)組.由命題6.3.2,子空間 的每一個向量都可以由 線性表示.另一方面， 的任意一個線性組合自然是

50、 中的向量. 例2F X在里,由多項式 定理6.4.1 設 是向量空間V 的一組不全為零的向量,而 是它的一個極大無關(guān)組.那么根據(jù)這個定理,如果子空間 不等于零子空間, 那么它總可以由一個線性無關(guān)的生成元生成.定理6.4.1 設 6.4.2 向量空間的基定義1 設V是數(shù)域F上一個向量空間.V中滿足下列兩個條件的向量組 叫做V的一個基:（1） 線性無關(guān)； （2）V的每一個向量都可以由 線性表示.根據(jù)這個定義，向量空間V的一個基就是V的一個組線性無關(guān)的生成元。6.4.2 向量空間的基定義1 設V是數(shù)域F上一個向量空間.例3 由例1可得， 中向量組 是 的一組生成元。顯然這組向量是線性無關(guān)的，因此

51、是 的一個基。這個基叫做的標準基。例4 在空間 里，任意兩個不共的向量 都構(gòu)成一個基；在 里，任意三個不共面的向量 都構(gòu)成一個基。例3 由例1可得， 中向量組 定義 一個向量空間的基所含向量的個數(shù)叫做的維數(shù)零空間的維數(shù)定義為空間的維數(shù)記作dim這樣，空間的維數(shù)是；的維數(shù)；n的維數(shù)是n；上一切mn矩陣所成的向量空間是維數(shù)是mn如果一個向量空間不能由有限個向量生成，那么它自然也不能由有限個線性無關(guān)的向量生成在這一情況，就說這個向量空間是無限維的定義 一個向量空間的基所含向量的個數(shù)叫做的維數(shù)零空間定理. 例5 x作為上向量空間，不是有限生成的，因而是無限維的.設 是向量空間的一個基那么的每一個向量可

52、以唯一地被表成基向量 的線性組合定理.3 n維向量空間中任意多于n個向量一定線性相關(guān) 定理. 例5 x作為上向量空間，不是有限生定理. 設 是n維向量空間中一組線性無關(guān)的向量那么總可以添加 n r 個向量 ，使得 作為的一個基特別，n維向量空間中任意n個線性無關(guān)的向量都可以取作基定理. 設 6.4.3 維數(shù)定理定理. 設和都是數(shù)域上向量空間的有限維子空間那么也是有限維的，并且dim（）dimdimdim（）6.4.4 余子空間與子空間的直和定理. 6 設向量空間V是子空間W與W的直和 . 那么V中每一向量 可以唯一地表成 W W 6.4.3 維數(shù)定理定理. 設和都是數(shù)域定理 6.4.7 n 維

53、向量空間V的任意一個子空間W都有余子空間 , 如果W是W的一個余子空間 , 那么dimV = dimW + dimW.定理 6.4.7 n 維向量空間V的任意一個子空間W都有余子6.5 坐 標學習內(nèi)容6.5.1 坐標的概念及其意義6.5.2 過渡矩陣6.5.3坐標變換公式6.5 坐 標學習內(nèi)容6.5.1 坐標的概念及其意義6.56.5.1 坐標的概念及其意義定義1 設 ， 是V的一個基則 稱為 關(guān)于基 的坐標.6.5.1 坐標的概念及其意義定義1 設 例1 的向量 關(guān)于標準基的坐標就是 例2 的向量 關(guān)于標準基 的坐標是 . 關(guān)于基 的坐標是，這里c F. 例3 的向量 關(guān)于標準基 的坐標是

54、.例1 的向量 （i） 關(guān)于基 的坐標是；（ii ） 關(guān)于基 的坐標是；，這里a F . 注：向量的坐標依賴于基的選擇，即同一向量關(guān)于不同基的坐標一般是不同的 .設 關(guān)于基 的坐標分別是和 ，則定理6. 5. 1（i） 關(guān)于基 6.5.2 過渡矩陣定義2 設 ， 、 是V的兩個基，若關(guān)于基 的坐標是 ，則矩陣叫做基 到基 的過渡矩陣6.5.2 過渡矩陣定義2 設 1基 到基 的過渡矩陣是T，則基 到基 的過渡矩陣是設 ， ，則2基 到基 的過渡矩陣是，即 ，即 。 ， ，所以基 到基 的過渡矩陣是，即則 。所以基 到基 的過渡矩陣是TH1基 到例4 考慮中 以下兩組向量： 證明： 和 都是的基求出由基 到基 的過渡矩陣。證明：易知 ，這里 是 的標準基。所以 。因此，由基 到 的過渡矩陣是例4 考慮中 以下兩組向量： 證明： 6.5.3 坐標變換公式定理6. 5. 2 設 關(guān)于基 的坐標是 ，即 關(guān)于基 的坐標是 ，即(1)(2) 6.5.3 坐標變換公式定理6. 5. 2 設 關(guān)于基基 到基 的過渡矩陣是T，即(3)由（2）和（3）得 (