一元二次方程講義-絕對經典實用

1、初中數學:.第2頁共61頁.:初中數學:.第2頁共61頁.:一元二次方程講義絕對經典實用一元二次方程基礎知識1、一元二次方程方程中只含有一個未知數，而且未知數的最高次數是2的方程，一般地，這樣的方程都整理成為形如ax2+bx+c=0(a0)的一般形式,我們把這樣的方程叫一元二次方程。其中aX2,c分別叫做一元二次方程的二次項、一次項和常數項，a、b分別是二次項和一次項的系數。如：2x2-4x+1=0滿足一般形式ax2+bx+c=0(a主0)，2x2，一4x,1分別是二次項、一次項和常數項，2，-4分別是二次項和一次項系數。注：如果方程中含有字母系數在討論是否是一元二次方程時，則需要討論字母的取

2、值范圍。一元二次方程求根方法直接開平方法形如x2=m(m0)的方程都可以用開平方的方法寫成=而，求出它的解，這種解法稱為直接開平方法。配方法通過配方將原方程轉化為(x+n)2=m(m0)的方程，再用直接開平方法求解。配方：組成完全平方式的變形過程叫做配方。配方應注意：當二次項系數為1時，原式兩邊要加上初中數學:.第4頁共61頁初中數學:.第4頁共61頁初申數學：:第3頁共61頁:：一次項系數一半的平方，若二次項系數不為1,只需方程兩邊同時除以二次項系數，使之成為1。（3）公式法求根公式：方程ax?+bx+c=O（aO）的求根公式-bVb24ac2a(b2-4ac0)步驟：1）把方程整理為一般形

3、式：ax2+bx+c“（0）b、Co2）計算式子b4ac的值。3）當b2-4ac0時，把a、b和b2-4ac的值代入求根公式計算，就可以求出方程的解。（4）因式分解法把一元二次方程整理為一般形式后，方程一邊為零,另一邊是關于未知數的二次三項式，如果這個二次三項式可以作因式分解，就可以把這樣的一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來求解，這種解方程的方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判別式的定義運用配方法解一元二次方程過程中得到/b、2b2-4ac=右，顯然只有當心時，才能直接開平方得：b,lb2-4acXH=2。V時-也就是說，一元二次方程宀加+*0（心0）只有當系數、b、c滿足條件“b2-4

4、acn0時才有實數根這里b2-4ac叫做一元二次方程根的判別式4、判別式與根的關系在實數范圍內，一元二次方程ax2+bx+c=0（a豐0）設一元二次方程為ax2+bx+c=0（a工0），其根的判別式為：A=b2-4ac則-b；b24acx=o）有兩個不相等的實數根1,22a=-_b_2a.系數a、c確定,它的根的情況（是否有實數根）由A=b2一4ac確定.x=x0）有兩個相等的實數根120）沒有實數根.，b,c為有理數，且為完全平方式，則方程的解為有理根；為完全平方式，同時-b炒-4ac是2a的整數倍，則方程的根為整數根.A0o方程ax2+bx+c=0(a豐A=0o方程ax2+bx+c=0（a

5、豐0；有兩個相等的實數根時，A=0；沒有實數根時，A0時o拋物線開口向上o頂點為其最低點；當a0）特別地，當一元二次方程的二次項系數為1時，設x，1x是方程x2+px+q=0的兩個根，則x+x=-p，xx=q212127、韋達定理的逆定理以兩個數x，x為根的一元二次方程（二次項系數為1）是12x2一（x+x）x+xx=01212a，x1x2=a，那么x/一般地，如果有兩個數x，x滿足-亠12x必定是ax2+bx+c=0（a豐028、韋達定理與根的符號關系在4=b2-4ac三0的條件下，我們有如下結論：當c0時，方程的兩根必一正一負.若-a，貝y此方程的正根不小于負根的絕對值；若-a0，則此方程

