肇慶市屆高中畢業(yè)班第一次統(tǒng)一檢測(理數(shù))

1、1 i11 i* 市本試卷分第卷試用時(shí) 120 分鐘 .試卷類型： A2016 屆高中畢業(yè)班第一次統(tǒng)一檢測題數(shù)學(xué)（理科）（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共 24 小題，滿分 150 分 . 考注意事項(xiàng)：1. 答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆，將自己所在縣（市、區(qū)） 、 * 、試室號、座位號填寫在答題卷上對應(yīng)位置，再用 2B 鉛筆將 * 號涂黑 .2. 選擇題每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能寫在試卷上或草稿紙上 .3. 非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答， 答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)相

2、應(yīng)的位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液 . 不按以上要求作答的答案無效 .一選擇題：本大題共 12 小題，每小題符合題目要求的。（1）已知集合 M x |x2 5x 6 0第卷5 分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是， N x | x2 16 0 ，則 M N （A ）（ 4,1（2）已知復(fù)數(shù) z（B ） 1,4 （C ） 6, 4） （D ） 6,4）i ，則復(fù)數(shù) z 的模 z （A）2（B）2（C）10（ D）1022（3） “x 2 ”是 “x2 4 0”的（A ）必要而不充分條件 （B ）充分而不必要條件（C）充要條件 （D）既不充分也不

3、必要條件（4）復(fù)數(shù) z 1 i 2015（A ） 1 （B） 1 （C） i （D） i2) 的展開式中2 1 1 16 x33（5）已知 x, y 的取值如下表所示：x013y2.24.34.8從散點(diǎn)圖分析， y 與 x 線性相關(guān)，且46.7y 0.95 xa ，則當(dāng) x 5 時(shí)，y的值是（A） 7.35 （B） 7.33 （C） 7.03 （D） 2.6（6）已知 M x N | 6 N ，則集合 M 的子集的個(gè)數(shù)是（A） 8 （B） 16 （C） 32 （D） 64（7）若如圖 1 所示的程序框圖輸出的 S 是 30，則在判斷框中M 表示的 “條件 ”應(yīng)該是（A） n 3 （B） n 4

4、（C） n 5 （D） n 6x y 0（8）已知 x, y滿足不等式 x y 3 0，則函數(shù) z x 3y 取得最大值是x 3（A） 12 （B） 9 （C） 6 （D） 3（9）在 OAB 中， O 為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)， A， B 的坐標(biāo)分別為 A （3,4）， B （ 2， y ），向量 AB 與 x 軸平行，則向量 OA 與 AB 所成的余弦值是（A ）5（B）353 （C ）5（ D）5（10） 已知在 ABC 中， ABC 60， AB 2， BC 6， 在 BC 上任取一點(diǎn) D， 則使 ABD為鈍角三角形的概率為（A） （B） （C） （D）3 2 3 6（11 ）設(shè) k 1，

5、2， 3， 4， 5，則 (x 5xk 的系數(shù)不可能是（A） 10 （B） 40 （C） 50 （D） 80（12）已知 A， B， C， D， E 是球面上的五個(gè)點(diǎn)，其中 A， B， C， D 在同一圓周上，若 E2124不在 A， B， C， D 所在圓周上，則從這五個(gè)點(diǎn)的任意兩點(diǎn)連線中取出 2 條，這兩條直線是異面直線的概率是（A）53 （B）5（C）15（ D）15第卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第 13題第 21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22題第 24題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二填空題：本大題共 4小題，每小題 5分。（13）執(zhí)行圖 2 的程序框圖，若 p 0.8

