與三角形有關(guān)的線段培優(yōu)知識講解

1、與三角形有關(guān)的線段（培優(yōu)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法理解并會應(yīng)用三角形三邊間的關(guān)系；理解三角形的高、中線、角平分線及重心的概念，學(xué)會它們的畫法及簡單應(yīng)用；對三角形的穩(wěn)定性有所認(rèn)識，知道這個(gè)性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的定義及分類1.定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的基本元素三角形的邊：即組成三角形的線段；三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).2）三角形定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條

2、線段”、“首尾順次相接”.三角形的表示：三角形用符號“”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的沒有意義；AABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示2三角形的分類（1）按角分類：直角三角形三角形斜三角形銳角三角形鈍角三角形要點(diǎn)詮釋：銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.（2）按邊分類：三邊都不相等的三角形三角形等腰三角形J底邊和腰不相等晡腰三角形等邊三角形要點(diǎn)詮釋：等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，

3、另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點(diǎn)二、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的的差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍（3）證明線段之間的不等關(guān)系.要點(diǎn)三、三角形的高、中線與角平分線1三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高三角形的高的數(shù)

4、學(xué)語言：如下圖，AD是ABC的高，或AD是ABC的BC邊上的高，或AD丄BC于D,或ZADB=ZADC=90.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的高是線段；（2）三角形有三條高，且相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂心；（3）三角形的三條高：（i）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形內(nèi)部；（ii）鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點(diǎn)在三角形的外部；（iii）直角三角形三條高的交點(diǎn)是直角的頂點(diǎn).2三角形的中線三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線三角形的中線的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ABC的中線或AD是ABC的BC邊上的中線或BD=CD=BC.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的中

5、線是線段；（2）三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；（3）三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心；（4）中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.3三角形的角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ABC的角平分線，或ZBAD=ZCAD且點(diǎn)D在BC上.注意：AD是AABC的角平分線ZBAD=ZDAC=2BAC(或ZBAC=2ZBAD=2ZDAC).要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的角平分線是線段；（2）一個(gè)三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；（3）三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做

6、三角形的內(nèi)心（4）可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線.要點(diǎn)四、三角形的穩(wěn)定性三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條（或兩條）木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架

7、，伸縮尺有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形【典型例題】，則下圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有（）.【答案】B.【解析】以BC為公共邊的“共邊三角形”有：BDC與厶BEC、ABDC與厶BAC、ABEC與ABAC三對.【總結(jié)升華】根據(jù)新定義和已學(xué)過的知識，全面準(zhǔn)確的識圖.舉一反三：【變式】根據(jù)下圖所示的形、三個(gè)圖所表示的規(guī)律，依次下去第n個(gè)圖中的三角形的個(gè)數(shù)是（）.A.6（n-1）B.6nC.6（n+1）D.12n【答案】C.類型二、三角形的三邊關(guān)系2已知三角形的三邊長分別是3,8,x,若x的值為偶數(shù)，則x的值有（）A6個(gè)B5個(gè)C4個(gè)D3

8、個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“第三邊應(yīng)大于兩邊之差，而小于兩邊之和”，求得第三邊的取值范圍；再根據(jù)第三邊是偶數(shù)這一條件，求得第三邊的值【答案】D.【解析】x的取值范圍：5xBE；在AE0C中，OE+EOOC,兩不等式相加，得AB+AE+OE+EOBE+OC.由圖可知，AE+EC=AC,BE=0B+0E.所以AB+AC+0E0B+0C+0E，即OB+OCVAB+AC.（2）因?yàn)镺B+OCBC，所以O(shè)B+OC7.又因?yàn)镺B+OCVAB+AC，所以O(shè)B+OCV11，所以7VOB+OCV11.【總結(jié)升華】三角形邊的關(guān)系經(jīng)常用來證明線段之間的不等關(guān)系.舉一反三：【變式】（2015春邗江區(qū)校級月考）

9、已知a、b、c為AABC的三邊，則化簡la+b+cl-la-b-cl-la-b+cl-la+b-cl=.【答案】0.解：la+b+cl-la-b-cl-la-b+cl-la+b-cl，=（a+b+c）-（-a+b+c）-（a-b+c）-（a+b-c），=a+b+c+a-b-c-a+b-c-a-b+c，=0.類型三、三角形中的重要線段在ABC中，AB=AC,AC邊上的中線BD把厶ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，求三角形的各邊長.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)橹芯€BD的端點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，所以AD=CD，造成兩部分不等的原因是BC邊與AB、AC邊不等，故應(yīng)分類討論.【答案與解析】1解：如圖(1),設(shè)