6、的正根小于負根的絕對值當c0時，方程的兩根同正或同負若-a0，貝u此方程的兩根均為正根；貝此方程的兩根均為負根一般的結論是：X，X是（a豐0），且m為實1212，當0時，一般地：（x一m）（x一m）m9x0（x一m）+（x一m）0oxm9x121212日（x一m）（x一m）0（x一m）+（x一m）0oxm9x特殊地：2當m一0時，上述就轉化為ax2:bx+c=0（a豐0）有兩異兩正根、兩負根的條件其他有用結論2若有理系數一元二次方程有一根a+枉，則必有一根a一枉（a,b為有理數）.若ac0，方程ax2+bx+c=0（a豐0）不一定有實數根.若a+b+c=0,則ax2+bx+c=0（a豐0）必有

7、一根x=1若a一b+c=0,則ax2+bx+c=0（a豐0）必有一根x=T9、韋達定理的應用已知方程的一個根，求另一個根以及確定方程參數的值；已知方程，求關于方程的兩根的代數式的值;已知方程的兩根，求作方程;結合根的判別式，討論根的符號特征;初中數學:.第 頁共61頁.:初中數學:.第 頁共61頁.:逆用構造一元二次方程輔助解題：當已知等式具有相同的結構時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達定理；利用韋達定理求出一元二次方程中待定系數后，一定要驗證方程的A一些考試中，往往利用這一點設置陷阱10、整數根問題對于一元二次方程ax2+bx+c0（a豐0）的實根情況，可以用判別

8、式a-b2一4ac來判別，但是對于一個含參數的一元二次方程來說，要判斷它是否有整數根或有理根，那么就沒有統(tǒng)一的方法了，只能具體問題具體分析求解，當然，經常要用到一些整除性的性質.方程有整數根的條件：如果一元二次方程。2+bx+c-0（a豐0）有整數根，那么必然同時滿足以下條件:（1）a-b2-4ac為完全平方數；-b+爲24ac-2ak或-b-爍-4ac-2ak，其中k為整數以上兩個條件必須同時滿足，缺一不可.另外，如果只滿足判別式為完全平方數，則只能保證方程有有理根（其中a、b、c均為有理數）11、一元二次方程的應用求代數式的值；可化為一元二次方程的分式方程。步驟：1）去分母，化分式方程為整

9、式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）檢驗列方程解應用題步驟：審、設、列、解、驗、答板塊一一兀二次方程的定義夯實基礎例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再寫出它的二次項系數，一次項系數和常數項。2y2=y一7(2)、:2+1一2x2+x=0(3)(x+5)(x-5)=0(4)(5y+1)(2y一1)二y2-55)(m2+1)x2+n-mx=0(x是未知數)是一元二次方程，求例2已知關于x的方程（2）1x（a-2）x2-ax=x2-1的取值范圍例3若一元二次方程（2）3（15）40的常數項為（m一2）x2+3（m2+15）x+m2一4=0零，則的值為m能力提升例4關于X的方程一

10、旦一山=1是什么方程？它的各項系數分別是什么？例5已知方程240是關于的一元二次方程，求、2xa-xb-x2+4=0 xab的值.b例6若方程（m-1）x2+x=1是關于x的一元二次方程,則m的取值范圍是（Cm0且m*1Am1Bm0Dm為任何實數培優(yōu)訓練例7為何值時，關于的方程（傷歸（3）4是一元二mx（m一72）xmm一（m+3）x=4m次方程.例8已知方程2b0是關于的一元二次方程，求、2xa+b-xa-b一ab=0 xab的值.b例9關于x的方程（m+3）m2-7+（m-3）x+2=0是一元x二次方程，則m的值為解：該方程為一元二次方程，m7=2,2解得m=3；當m=-3時m+3=0，則