6、，則輸出的 n （14） 已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖梯形，則它的體積等于x1（15）已知 x y 1 0 ，則 ( x 2x y 2 03 所示， 正視圖、俯視圖為直角三角形，側(cè)視圖是直角2) 2 ( y 1)2 的最小值為（16）有一球內(nèi)接圓錐，底面圓周和頂點(diǎn)均在球面上，其底面積為 3 ，已知球的半徑 R2，則此圓錐的體積為三解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。317、（本小題滿分 12 分）從我市某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取 20 件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，測量的原始數(shù)據(jù)已丟失，只余下頻數(shù)分布表如下：質(zhì)量指標(biāo)值分組頻數(shù)10,20）220,30）330,40）440,50）

7、550,60）460,70）2（ ）請你填寫下面的頻率分布表：若規(guī)定 量指標(biāo)值不低于 30 的產(chǎn)品為合格產(chǎn)品 ”，則該企業(yè)生的這種產(chǎn)品的合格率是多少？質(zhì)量指標(biāo)值分組 10,20） 20,30） 30,40） 40,50） 50,60） 60,70）頻率 0.15 0.2（II ）請你估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中間值作代表）。18、（本小題滿分 12 分）如圖 4，正三棱柱 ABC A 1B1 C1 的所有棱長都為 4， D 為 CC1 中點(diǎn)。（ I）求證： AB 1 平面 A 1BD；（ II ）求直線 AB 1 與平面 BCC 1B1 所成角

8、的正弦值。19、（本小題滿分 12 分）某社團(tuán)組織 50 名志愿者參加社會公益活動，幫助那些需要幫助的人，各位志愿者根據(jù)各自的實(shí)際情況，選擇了兩個(gè)不同的活動項(xiàng)目，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：男性志愿者女性志愿者宣傳慰問1115義工168總計(jì)27234( aP( K 2k0.102.706b)(c d )(a c)(b d )總計(jì) 26 24 50（1）先用分層抽樣的方法在做義工的志愿者中隨機(jī)抽取 6 名志愿者，再從這 6 名志愿者中又隨機(jī)抽取 2 名志愿者，設(shè)抽取的 2 名志愿者中女性人數(shù)為 ，求 的數(shù)學(xué)期望。（2）如果 “宣傳慰問 ”與 “做義工 ”是兩個(gè)分類變量，那么你有多大把握認(rèn)為選擇做宣傳慰

9、問與做義工是與性別有關(guān)系的？附： 22 列聯(lián)表隨機(jī)變量 K 2k) 0.152.072n(ad bc)2 .P(K 2 k) 與 k 對應(yīng)值表：0.05 0.025 0.010 0.0053.841 5.024 6.635 7.87920、（本小題滿分 12 分）如圖 5，已知邊長為 2 的等邊 PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面， BC2 2， M 為 BC 的中點(diǎn)。（ I）證明： AM PM（ II ）求二面角 PCM A 的余弦值。21、（本小題滿分 12 分）某超市要將甲、 乙兩種大小不同的袋裝大米分裝成 A， B 兩種規(guī)格的小袋，每袋大米可同時(shí)分得 A， B 兩種規(guī)格

10、的小袋大米的袋數(shù)如下表所示：已知庫房中現(xiàn)有甲、乙兩種袋裝大米的數(shù)量分別為 5 袋和 10 袋，市場急需 A， B 兩種規(guī)格的成品數(shù)分別為 15 袋和 27 袋。（ I）問分甲、乙兩種袋裝大米各多少袋可得到所需 A， B 兩種規(guī)格的成品數(shù)，且使所用的甲、乙兩種袋裝大米的袋數(shù)最少？（要求畫出可行域）5；41Ax1（ II ）若在可行域的整點(diǎn)中任意取出一解，求其恰好為最優(yōu)解的概率。請考生在第 22 、 23、 24 題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)，用 2B 鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。22 （本小題滿分 10 分）選修 4 1：幾何證明選講。如圖 6， ABC 內(nèi)

