熱傳導方程的分離變量法-西北師范大學

1、物理學專業(yè)必修課程數(shù)學物理方法Mathematical Method in Physics西北師范大學物理與電子工程學院1第三章 熱傳導方程的分離變量法2引 言 上一章對弦振動方程為代表的雙曲型方程進行了研究,它的研究包括從方程的導出到應用行波法和分離變量法.本章我們對拋物型方程以熱傳導方程為代表進行研究 。3數(shù)理方程的基本步驟: 建坐標系 選物理量 找物理規(guī)律 寫表達式物理模型數(shù)學模型定量化4一、熱傳導方程的導出 截面積為A的均勻細桿,側面絕熱, 沿桿長方向有溫差, 求熱量的流動. 1. 物理模型3.1 熱傳導方程52.相關鏈接 相關概念和定律 熱傳導:由于溫度分布不均勻產(chǎn)生的熱傳遞現(xiàn)象.設

2、熱量： 面積： 體積： 時間： 密度： 溫度： 6 比熱:單位物質(zhì)溫度升高一度 熱流密度:單位時間流過單位面積的熱量( Fourier實驗定律):導熱率 所需熱量.7熱源強度:單位時間,單位體積放出的熱量(源密度). 8用到的物理學規(guī)律 Fourier實驗定律(熱傳導定律):當物體內(nèi)存在 溫度差時,會產(chǎn)生熱量的流動.熱流強度(熱流密度) 與溫度的下降成正比.即 9:熱導系數(shù)(熱導率),不同物質(zhì) 不同, 對均勻桿 是常數(shù).負號表示溫度下降的方向.10分量形式： ，一維問題： (對同一種物質(zhì))溫差越大,熱能流動越大.相同溫度下,不同的物質(zhì)熱能流動不同.11 熱量守恒(質(zhì)量)定律:物體內(nèi)部溫度升高所

3、吸收的熱量(濃度增加所需要的質(zhì)量),等于流入物體內(nèi)部的凈熱量(質(zhì)量)與物體內(nèi)部的熱源所產(chǎn)生的熱量(質(zhì)量)之和. 123.分析研究的問題: 熱流流動是由溫差造成, 為溫度.已知: ,常數(shù) .是一維問題 .方法: 與弦振動方程所用方法相同設134. 研究建立方程 時間熱量情況取 軸與細桿重合, 表示在 點 時刻的溫度.考慮任一 段在 流入 面: 14熱源產(chǎn)生:設有熱源其密度為 桿內(nèi)熱源在 段產(chǎn)生的熱量為 流出 面: 15 段溫度要升高 所吸收的熱量 , 故16 根據(jù)能量守恒定律流入 段總熱量與 段中熱源產(chǎn)生的熱量:即 17化簡: 兩邊同除以 當 ,則18一維熱傳導方程為:,.二維熱傳導方程為:其中

4、: 19三維熱傳導方程為:20擴散方程物理模型 一充滿清水的玻璃管.如果一端滴一滴紅墨水,則紅墨水的分子就要向另一端擴散.滲透半導體之間的銻擴散,硼擴散,磷擴散.21二、定解條件物體上初始時刻的溫度分布邊界上溫度，熱交換情形定解問題22初始條件 以細桿的熱導方程為例 邊界條件提法有三種23 第一類邊界條件:直接給出物理量在邊界上的數(shù)值(邊界上各點的溫度). 24或 第二類邊界條件: 研究物理量在邊界外法線方向上方向導數(shù)的數(shù)值.25物理意義: 把細桿端點 處,既無熱量流出去,又處的截面用一種定點絕熱的物質(zhì)包裹起來,使得在端點無熱量流進來.已知通過細桿端點的熱量,特殊如 絕熱條件。情形26 第三類

5、邊界條件: 物理量與外法向導數(shù)的線性組合. 已知桿端 與某種介質(zhì)接觸,它們之間按熱傳導中的牛頓實驗定律進行熱交換,相應的邊界條件為 ：:熱導系數(shù) :熱交換系數(shù)27介質(zhì)通過邊界按照冷卻定律散熱: 單位時間通過單位面積表面和外界交換的熱量與介質(zhì)表面溫度和外界溫之差成正比.度28設比例系數(shù)為 ,則 如在 處, 293.2 混合問題的分離變量解30一、定解問題：有界桿的熱傳導現(xiàn)象其中 為已知函數(shù).31第一步：分離變量.設熱導方程具有如下分離變量解(特解) 32. 將其代入泛定方程有 其中 是常數(shù).于是有33 、由邊界條件有當 ,則 當 ,則 即本征值問題34上章已經(jīng)證明只有當 . 時,該本征值問題有非

6、零解.第二步：求解本征值問題35.由 ，即特征值是 ，36 . 本征函數(shù)是 37第三步: 求特解,并疊加出一般解又由 ,得 38兩邊積分得：其中 是積分常數(shù).于是故一般解為： 39第四步：確定疊加系數(shù)由初始條件 有 兩端同乘以 ,逐次積分有404142分析解答：由初始溫度 引起的溫度引起的溫度分布的疊加.可看作是由各個瞬熱源分布433.3 初值問題的付氏解法44將 等在 上展成Fourier級數(shù),再無限擴大.上節(jié)求解混合問題時,空間坐標 區(qū)間為 .如考慮無界桿的熱傳導,如何？變動讓區(qū)間引 言45 結 果：在一定條件下,Fourier級數(shù)變成一個積分形式,稱為Fourier積分.46一、 Fou

7、rier積分設 定義在 內(nèi),且在任一上分段光滑,則 有限區(qū)間展開成Fourier級數(shù)可.47其中: 4849現(xiàn)設 在 上這時可積,即 則當 時, 50證: ,則上式寫成,51可以證明： 及 的連續(xù)點處, 的付氏積分收斂于它在該點處的函數(shù)值。稱為 的Fourier積分. 其中,它是關于的偶函數(shù).52Fourier積分還可寫為其中 53二、熱導方程的Cauchy問題定解問題其中 為已知函數(shù).分析: 已知一無限長細桿在初始時刻的溫度分布,求其以后的溫度分布.54解: (分離變量法求)令 則為常數(shù). 有 時,將隨 的增加而增加,所以不合理. 55 ,設 ,則 當 時, 56，為積分常數(shù), 必須 因為,

8、會無界， 所以 57 當 時,與,無關,而恒等于 .58，取所有實數(shù),解的疊加只能積分. 而 由Fourier積分有:59而 6061分析解答解的物理意義: 由初始溫度 引起 熱源引起的溫度分布的疊加. 的溫度分布可看作由各個瞬間點62的一個小單元 ，函數(shù) 在該區(qū)間內(nèi)為常數(shù) ，而區(qū)間外恒為0.說明: 取 在單位橫截面積細桿上取 點附近物理上: 在初始時刻, 這個表示吸取了熱量 63使這一段溫度為 桿上的分布由,此后溫度在細給出.64取上式為: 65,將分布在整個一小段上的熱量 看作在極限情形只作用在點,則在 有瞬時點熱源,強度為 的熱源,在細桿上得到的溫度分布為:,這樣66由積分中值定理: 其中: ,67則68故 所代表的溫度分布是當初始時刻 ,細桿在處受到強度為:的瞬時點熱源的作用而產(chǎn)生的.69對原問題的解釋：為在初始時刻使細桿在 處有溫度 ,則在此近鄰一小單位 上需吸收的熱量為70或在 點有溫度為 的瞬時點熱源所產(chǎn)生溫度的疊加：71在細桿的所有點上,初始