11、方程的二次項系數是0,不符合題意；所以m=3例10（2000蘭州）關于x的方程（m2-m-2）x2+mx+1=0是一元二次方程的條件是（）Am#1Bm*2Cm-1或m*2Dm-1且m2課后練習（m一02）xM2（m+3）x=4m是一元二次1、為何值時，關于的方程mx方程.2、已知關于的方程(2)=1是一元二次方程，求的x(a2)x2ax=x21a取值范圍初中數學:.第 頁共61頁.:初中數學:.第 頁共61頁.:初中數學:.第12頁共61頁.：3、已知關于的方程取值范圍.（x一a）2=（ax一2）2是一元二次方程，求a的a4、若310是關于的一元二次方程，求、b的值.5、若一元二次方程（m一2

12、）x2+3（m2+15）x+m2一4=0的常數項為零，則的值為m板塊二一元二次方程的解與解法夯實基礎例1、（2012鄂爾多斯）若a是方程2x-x-3=0的一個解,2則6a-3a的值為（）2A.3B.-3C.9D.-9解：若a是方程2x-x-3=0的一個根，則有22a-a-3=0,2變形得，2a-a=3,2故6a-3a=3x3=9故選C2（2011哈爾濱）若x=2是關于x的一元二次方程xrmx+8=0的一個解則m的值是（A.6B.5C.2D.-6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0,解得m=6.故選A例3用直接開平方法解下列方程3x29=0(2)(x+2)2-3=0(3)2(3x+1)2=1

13、8X2一6x+9=(5一2x)2(6)3(x-1)2=込72(3x+1)25例4先配方，再開平方解下列方程1)x2一4x-4=02y2一y一1二03)2x2=3一7x3）x2+2x-5二0例5用公式法解下列方程1)X23x+2=02)2x一1=2x23)（X+1）2=-3x(x5)(x7)=1x2-x-1=0 x(6x+1)+4x-3=2(2x+1)例6用因式分解法解下列方程2x2-3x-3=02x2-45x-450=03)-12-2邁t+2=0(4)(2-3)x2-2(.3-1)x-6=09(x-2)2-16(x+1)2=0(5)x2+3a2=4ax-2a+1能力提升例72011烏魯木齊)關

14、于x的一元二次方程a-1)xx+lal-1的一個根是則實數a的值為A2+=00，A-1B0C1D-1或1例8關于x的一元二次方程a-1xaxa()2+：0,則a值為(C)A1B0C-1例9方程x2+ax+b與有相同的根則=0與X2+cx+d=0(a爭c)a,a=1=0的一個根是D1d-b需答：V方程Qi趙司與十狂口心乎c)有相同的根S口同時茄足右程I立十si十ti=Cl和Sul十d=Dfa尹c),ft-f-act-l-b=0，/.0時，原方程化為*一X2=0,解得X=2,x=1（不合題意，舍去），12（2）當XiABCkl-Bk豐0例3已知，,為正數，若二次方程abc一一數根，那么方程b0的根

15、的情況是（a2X2+b2x+c2=0A有兩個不相等的正實數根兩個異號的實數根C有兩個不相等的負實數根一定有實數根ax2+bx+c0有兩個實=0）B有D不kM確定的大小關系是（）BA二MCAvMD不能解：把x代入方程ax+bx+c=0中得ax+bx=-c,02020V（2ax+b）=4ax+4abx+b,0220202e.（2ax+b）=4a（ax+bx）+b=-4ac+b=,0202022M=故選B例16（新思維）關于x的方程x21=a僅有兩個不同的實x1巳D00Ba4C2a4課后練習1、一元二次方程x22x一1=0的根的情況為（）A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根C.只有一個實數