11、接于 O， AE 與 O 相切于點(diǎn) A， BD 平分 ABC ，交 O 于點(diǎn) D，交 AE 的延長線于點(diǎn) E， DFAE 于點(diǎn) F。（ I ）求證：（ II ）求證：AB AEAD DEAC 2AF 。23 （本小題滿分 10 分）選修 4 4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程。在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線 C 的方程為 x2 y2 1，直線 l 的極坐標(biāo)方程為 2 cos（ I）寫出 C 的參數(shù)方程和直線 l 的直角坐標(biāo)方程；（ II） 設(shè) l 與 C 的交點(diǎn)為 P1， P2， 求過線段 P1P2 的中點(diǎn)且與24、 （本小題滿分 10 分）選修 4

12、-5：不等式選講。sin 2 0。l 垂直的直線的極坐標(biāo)方程。設(shè)函數(shù) f ( x) | x a |；（ I）當(dāng) a 1 時(shí)，解不等式 f (x) f ( x) 4；（ II ）證明： f ( x) f 2數(shù)學(xué)（理科）參考答案一、選擇題題號答案2D3B4C5A6B7B8A9C10B11C12D二、填空題4013 414 15 10 16 314 解析：幾何體的直觀圖如下圖所示，體積或 3 （答對一個(gè)給1V S CDBCC1E33 分，答對兩個(gè)給 5 分）1 1 44 4403 236R216 解析：由 r 2 3 得圓錐底面半徑為 r則 x 2 r 2 22 3 1 ，圓錐的高所以，圓錐的體積為

13、 V1 Sh13333三、解答題（ 17） （本小題滿分 12 分）解： （）頻率分布表如下：3 ，如圖設(shè) OO1 x，h R x 3 或 h R1 13 或 V Sh 3 3 3x11質(zhì)量指標(biāo)值分組 頻率10， 20) 0.120， 30) 0.1530， 40) 0.240， 50) 0.2550， 60) 60， 70）0.2 0.1該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的合格率為：（）因?yàn)楸姅?shù)是頻數(shù)最大的區(qū)間的因?yàn)槠骄鶖?shù)是各組的頻率乘以該組區(qū)間的（2 分）p 0.2 0.25 0.2 0.1 0.75 （4 分）“中間值 ”，故眾數(shù)40 50245 （6 分）“中間值 ”之和，所以平均數(shù)為：x 15 0

14、. 1 25 0 . 15 35 0.2 45 0 .25 55 0 .2 65 0 .1 41 （9 分）中位數(shù)：因?yàn)橹形粩?shù)左邊和右邊的頻率相等，從表中可知，中位數(shù)落在區(qū)間 40， 50)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為 x ，則 0 . 1 0 . 15 0.2 0.25 x 4010值的中位數(shù)的估計(jì)值為 42 .0.5 ，解得 x 42 .即這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)（ 12 分）（ 18） （本小題滿分 12 分）解法一： （）證明：如圖，取 BC 中點(diǎn) O ，連結(jié) AO， B1O .ABC 為正三角形， AO BC （1 分）正三棱柱 ABC A1B1C1 中，平面 ABC 平面 BCC 1B1，且面 ABC

15、面 BCC 1B1 = BC，AO面 BCC 1B1（2 分） BD 面 BCC 1B1 ， BD AO . （3 分）在正方形 BB1C1C 中， O， D 分別為 BC， CC1 的中點(diǎn)， BD B1O . （4 分） AO B1O O， AO, B1O 面 AB1O ， BD 面 AB1O . （5 分）又 AB1 面 AB1O , AB1 BD （6 分）在正方形 ABB1 A1 中， AB1 A1B， （7 分）又 BD A1B B AB1 平面 A1 BD （8 分）（）解：由（）知，影，AO 平面 BCC1 B1 ，所以 OB1 是直線 AB1在平面 BCC1B1 內(nèi)的射716故