10、AB=x,AD=CD=x.21若AB+AD=12，即x+一x=12，所以x=8,2即AB=AC=8，貝9CD=4.故BC=15-4=11.此時(shí)AB+ACBC所以三邊長為8，8，11.1如圖(2)，若AB+AD=15，即x+x=15，所以x=10.2即AB=AC=10，則CD=5.故BC=12-5=7.顯然此時(shí)三角形存在，所以三邊長為10，10，7.綜上所述此三角形的三邊長分別為8，8，11或10，10，7.【總結(jié)升華】2。把4ABC的周長分為12cm和15cm兩部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，問題中沒有交代，因此，必須進(jìn)行分類討論.【高清課堂：與三角形有關(guān)的線段例5、】舉一反三：【變

11、式】有一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引進(jìn)四個(gè)品種進(jìn)行對比試驗(yàn)，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請你制【答案】解：方案1：如圖(1),在BC上取D、E、F,使BD=ED=EF=FC，連接AE、ED、AF.方案2：如答圖(2),分別取AB、BC、CA的中點(diǎn)D、E、F,連接DE、EF、DF.方案3：如答圖，取BC中點(diǎn)D、再取AD的中點(diǎn)E,連接AD、DE、BE、CE.方案2：如答圖(4),在AB取點(diǎn)D,使DC=2BD,連接AD,再取AD的三等分點(diǎn)E、F,連接CE、CF.類型四、三角形的穩(wěn)定性種流行的衣帽架，它是用木條四長四短）構(gòu)成的幾個(gè)連續(xù)的菱形（四條邊都相等），每一個(gè)頂點(diǎn)處都有一個(gè)掛鉤（連在軸上），不

12、僅美觀，而且實(shí)用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？解：這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩(wěn)定性，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離.它的固定方法是：任選兩個(gè)不在同一木條上的頂點(diǎn)固定就行了.【總結(jié)升華】要使物體具有穩(wěn)定性，應(yīng)做成三角形，否則做成四邊形、五邊形等等.舉一反三：【變式】（2014秋仙桃校級月考）（1）下列圖中具有穩(wěn)定性（填序號）（2）對不具穩(wěn)定性的圖形，請適當(dāng)?shù)靥砑泳€段，使之具有穩(wěn)定性.【答案】解：（1）具有穩(wěn)定性的是三個(gè).2）如圖所示：與三角形有關(guān)的線段（提高）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一、選擇題TOC o 1-5 h z如果三條線段的比是：1:3:4:1:2:3:1:4:6:3:3:6:6:

13、6:10；3:4:5,其中可構(gòu)成三角形的有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)2一個(gè)三角形的周長是偶數(shù)，其中的兩條邊分別為5和9，則滿足上述條件的三角形個(gè)數(shù)為（）A2個(gè)B4個(gè)C6個(gè)D8個(gè)3如圖，如果把厶ABC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)E處，那么折痕（線段人。）是4ABC的（）A.中線B.角平分線C.高D.既是中線，又是角平分線BDC4.如圖，AC丄BC,CD丄AB,DE丄BC,則下列說法中錯(cuò)誤的是()A-在厶ABC中，AC是BC邊上的高B-在厶BCD中，DE是BC邊上的高匚在厶ABE中，DE是BE邊上的高D-在厶ACD中，AD是CD邊上的高(2015春南長區(qū)期中)有4根小木棒，長度分別為3cm

14、、5cm、7cm、9cm任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的個(gè)數(shù)為()A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)給出下列圖形：TOC o 1-5 h z其中具有穩(wěn)定性的是()A.B.C.D.如圖所示為一張方格紙，紙上有一灰色三角形，其頂點(diǎn)均位于某兩網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，若灰色三角形面積為2平方4公分，則此方格紙的面積為多少平方公分?()王師傅用4根木條釘成一個(gè)四邊形木架.如圖所示，要使這個(gè)木架不變形，他至少要再釘上幾根木條?()C.2根D.3根9.(2014春渝北區(qū)期末)對面積為1的厶ABC進(jìn)行以下操作：分別延長AB、BC、CA至點(diǎn)A1B1C1，使得AB=2AB,B1C=2BC,C1A