16、根D.沒有實數根2、若關于z的一元二次方程x2.2x+m=0沒有實數根，貝恢數m的取值范圍是（）Dm-1Am-1Cml3、關于x的方程x2+px+q二0的兩根同為負數，則（）A且B且p0q0p0q0C且D且p0p0q04、不解方程，判斷下列各方程根的情況（1）X2+1=0（2）4X2-4X+1=02X2-7X-3=05、k為何值時，方程（-Z一2（k_7）X+2k+2二0的兩個根相等?6、k為何值時,方程x2+（”5）x+k2二0有兩個不相等的實根?初中數學:.第 頁共61頁.：初中數學:.第 頁共61頁.：初中數學:.第32頁共61頁.:7、已知。,b，判斷關于的方程2b0的根的情況，并給出

17、必要的說明8、已知關于的方程2（1）50有兩個不相等的實數2+2（m+1）x+m2+5=011一mI+m2一4m+4根，化簡：9、已知關于的方程（）210有兩個不相等的實數x（m2一m）x2一2mx+1=0根求的取值范圍；mm32a2-3a-2a2+1+34若為整數，且3，是上述方程的一個根,mm3a求代數式c.2a2+1的值.10、在等腰AABC中，ZA、ZB、ZC的對邊分別為、b、，已知3，方和是關于的方程2210的兩個實數根,求的周長.2AAB（其中,ajbc11、如果關于的方程()(b)(b)()()()0 x(x+a八x+b丿+(x+b)(x+c丿+(x+c)(x+a丿0b，均為正數

18、)有兩個相等的實數根證明：以，門bc為長的線段能夠組成一個三角形，并指出三角形的特征.12、k為何值時，方程2x2+2k2(4k+1)x沒有實根?板塊二一元二次方程的應用夯實基礎例1解方程興-弓例2一個車間加工300個零件，加工完80個以后，改進了操作方法，每天能多加工15個，一共用了6天完成了任務，求改進操作方法后每天加工的零件的個數。例3某商場運進120臺空調準備銷售，由于開展了促銷活動，每天比原計劃多售出4臺，結果提前5天完成銷售任務，原計劃每天銷售多少臺？例4甲、乙兩隊學生綠化校園，如果兩隊合作，6天可以完成，如果單獨工作，甲隊比乙隊少用5天，問兩隊單獨工作各需多少天完成？例5如圖，在

19、長為10cm，寬為8cm的矩形的四個角上截去四個全等的小正方形，使得留下的圖形（圖中陰影部分）面積是原矩形面積的80%,求所截去小正方形的邊長=1例6某汽車銷售公司2005年盈利1500萬元，到2007年盈利2160萬元，且從2005年到2007年，每年盈利的年增長率相同.該公司2006年盈利多少萬元？若該公司盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預計2008年盈利多少萬元？初中數學:.第 頁共61頁.：初中數學:.第 頁共61頁.：例7某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2:1在溫室內，沿前側內墻保留3m寬的空地，其他三側內墻各保留1m寬的通道.當矩形溫室的長與寬各為多少米時，蔬菜種植

20、區(qū)域的面積是288m2?前地離菜種植區(qū)城”*r*g”-11、B-=”嚴*|紡（託轉巧皆窗/世崩5冷護,:”r寸.10m)故舍去1當滬印寸，長方形花圃的長為狹7滬4苻臺題意；-.肛的長詢5m.蒞圃的面頼再(24-3x)x=-3(x-4)知當AB長為山，竟為1缶時，有最大面穆，為期平方米.故花圃的面想能達到48m2,此時，肛的長為加例11某博物館每周都吸引大量中外游客前來參觀，如果游客過多，對館中的珍貴文物會產生不利影響，但同時考慮到文物的修繕和保存費用問題，還要保證一定的門票收入因此，博物館釆取了漲浮門票價格的方法來控制參觀人數在該方法實施過程中發(fā)現：每周參觀人數與票價之間存在著如圖所示的一次函

