716空間向量及其運(yùn)算知識(shí)總結(jié)

1、空間向量與其運(yùn)算DT AaAB1、空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量.(2)向量一般用有向線(xiàn)段表示同向等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一或相等的向量 空間的兩個(gè)向量可用同一平面的兩條有向線(xiàn)段來(lái)表示2、空間向量的運(yùn)算定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下OB = OA + AB = a + b ； BA = OA OB = a b ； OP = Xa (九 e R) 運(yùn)算律：(1)加法交換律：a + b = b + a 亠加法結(jié)合律：(a + b) + c = a + (b + c)數(shù)乘分配律：X(a + b) = Xa + Xb

2、3、共線(xiàn)向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b b豐0，a/b的充要條件是存在實(shí)數(shù)久，使a =久b 推論：如果i為經(jīng)過(guò)點(diǎn)a且平行于非零向量a的直線(xiàn)，那么對(duì)于任意一點(diǎn)o,點(diǎn)p在直線(xiàn)i上的充要條件是 存在實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足等式op = oa +1 a 其中向量a叫做直線(xiàn)i的方向向量.4、向量與平面平行：平面d和向量a，作OA = a，如果直線(xiàn)OA平行于d或在d，那么我們說(shuō)向量a平 行于平面Q ,記作：ad .通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的5、共面向量定理:如果兩個(gè)向量a,b不共線(xiàn)，p與向量a,b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x, y使p = xa + yb. 推論：空間一

3、點(diǎn)P位于平面MAB的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y,使MP = xMA + yMB 假設(shè) A、B、M、P 四點(diǎn)共面：OP = xOA + yOB + zOM,(x + y + z = 1)6、空間向量根本定理：假設(shè)三向量仏處不共面，我們把a(bǔ),b,c叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向量, 空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.推論：設(shè)O, A,B,C是不共面的四點(diǎn)，那么對(duì)空間任一點(diǎn) P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z，使_上OP = xOA + yOB + zOC - -7、空間向量的夾角與其表示：兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作OA = a,OB = b，那么ZA

4、OB叫兀做向量a與b的夾角，記作 ；且規(guī)定0 S，顯然有= ；假設(shè)A8、向量的數(shù)量積：向量a, b，那么I a I -1 b I - cos 叫做a, b的數(shù)量積，記作a - b，即 a b = i a i -1 b i cos.向量AB = a和軸l是l上與l同方向的單位向量，作點(diǎn)A在l上的射影A，作點(diǎn)B在l上的射影B，/ | -/BC可以證明AB的長(zhǎng)度那么吃叫做向量AB在軸l上或在e上的正射影. I AB 1=1 AB I cos =I a e I.9、空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：1 a e =I a I cos . a 丄 b o a - b = 0 . 3 I a I2= a a.10、空間

5、向量數(shù)量積運(yùn)算律：(Xa)b = X(ab) = a(Xb). ab = ba 交換律.3 a(b + c)二ab + ac 分配律空間向量的直角坐標(biāo)與其運(yùn)算1、空間直角坐標(biāo)系：1假設(shè)空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為 這個(gè)基底叫單位正交基底，用i, j,k表示；2在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底i, j,k，以點(diǎn)O為原點(diǎn)， 分別以i j,k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它 們都叫坐標(biāo)軸我們稱(chēng)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O-xyz，點(diǎn)O叫原點(diǎn)，向量j,k都叫 坐標(biāo)向量通過(guò)每?jī)蓚€(gè)坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為xOy平面，yOz平面，zOx平面；2、空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：

6、zx在空間直角坐標(biāo)系O -xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x, y，z)，使OA二xi + yj + zk3、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：1假設(shè) a = (a ,a , a ), b = (b ,b ,b )，那么 TOC o 1-5 h z 123123 a + b = (a + b , a + b , a + b ),-十112233十a(chǎn) 一 b = (a 一 b , a 一 b , a 一 b ),九a =(九a ,九a ,九a )(九 e R),1 1 22 33123ab = ab + a b + a b , a/b o a = Xb ,a = Xb ,a = Xb (

7、九 eR),1 12 23 3112233Aa 丄 b o a b + a b + a b = 0 .1 12 23 32假設(shè) A(x , y ,z ), B(x , y ,z )，那么 AB = (x x , y y ,z z ).一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 14、模長(zhǎng)公式：假設(shè)a = 4行a3)，b = (%生:2 + a 2 + a 2 , I b l=b - b =Jb2 +12315、夾角公式：co咖-巧=罟bi+ b 2 + b 2 .-123a b + a b + a b112 23