16、 AB1O 是直線 AO AB2AB1 與平面2BC2BCC 1B1所成的角 .2 24 22 3，（10 分）AB1 sin2ABAB1O2BB1 4 2， （11 分）AO 2 3 6，即直線 AB1 與平面AB1 4 2 4（ 9 分）BCC1B1 所成角的正弦值為（ 12 分）6.4解法二： （）如圖，取 BC 中點(diǎn) O ，連結(jié) ABC 為正三角形， AO BC，2且 AO AB2 BC 42 22 22AO（1 分）3 （ 2 分） ABC A1 B1C1 是正三棱柱，平面 ABC 平面 BCC 1B1，且面 ABC 面 BCC 1B1 = BC， AO 平面 BCC1B1 （3 分

17、）以 O 為 原 點(diǎn)， 如 圖 建 立 空 間 直 角 坐 標(biāo) 系， 則 B(2,0,0) ，D( 2,2,0) （ 4 分） AB1 (2,4, AB1 BD AB1 BD， A1 (0,4,2 3) ， A(0,0, 2 3) ， B1(2, 4,0) .2 3)， BD ( 4, 2,0)， BA1 ( 2,4,2 3)（5 分）8 8 0 0， AB1 BA1 4 16 12 0， （6 分）AB1 BA1 ，即 AB1 BD , AB1 BA1 . （7 分）又 BD BA1 B , BD , BA1 面 A1BD ， AB1 平面 A1BD （8 分）（） 由（） 知， AB1 (

18、2,4, 2 3)， AO (0,0,所以 cos OAB1AB1 AO 12| AB1 | | AO | 4 16 12 2因?yàn)橹本€ AB1 與平面 BCC1B1 所成角的正弦值等于向量2 3) 是平面6.3 4BCC 1B1 的一個(gè)法向量， （ 9 分）（ 11 分）AB1 、 AO 所成角的余弦值， 所以直線 AB1 與平面 BCC 1B1 所成角的正弦值為 . （ 12 分）4（ 19） （本小題滿分 12 分）解： （）若在做義工的志愿者中隨機(jī)抽取 6 名， 則抽取比例為6 1， 女性志愿者的應(yīng)24 4該抽取 84 在上述抽取的值為 0， 1， 2.因?yàn)?p( 0)2 人 .6 名志

19、愿者中有 2 人是女性志愿者， 其余 4 人是男性志愿者，（ 3 分）（ 2 分） 可能的取C6 5C2 C40 22 2， p( 1)C2C4 8C6 151 12 ， p( HYPERLINK l _bookmark1 2)C2 122 ， （ 6 分）C6 15827 23 26 24222 2 2所以 的數(shù)學(xué)期望為 E 05（） k 2 50(11 8 16 15)81 2152.981，1 2.15 3（ 10 分）（ 8 分）且 P( k 2 2.706) 0.1 10%，有 90% 的把握認(rèn)為選擇做宣傳慰問與做義工是與性別有關(guān)系的 . （12 分）（20） （本小題滿分 12 分

20、）( ) 證明：解法一： 取 CD 的中點(diǎn) O，連結(jié) OP，則 OP CD . （1 分）面 PCD面 ABCD ,且面 PCD 面 ABCD =CD， OP 面 PCD， OP 面 ABCD . （2 分）從而 APO , MPO 為直角三角形 . PCD 是邊長為 2 的正三角形，又 ABCD 是矩形，且 ADBC22232222 OAPAAM又 OM2 2AD DO2322222 2AO PO1 12 2AB BMBD 22PO 3 .2 2, AB CD 2，1 3，22 3，（3 分）6， （4 分）3，2 PM PO 2 PA2 PM 22OM 2 AM 2 ，即6， （5 分）A

21、M PM . （6 分）解法二： 取 CD 的中點(diǎn) O，連結(jié) OP，則 OPCD . （1 分）面 PCD面 ABCD ,且面 PCD 面 ABCD =CD， OP 面 PCD， OP 面 ABCD . AM 面 ABCD , 又 ABCD 是 矩 形AD BC 2 2, AB OA AD2 DO 2（ 2 分）AM OP . （3 分）， M , O 分 別 是 BC , CD 的 中 點(diǎn)， 且CD 222 2 1 3，22AM AB BM 2 2 6，1 1 2 2OM BD 2 2 2 3，2 2 OA2 OM 2 AM 2 ， AM OM . PO OM O , AM 面 POM， （