21、數關系在這樣的情況下，如果確保每周4萬元的門票收入，那么每周應ASit限定參觀人數是多少？門票價值應是多少兀?第12融)(AJ7WK)6000MOOMX)34XX)SOflOKMX)解答：解；設每周譽艦人數與票價之間的一次函數關系式拘產咕+b1,B|10k+b=T000!ECIO,TOOO)(15,4500代入產險+b中俘仁心115k+b=4500fk=-50012000.-.y=-5CQK+12Q0Q根據確保每周4萬元的門票收入，得-y=oooa即*(-500+12000)=40000XMg牧十別二Cl解得葉別U2=4杷h一=如，七=4分別代X-SOOk-F12000中得y.=2000?y-

22、=10000因為控制螯觀人數，所以取滬如，7-2000普：每周應限定參觀人數是劉血人，門票怕格應是加元/人.培優(yōu)訓練二、列方程解應用題1.從一塊長為80cm,寬為60cm的鐵片中間截去一個長方形，使剩下的長方形四周的寬度一樣，并且小長方形的面積是原來鐵片面積的一半，求這個寬度？2.某車間一月份生產零件7000個，三月份生產零件8470個，該車間這兩個月生產零件平均每月增長的百分率是多少？=1例1若方程x2一4x+c=0為，c=板塊二夯實基礎初中數學:.第 頁共61頁.：初中數學:.第 頁共61頁.：例2已知方程x2+3x-5=0的兩根為叫、X,則x2+x2=12X、X12b,x+x=-xx=1

23、2a12a利用韋達定理解決問題已知m與n是方程填空：+m+n=，mn=計算i+i的值.mn么，2x2-6x+3=0的兩根。例4(2011廈門)已知關于x的方程x2_2x_2n二0有兩個不相等的實數根求n的取值范圍；若nV5,且方程的兩個實數根都是整數，求n的(1(2)值.(20H孝感)已知關于x的方程X2_2“_x+k2=o有例5兩個實數根xx12,=xx_i,求k的值.12(1)求k的取值范圍若|例6（2011十堰）請閱讀下列材料：問題：已知方程宀x亠0,求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍.解：設所求方程的根為y,則尸2x所以xy.2把x上代入已知方程，得（丄）2+2_1=0

24、222化簡，得y+2y-40故所求方程為y+2y-40這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換請用閱讀村料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：已知方程x2+X_2=0，求一個一元二次方程，使它的根分別為己知方程根的相反數，則所求方程為：。己知關于X的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不等于零的實數根，求一個一元二次方程，使它的根分別是己知方程根的倒數.例7(2011南充)關于的一元二次方程x2+2x+k+1二0的實數解是和X.X12,(1)求k的取值范圍；(2)如果x+x_xxv_1且k為整數，求k的值.1212初中數學:.第46頁共61頁.:初中數學:.第4

25、6頁共61頁.:例8(2010淄博)已知關于x的方程X2_2(k_3)x+k2-4k-1二0(1)若這個方程有實數根，求k的取值范圍；若這個方程有一個根為1,求k的值;(3)若以方程X2_2(k_3)x+k2_4k-1=0的兩個根為橫坐標、縱坐標的點恰在反比例函數ym的圖象上，求滿足條件y=一x的m的最小值.能力提升初中數學:.第47頁共61頁初中數學:.第47頁共61頁例1已知：關于x的一元二次方程kx2+(2k3)x+k3=0有兩個不相等實數根(kx)，1212若一次函數y=(3k1)x+b與反比例函數y=bx的圖像都經過點(xz，kx2),求一次函數與反比例函數的解析式(昌平)已知：關于

26、x的一元二次方程22x+2-k=0若原方程有實數根，求k的取值范圍；設原方程的兩個實數根分別為x,當k取哪些整數時，x,x均為整數；12利用圖象，估算關于k的方程例2(1)(2)+x-k一-32T0的解.1O-24初中數學:.第 頁共61頁.：初中數學:.第 頁共61頁.：例3(順義)已知：關于x的一元二次方程x2一(2m+1)x+m2+m一2=0*求證：不論稅取何值，方程總有兩個不相等的實數根；若方程的兩個實數根xx滿足上兀*m+2，求的值.12112m-1例4海淀09一模)已知:關于x的一元一次方程kx=x+2的根為正實數，二次函數y=ax2-bx+kc(cH0)的圖象與兀軸一個交點的橫坐