8、3 TOC o 1-5 h z 23116、兩點(diǎn)間的距離公式：假設(shè)A(x , y , z ), B(x , y , z ), 1 1 1 2 2 2那么 I ABI= AB2 =：(x x )2 + (y y )2 + (z z )2 ,或 d = J(x x )2 + (y y )2 + (z z )2 *y 2 12 12 1A, B212121空間向量應(yīng)用一、直線(xiàn)的方向向量把直線(xiàn)上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱(chēng)為直線(xiàn)的方向向量在空間直角坐標(biāo)系中，由A(x ,y ,z )與 1 1 1B(x , y , z )確定直線(xiàn)AB的方向向量是AB = (x x , y y ,z z ).222

9、 _ _ 2 12 12 1平面法向量 如果a丄d ,那么向量a叫做平面a的法向量.二、證明平行問(wèn)題a a a1、線(xiàn)線(xiàn)平行：證明兩直線(xiàn)平行可用a/boa =Xb,a =Xb ,a =Xb (XeR)或a/bo = 2 = 3.112233b b b1 _ 23 一2、線(xiàn)面平行：直線(xiàn)l的方向向量為a，平面d的法向量為n，且/,假設(shè)a丄n即an = 0那么a/a .A 3、面面平行：平面a的法向量為n，平面卩的法向量為n，假設(shè)n /n即n =Xn那么a/卩.1 2 1 2 1 2三、證明垂直問(wèn)題1 線(xiàn)線(xiàn)垂直：證明兩直線(xiàn)垂直可用a丄boa-b = ab + a b + a b = 0_11-2 23

10、3_2、 線(xiàn)面垂直：直線(xiàn)l的方向向量為a，平面a的法向量為n，且/,假設(shè)a/n即a =尢n那么a丄a .AAA A3、面面垂直：平面a的法向量為n，平面卩的法向量為n，假設(shè)n丄n即nn = 0那么dip .1 2 1 2 1 2四、求夾角 _1、線(xiàn)線(xiàn)夾角：設(shè)a = (a,a ,a ) b=(b,b,b)9 e(0P,9CP為一面直線(xiàn)所成角，那么：ab = aI-1bI-cosa ba b + a b + a bc cc ccos =-I a I -1 b I 二 ；cos9 =Icos I.a2 + a2 + a 2 :b2 + b2 + b2123 w 1 十 232、線(xiàn)面夾角：如圖，PA為

11、平面a的一條斜線(xiàn)，n為平面a的一個(gè)法向量，過(guò)P作平面a的垂線(xiàn)PO，連 結(jié)OA那么ZPAO為斜線(xiàn)PA和平面a所成的角，記為9易得sin 9 =I sin（ 一 ） I =I cos I=i cos i =i cos i = 1I n II PA I3、面面夾角：設(shè)n、n分別是二面角兩個(gè)半平面a、卩的法向量，1 2 n同時(shí)指向二面角或二面角外時(shí)，二面角9的大小為兀-n ,n 212n 一個(gè)指向二面角，另一外指向二面角外時(shí)，二面角9的大小為 .2 1 2當(dāng)法向量n、當(dāng)法向量n、1五、距離1、點(diǎn)點(diǎn)距離：設(shè) A（x , y , z ），B（x , y , z ），d = （x 一 x ）2 + （y 一

12、 y ）2 + （z 一 z ）2 TOC o 1-5 h z 1 1 12 2 2A, B 21212 1I AB I= AB AB =i；（x 一 x ）2 + （y 一 y ）2 + （z 一 z ）2212121_2、點(diǎn)面距離：A為平面a任一點(diǎn)，PA為平面a的一條斜線(xiàn)，n為平面a的一個(gè)法向量，過(guò)P作平面a的 垂線(xiàn)PO，連結(jié)OA那么ZPAO為斜線(xiàn)PA和平面a所成的角，記為9易得 I PO I=I PA I sin9 =| PA I Icos I =I PA I 7 nJ = 1PA n 1 I PAI I nI I nI3、線(xiàn)線(xiàn)距離求異面直線(xiàn)間的距離可以利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算設(shè)兩條

13、異面直線(xiàn)a、b的公垂線(xiàn)的 方向向量為n,這時(shí)分別在a、b上任取A、B兩點(diǎn)，那么向量在n上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線(xiàn)a、b 的距離即兩異面直線(xiàn)間的距離等于兩異面直線(xiàn)上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線(xiàn)方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值n | AB n |與公垂線(xiàn)的方向向量模的比值直線(xiàn)a、b的距離d=AB1=.I n II n I4、線(xiàn)面距離：一條直線(xiàn)和一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離叫做這條直線(xiàn)到這個(gè)平 面的距離.直線(xiàn)到平面的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離.5、面面距離：和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線(xiàn)叫做兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn).公垂線(xiàn)夾在這兩個(gè)平行平面間的 局部叫做兩個(gè)平行平面的公垂線(xiàn)段.公垂線(xiàn)段的長(zhǎng)