15、=2CA，順次連接BC1，得到A1B1C1(如圖所示),記其面積為S1.現(xiàn)再分別延長A1B1B&i、C1A1至點(diǎn)A2、B2、C2,使得A2B1=2A1B1,B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1,順次連接AB2、C2,得到A2B2C2,個(gè)三角形的兩邊長分別為5cm和12cm,第三邊與前兩邊中的一邊相等，則三角形的周長為如圖，在ABC中，D是BC邊上的任意一點(diǎn)，AH丄BC于H,圖中以AH為高的三角形的個(gè)數(shù)為確定（填“能”或“不能”）TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark51 o Current Document 1111112在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明為了求+亍+亍的值

16、（結(jié)果用n表示），設(shè)計(jì)了如圖所示的幾何圖形請你利22223242n HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 11111+=.242n13請你觀察上圖的變化過程，說明四條邊形的四條邊一定時(shí)，其面積14.如圖，是用四根木棒搭成的平行四邊形框架,AB=8cm,AD=6cm，使AB固定，轉(zhuǎn)動(dòng)AD,當(dāng)ZDAB=時(shí),三、解答題草原上有4口油井，位于四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，如圖所示，如果現(xiàn)在要建一個(gè)維修站H,試問H建在何處,才能使它到4口油井的距離之和HA+HB+HC+HD為最小，說明理由.取一張正方形紙片，把它裁成兩個(gè)等腰直角三角形，取出其中一張如圖，再沿著

17、直角邊上的中線AD按圖所示折疊，則AB與DC相交于點(diǎn)G.試問：AAGC和ABGD的面積哪個(gè)大?為什么？B17.已知AD是厶ABC的高，ZBAD=70,ZCAD=20,求ZBAC的度數(shù).ABC是什么三角形.18.(2014春西城區(qū)期末)閱讀下列材料：某同學(xué)遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在厶ABC中，AB=AC，BD是ABC的高.P是BC邊上一點(diǎn)，PM,PN分別與直線AB，AC垂直，垂足分別為點(diǎn)M，N.求證：BD=PM+PN.他發(fā)現(xiàn)，連接AP,有Saabc=Saabp+Saacp，即ACBD=*ABPM+*ACPN.由AB=AC，可得BD=PM+PN.他又畫出了當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長線上，且上面問題中其他

18、條件不變時(shí)的圖形，如圖2所示.他猜想此時(shí)BD，PM，PN之間的數(shù)量關(guān)系是：BD=PN-PM.請回答：請補(bǔ)全以下該同學(xué)證明猜想的過程；證明：連接AP.Saabc=Saapc，aCBD=*AC-專AB.AB=AC，BD=PN-PM參考該同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：在ABC中，AB=AC=BC，BD是ABC的高.P是ABC所在平面上一點(diǎn)，PM，PN，PQ分別與直線AB，AC，BC垂直，垂足分別為點(diǎn)M，N，Q如圖3,若點(diǎn)P在厶ABC的內(nèi)部，則BD，PM，PN，PQ之間的數(shù)量關(guān)系是：.若點(diǎn)P在如圖4所示的位置，利用圖4探究得出此時(shí)BD,PM,PN,PQ之間的數(shù)量關(guān)系是：.【答案與解析】一、選擇題【

19、答案】B；【解析】根據(jù)兩邊之和大于第三邊：滿足.【答案】B；【解析】5+9=14，所以第三邊長應(yīng)為偶數(shù)，大于4而小于14的偶數(shù)有4個(gè)，所以【答案】B；【解析】折疊前后的圖形完全相同.【答案】C；【解析】三角形高的定義.【答案】B；【解析】解：可搭出不同的三角形為：3cm、5cm、7cm；3cm、5cm、9cm；3cm、7cm、9cm；5cm、7cm、9cm共4個(gè)，其中3cm、5cm、9cm不能組成三角形，故選B【答案】C；【解析】均是由三角形構(gòu)成的圖形，具有穩(wěn)定性.【答案】B；213【解析】設(shè)每個(gè)小正方形的邊長為a,則有1632-4aX2aF23aX2a2-4aXa2=，解得a2=，而44整個(gè)