27、標為1.(1)若方程的根為正整數，求整數k的值；(2)求代數式akc求證：關于x的一元二次方程ax2-bx+c=0必有兩個不相等的實數根.例5知關于X的一元二次方程x2+2ax+b2=0，a0,b0若方程有實數根，試確定a,b之間的大小關系;0,有a2-b20,（a+b）（a-b）若a：b=2：3，且2，求a,b的值；解：a0,b0，:.a+b0,a-b0.ab*2分2）a=2k,b=f3k*初中數學:.第 頁共61頁.:初中數學:.第 頁共61頁.:初中數學:.第 頁共61頁.:解關于X的一元二次方程x2+4kx+3k2=0，得x=-k或-3k.由2x-x=2得k=2*12由2x一x=2得k

28、=-2（不合題125當k3k時，x=一k,x=-3k12當3kk時，x=-3k,x=-k12意，舍去)的兩根都是培優(yōu)訓練例1設關于x的二次方程(k2-6k+8)x2+(2k2-6k-4)x+k2=4整數，求滿足條件的所有實數k的值。例2、已知關于x的方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0(其中a是非負整數)至少有一個整數根，求a的值.例3、設m是不為零的整數，關于x的二次方程mx2-(m-1)x+1=0有有理根，求m的值例4、關于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一個整數解，且a是整數，求a的值例5、已知關于x的方程x2+(a-6)x+a=0的兩根都是整數

29、，求a的值例6、求所有有理數r，使得方程rx2+(r+1)x+(r-1)=0的所有根是整數例7、已知關于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0(1)求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；(2)當m為何整數時，原方程的根也是整數解：(1)證明：A=z(m+3)24(m+1)m2+6m+94m4m2+2m+5(m+1)2+4*J0,(m+1)2w(1)4(m+1)2+4無論m取何實數時，原方程總有兩個不相等的實數根2分(2)解關于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0,得m3土(m+1)2+4.初中數學:.第 頁共61頁.：初中數學:.第 頁共61頁.：3分要使原方程的

30、根是整數，必須使得(m+1)2*4是完全平方數.設(m+1)2+4a2人則(a+m+1)(am1)4*a+m+1和am1的奇偶性相同,口Ja+m+12,am12.解/trr+m+1二-2,m1二-2.a2,m1.a2,.m1.意.將m=1代入x_-m-3J(m+1)2+4，得x_2符x2,x012當m=1時,原方程的根是整例8知關若方程方程個不相等的實數根，求k的取值范圍；(2)當方程有兩個相等的實數根時，求關于y的方程2(4k)】。的整數根(a為正整數)y2+(a4k)y+a+10a解：(1)二4k24(k1)(k+3)4k24k28k+12-8k+121分I方程有兩個不相等的實數根，卩-1

31、豐0,艮卩|A0.k1主0,8k+120.的取值范圍是(2)當方程有兩個相等的實數根時=8k+12=0方程才有可能q均為整數)，q4分關于y的方程為y2+(a-6)y+a+1=0-A=(a6)24(a+1)=a212a+364a4=a216a+32數，當(a8)2-32是完全平方數時,十(其中m為整數)，32=pq(p、即(a8)2：2二32(a8+m)(a8:)二32不妨設a8+m二p,a8m二q.兩式相加，得p+q+16a二I32可或或2：!或奇*性f(冋I)(4)x(8)，:+：7或或或一(不合題意舍去)或2.y=92當17時,a=175分當14時,a=146分當2時，7分方程的兩根為y=11土7,y=方程的兩根為y=8土2,y2方程的兩根為y=4土2,y2即y=3,1例9(011西城二模)閱讀下列材料：若關于兀的一元二次方程ax2+bx+c=0G0