14、度叫做兩個(gè)平行平面間的距離.空間向量與其運(yùn)算一、選擇題1、與向量a=（12,5）平行的單位向量是（）A.上丄、B.12 丄C.或（腔丄D. 1313 丿13 , 13丿 13,13丿1 1313丿L 1313丿 TOC o 1-5 h z 2、 A(l, 1,-2)、B(l, 1, 1),那么線(xiàn)段AB 的長(zhǎng)度是()A.lB.2C.3D.43、向量 a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),那么 a 與b()A.相交B.垂直C.平行D.以上都不對(duì)A.充分不必要條件B.必要非充分條件4、 m=8, 3, a, n=2b,6,5,假設(shè)mn,那么 a+b 的值為()A.0B.C.丑 D.8225、

15、假設(shè) a=2x ,1 , 3，b=1 ,2y , 9，如果a與b為共線(xiàn)向量,那么A.x=1 , y=11B.x=, y=2113小C.x= , y=D.x= 一2 6 213y= 626、a=1,5,-2,b=m,2,m+2,假設(shè)alb ,那么m的值為（）A.0B.6C.-6D.67、假設(shè)非零向量a=x1, y1 ,z1 , b=x2 , y2, z2，那么斗=斗=斗是a與b同向或反向的（ x2y2z2C.充要條件D.不充分不必要條件8、A一1 , 2, 6，B1 , 2, 6O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么向量OA,與OB的夾角A. 0兀B.2C.兀D.3兀29、A（2,-5,1）,B（2,-2,4）,C

16、（1,-4,1）,那么向量 AB與與AC 的夾角為 TOC o 1-5 h z A. 3OoB.45oC.6OoD.9Oo10、設(shè)OABC是四面體，G1是ABC的重心，G是OG上一點(diǎn)，且OG=3GG,假設(shè)OG =OA +y OB +zOC ,那么x ,y，z為（) 1 1、,333、 1 1、,22 2、A.444B.C.D.44433333 3 TOC o 1-5 h z 11、a=(2 , 1,3) , b=(1,4 , 2) , c=(7,5 ,久),假設(shè)a, b, c三向量共面,那么實(shí)數(shù)久等于(D )A 62B 63C 60D 657777-I-a-12、 a =( 1 , 5 , 2

17、) , b =(x,2,x + 2),假設(shè)a 丄 b ,那么 x=()14A. 0By C6 D613、 設(shè)a =(m,1,2) , b =(3,4,n),假設(shè)a/b,那么 m , n 的值分別為()3333A. 丁，8B.,8C.二,8D. 丁 ,8444414、向量a (0, 2, 1),b (1,1,2)，那么a與b的夾角為()A. 0B.45C. 90D. 18015、假設(shè)斜線(xiàn)段AB是它在平面Q的射影長(zhǎng)的2倍，那么AB與Q所成的角為()A.60 B. 45 C. 30D.12016、a=2, 1, 3，b=1,4,2，c7, 5,入，假設(shè)a、b、c三向量共面，那么實(shí)數(shù)入等于丿62636

18、465A.B.C.D.7777117、在正三角形ABC中，AD丄BC于D,沿AD折成二面角B_AD_C后，BC二-AB，這時(shí)二面角BAD C的大小為()A. 60 B. 45 C. 90 D. 12018、矩形 ABCD 中，AB=1, BC =42，PA丄平面 ABCD，PA = 1，那么 PC 與平面 ABCD 所成的角是()A. 30 B. 45 C. 60 D. 9019、設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿(mǎn)足AB - AC = 0, AB - AD = 0, AC - AD = 0 TOC o 1-5 h z 那么 BCD是A.鈍角三角形B.直角三角形 C.銳角三角形 D.不確定

19、20、PA、PB、PC是從P點(diǎn)引出的三條射線(xiàn)，每?jī)蓷l的夾角為60，那么直線(xiàn)PC與平面APB所成角的余 弦值為()163 打A. B 3 C 3 D 2二、填空題HI*21、 向量a =(4,一2,4), b =(6，3， 2)，那么a在b方向上的投影是.22、 AB = (1,0,2), AC = (2,1,1)，那么平面 ABC 的一個(gè)法向量為.23、ZBOC 在平面a , OA 是平面a 的一條斜線(xiàn)，假設(shè)Z AOB =ZAOC = 60, OA = OB=OC=a, BC=込a,那么OA與平面a所成的角是.24、空間四邊形ABCD,那么AB CD+ BC AD + CA BD25、 點(diǎn) A(1,2,1),B(-1,3,4)、D(1,1,1),假設(shè)AP = 2PB，那么lPDI的值是.26、空間三點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)分別為(0, 0, 2), (2,