22、5 分）又 PM 面 POM ， AM PM . （6 分） （）解： 由（）知， PM 6 ，又 PC 2, CM（ 4 分）1BC 2 ，2 PM 2 PC2 CM 2，（7 分）故 PC BC .又 ABCD 是矩形， CD BC . DCP 是平面 PCM 與平面 ABCD 所成二面角的平面角 .（ 8 分）（ 9 分）（ 10 分）9| n1 | | n2 | 0 3 1 3 21n1 n2 3 1, 即 （ 8 分）則 （ 3 分） DCP 60 ，二面角 P CM A 的余弦值為 cos60解法三：證明： （） 取 CD 的中點(diǎn) O，連結(jié) OP，則1. （12 分）2OP CD

23、. （1 分）面 PCD面 ABCD ,且面 PCD 面 ABCD =CD， OP 面 PCD， OP 面 ABCD . （2 分） PCD 是邊長為 2 的正三角形， PO 3 .以 O為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖） ，則 A, M , P的坐標(biāo)分別為 A(2 2, 1,0), M ( 2,1,0). P(0,0, 3) . （3 分） AM ( 2, 2,0), PM ( 2,1, 3) . （4 分） AM PM 2 2 2 1 0 3 0， （5 分） AM PM ，即 AM PM . （6 分）解： （） 由（）知， C , M , P 的坐標(biāo)分別為 C(0,1,

24、0), M ( 2,1,0). P(0,0, 3)，則 PC (0,1, 3)， PM ( 2 ,1, 3) . （7 分）設(shè) n1 ( x, y , z) 是平面 PCM 的一個(gè)法向量，則n1 PC 0 y 3z 0 ,n1 PM 0. 2x y 3z 0.令 z 1，則 x 0,y 3 ，所以 n1 (0, 3,1)是平面 PCM 的一個(gè)法向量， （9 分）又 n2 (0,0, 3) 是平面 ABCD 的一個(gè)法向量， （10 分）設(shè)平面 PCM 與平面 ABCD 所成的二面角的平面角為 ，則 cos ，所以二面角 P CM A 的余弦值為 . （12 分）2（21） （本小題滿分 12 分

25、）解： （）設(shè)需分甲、乙兩種袋裝大米的袋數(shù)分別為 x 、 y ，所用的袋裝大米的總袋數(shù)為 z，2x y 15x 3y 270 x 50 y 10z x y,( x , y 為整數(shù) ) （4 分）作出可行域 D 如圖 （6 分）從圖中可知，可行域 D 的所有整數(shù)點(diǎn)為： （3， 9），（3， 10），（4， 8）， （4， 9）， （4， 10），（5， 8），（5， 9）， （5， 10），共 8 點(diǎn) . （ 8 分）因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)為 z x y,( x , y 為整數(shù) )，所以在一組平行直線 xyt (t 為參數(shù) )中，經(jīng)過可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與原點(diǎn)距102x y 2 0,0. y 2.4 解得8 4 （ 12 分）2 2， 1），（7 分） 21DA DE AB AEAB AE AD DE21 1離最近的直線是 xy 12，其經(jīng)過的整點(diǎn)是（ 3， 9）和（ 4， 8），它們都是最優(yōu)解 （9 分）所以，需分甲、乙兩種袋裝大米的袋數(shù)分別為 3 袋、 9 袋或 4 袋、 8袋可使所用的袋裝大米的袋數(shù)最少 .（ 10 分）（） 由（） 可知可行域內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為 8，而最優(yōu)解有兩個(gè)， 所以所求的概率為 p 2 1 .（22） （本小題滿分 10 分）證明： （） AE 切 O 于點(diǎn) A， EAD = EBA. （1 分）又 E = E， DAE ABE . （3