20、方格紙的面積為16a2=12（平方公分）.【答案】B；二、填空題【答案】361；【解析】解：連接AC,根據(jù)A1B=2AB，得到:AB：A1A=1：3,因而若過點(diǎn)B，A1作ABC與厶AA1C的AC邊上的高，則高線的比是1：3，因而面積的比是1：3,貝A1BC的面積是厶ABC的面積的2倍，設(shè)厶ABC的面積是a,貝9A1BC的面積是2a，同理可以得到A1B1C的面積是面積的2倍，是4a,貝A1B1B的面積是6a,同理B1C1C和厶A1C1A的面積都是6a,A1B1C1的面積是19a,即厶A1B1C1的面積是AABC的面積的19倍，同理A2B2C2的面積是厶A1B1C1的面積的19倍，AS2=19x1

21、9x1=361.故答案為：361【答案】29cm；【答案】6；1【答案】12n答案】解：如圖所示，設(shè)大三角形的面積為1，然后不斷地按順序作出各個(gè)三角形的中線，根據(jù)三角形的中線把它分成兩個(gè)面積相等的三角形可知，11111+表示組成面積為1的大三角形的n個(gè)小三角形的面積22223242n之和，1111因此匕一+22223242n112n【答案】不能；【解析】因?yàn)樗倪呅蔚母卟荒艽_定.【答案】90，48cm2；三、解答題【解析】解：維修站應(yīng)建在四邊形兩對角線AC、BD的交點(diǎn)H處，理由如下：取不同于H的F點(diǎn)，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊可得；FD+FBHD+HB,FC+FAHC+HA.所以：FD+FB+

22、FC+FAHD+HB+HC+HA,即HD+HB+HC+HA為最小16.【解析】解：/BD=CD.SS.ABDACDSSSS.ABDADGACASSADGBGD【解析】解：（1）當(dāng)高AD在厶ABC的內(nèi)部時(shí)（如圖）.因?yàn)閆BAD=70,ZCAD=20，所以ZBAC=ZBAD+ZCAD=70+20=90.(1)(2)當(dāng)高AD在厶ABC的外部時(shí)（如圖）.因?yàn)閆BAD=70,ZCAD=20,所以ZBAC=ZBAD-ZCAD=70-20=50.綜上可知ZBAC的度數(shù)為90或50.（2）如圖（1）,當(dāng)AD在厶ABC的內(nèi)部時(shí)，因?yàn)閆BAC=ZBAD+ZCAD=70+20=90,所以ABC是直角三角形.如圖（2

23、）,當(dāng)AD在厶ABC的外部時(shí)，因?yàn)閆BAC=ZBAD-ZCAD=70-20=50,ZABC=90-ZBAD=90-70=20,所以ZACB=180-ZABC-ZBAC=180-50-20=110.所以ABC為鈍角三角形.綜上可知，AABC是直角三角形或鈍角三角形.【解析】解：（1）證明：連接AP.SAABC=SAAPC_SAAPB，*ACBD=*ACPNABPM.AB=AC,.BD=PN-PM.(2)BD=PM+PN+PQ；如圖3,連接AP、BP、CP,SaabC=SAAPC+SAAPB+SABPCACBD=*ACPN+aBPM+bCPQ,AB=AC=BC,BD=PM+PN+PQ；BD=PM+

24、PQ-PN；如圖4,連接AP、BP、CP,SABC=SAPB+SBPC-SAAPCACBD=*ABPM+*BCPQ-ACPN,AB=AC=BC,.BD=PM+PQ-PN.與三角形有關(guān)的線段（基礎(chǔ)）知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法理解并會應(yīng)用三角形三邊間的關(guān)系；理解三角形的高、中線、角平分線及重心的概念，學(xué)會它們的畫法及簡單應(yīng)用；對三角形的穩(wěn)定性有所認(rèn)識，知道這個(gè)性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的定義及分類定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的基本元素三角形的邊：即組成三角

25、形的線段；三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).2）三角形定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.三角形的表示：三角形用符號“”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的沒有意義；AABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示.三角形的分類（1）按角分類：直角三角形三角形斜三角形銳角三角形鈍角三角形要點(diǎn)詮釋：銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形

26、.（2）按邊分類：三邊都不相等的三角形三角形等腰三角形J底邊和腰不相等晡腰三角形等邊三角形要點(diǎn)詮釋：等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點(diǎn)二、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍（3）證明線段之間的不

27、等關(guān)系.要點(diǎn)三、三角形的高、中線與角平分線1、三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高三角形的高的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ABC的高，或AD是ABC的BC邊上的高，或AD丄BC于D,或ZADB=ZADC=Z90.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的高是線段；（2）三角形有三條高，且相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂心；（3）三角形的三條高：（i）銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形內(nèi)部；（ii）鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點(diǎn)在三角形的外部;（iii）直角三角形三條高的交點(diǎn)是直角的頂點(diǎn).2、三角形的中線三角形

28、的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線三角形的中線的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ABC的中線或AD是ABC的BC邊上的中線或BD=CD=BC.要點(diǎn)詮釋：1）三角形的中線是線段；（2）三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；（3）三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心；（4）中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.3、三角形的角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ABC的角平分線，或ZBAD=ZCAD且點(diǎn)D在BC上.注意：AD是ABC的角平分線ZBAD=ZDAC=fZBAC（或ZBAC=2Z

29、BAD=2ZDAC）.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的角平分線是線段；（2）一個(gè)三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；（3）三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心；（4）可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線.要點(diǎn)四、三角形的穩(wěn)定性三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條（或兩條）木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形大橋鋼架、輸電線支

30、架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形【典型例題】類型一、三角形的定義及表示（1）圖中共有多少個(gè)三角形?并把它們寫出來；（2）線段AE是哪些三角形的邊？（3）ZB是哪些三角形的角？【思路點(diǎn)撥】在（1）問中數(shù)三角形的個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)按一定規(guī)律去找，這樣才會不重、不漏地找出所有的三角形；在（2）問中，突破口在于由三角形定義知，除了A、E再找一個(gè)第三點(diǎn)，使這點(diǎn)不在AE上，便可得

31、到以AE為邊的三角形；（3）問的突破口是ZB定是以B為一個(gè)頂點(diǎn)組成的三角形中.【答案與解析】解：(1)圖中共有6個(gè)三角形，它們是厶ABD,AABE,AABC,AADE,AADC,AAEC.線段AE分別為ABE,ADE,ACE的邊.ZB分別為ABD,ABE,ABC的角.【總結(jié)升華】在數(shù)三角形的個(gè)數(shù)時(shí)一定要按照一定的順序進(jìn)行,做到不重不漏.舉一反三：【變式】如圖，以A為頂點(diǎn)的三角形有幾個(gè)？用符號表示這些三角形.【答案】3個(gè),分別是EAB,BAC,CAD.類型二、三角形的三邊關(guān)系2.三根木條的長度如圖所示，能組成三角形的是(2cm-2cm5cm:，A2cm3cm5cm2cm2cm4cmB/2cm.3

32、cm“g，4cm【答案】D.【解析】要構(gòu)成一個(gè)三角形.必須滿足任意兩邊之和大于第三邊.在運(yùn)用時(shí)習(xí)慣于檢查較短的兩邊之和是否大于第三邊.A、B、C三個(gè)選項(xiàng)中，較短兩邊之和小于或等于第三邊.故不能組成三角形.D選項(xiàng)中，2cm+3cm4cm.故能夠組成三角形.【總結(jié)升華】判斷以三條線段為邊能否構(gòu)成三角形的簡易方法是：判斷出較長的一邊；看較短的兩邊之和是否大于較長的一邊，大于則能夠成三角形，不大于則不能夠成三角形.高清課堂：與三角形有關(guān)的線段例1】舉一反三：【變式】判斷下列三條線段能否構(gòu)成三角形.(1)3,4,5；答案(1)能；(2)3,5,9；(3)5,5,8.(2)不能；(3)能.若三角形的兩邊長

33、分別是2和7,則第三邊長c的取值范圍是.【答案】5c9【解析】三角形的兩邊長分別是2和7,則第三邊長c的取值范圍是丨2-7|c2+7,即5c吉(AB+BC+CD+DA).【答案】證明：在AOAB中OA+OBAB在OAD中有OA+ODAD,在ODC中有OD+OCCD,在OBC中有OB+OCBC,.OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OBAB+BC+CD+DA即2(AC+BD)AB+BC+CD+DA,即AC+BD*(AB+BC+CD+DA).類型三、三角形中重要線段小華在電話中問小明：“已知一個(gè)三角形三邊長分別為4,9,12,如何求這個(gè)三角形的面積?”小明提示：“可通過作最長邊上的高來求解”

34、小華根據(jù)小明的提示作出的圖形正確的是()BCD答案】C【解析】三角形的高就是從三角形的頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂線,頂點(diǎn)和垂足之間的線段解答本題首先應(yīng)找到最長邊,再找到最長邊所對的頂點(diǎn)然后過這個(gè)頂點(diǎn)作最長邊的垂線即得到三角形的高【總結(jié)升華】銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形都有三條高,并且三條高所在的直線交于一點(diǎn)這里一定要注意鈍角三角形的高中有兩條高在三角形的外部舉一反三：【變式】(2015長沙)如圖，過ABC的頂點(diǎn)A,作BC邊上的高，以下作法正確的是()答案】A如圖所示，CDABC的AB邊上的中線，ABCD的周長比厶ACD的周長大3cm,BC=8cm,求邊AC的長.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，結(jié)合

35、圖形，有下列數(shù)量關(guān)系：AD=BD,厶BCD的周長比厶ACD的周長大3.答案與解析】解：依題意：ABCD的周長比厶ACD的周長大3cm,故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)=3.又CDABC的AB邊上的中線，AD=BD，即BC-AC=3.又:BC=8,：AC=5.答：AC的長為5cm.【總結(jié)升華】運(yùn)用三角形的中線的定義得到線段AD=BD是解答本題的關(guān)鍵，另外對圖形中線段所在位置的觀察，找出它們之間的聯(lián)系,這種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解幾何題常用的方法.舉一反三：【變式】如圖所示，在ABC中，D、E分別為BC、AD的中點(diǎn)，且S4，則S為ABC陰影類型四、三角形的穩(wěn)定性如圖所示，木工師傅在做完門

36、框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木板條（即AB、CD），這樣做的數(shù)學(xué)道理是什么?【答案與解析】解：三角形的穩(wěn)定性.【總結(jié)升華】本題是三角形的穩(wěn)定性在生活中的具體應(yīng)用.實(shí)際生活中，將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形都是為了利用三角形的穩(wěn)定性.與三角形有關(guān)的線段（基礎(chǔ)）鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一、選擇題TOC o 1-5 h z一位同學(xué)用三根木棒拼成如圖所示的圖形，其中符合三角形概念的是（）.如圖所示的圖形中，三角形的個(gè)數(shù)共有（）.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)（2015春常州期中）如果三角形的兩邊長分別為4和5,第三邊的長是整數(shù)，而且是奇數(shù)，則第三邊的長可以是（）A6B7C8D94為估計(jì)池塘兩岸A、

37、B間的距離，楊陽在池塘一側(cè)選取了一點(diǎn)P,測得PA=16m,PB=12m,那么AB間的距離不可能567C.20mD.三角形的角平分線、中線和高都是（A.直線B.線段C.射線下列說法不正確的是（）.A.三角形的中線在三角形的內(nèi)部C.三角形的高在三角形的內(nèi)部如圖，AM是AABC的中線，那么若用S表示ABM的面積，用S表示ACM的面積，則S和S的大小關(guān)系是（）.28m).DBD8以上答案都不對三角形的角平分線在三角形的內(nèi)部三角形必有一高線在三角形的內(nèi)部12A.SSB.SVS1212C用窗鉤AB可將其固定，這里所運(yùn)用的幾何原理是（S!=S2D以上三種情況都有可能).如圖，一扇窗戶打開后，ABCD三角形的穩(wěn)定性兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)確定一條直線垂線段最短二、填空題9.三角形的三邊關(guān)系是并且大于_如果三角形的兩邊長分別是3cm和6cm,已知等腰三角形的兩邊分別為4cm和7cm,小于1011.12.,由這個(gè)定理我們可以得到三角形的兩邊之差如圖，AD是厶ABC的角平分線，則Z；CF是厶ABC的高，則Z第三邊,所以,三角形的一邊第三邊長是奇數(shù)，那么這個(gè)三角形的第三邊長為則這個(gè)三角形的周長為1=2/cm=z=z;BE是厶ABC的中線，則.13.如圖，AD、AE分別是ABC的高和中線，已知AD=5cm,CE=6cm,則AABE和厶ABC的面積分別為.(2015春焦作校級期中)人。是4AB