計算方法3函數(shù)擬合法講解課件

1、計算方法3函數(shù)擬合法講解計算方法3函數(shù)擬合法講解 3.1 最小二乘法實例：考察某種纖維的強度與其拉伸倍數(shù)的關系,下表是實際測定的24個纖維樣品的強度與相應的拉伸倍數(shù)是記錄:22022/9/10 3.1 最小二乘法實例：考察某種纖維的強度與其拉伸倍纖維強度隨拉伸倍數(shù)增加而增加并且24個點大致分布在一條直線附近-(1)2022/9/103纖維強度隨拉伸并且24個點大致分-(1)20必須找到一種度量標準來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點一、最小二乘法的基本概念一般使用在回歸分析中稱為殘差稱為平方誤差42022/9/10必須找到一種度量標準來衡量什么曲線最接近所有數(shù)據(jù)點一、最小二在回歸分析中稱為誤差平方和

2、從而確定(1)中的待定系數(shù)注意(1)式是一條直線因此將問題一般化52022/9/10按誤差平方和達到極小構造擬合函數(shù)的方法稱為最小二乘法。這一最小準則稱為最小二乘原理。在回歸分析中稱為誤差平方和從而確定(1)中的待定系數(shù)注意(1仍定義平方誤差2022/9/106仍定義平方誤差2022/9/38我們選取的度量標準是-(2)-(3)2022/9/107我們選取的度量標準是-(2)-2022/9/1082022/9/310二、法方程組由可知因此可假設因此求最小二乘解轉化為二次函數(shù)92022/9/10二、法方程組由可知因此可假設因此求最小二乘解轉化為二次函數(shù)1由多元函數(shù)取極值的必要條件得即102022

3、/9/10由多元函數(shù)取極值的必要條件得即122022/9/3-(4)即112022/9/10-(4)即132022/9/3引入記號則由內積的概念可知-(5)-(6)顯然內積滿足交換律122022/9/10引入記號則由內積的概念可知-(5)-方程組(4)便可化為-(7)將其表示成矩陣形式-(8)2022/9/1013方程組(4)便可化為-(7)將其表示成矩陣形并且其系數(shù)矩陣為對稱陣所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即根據(jù)Cramer法則,法方程組有唯一解142022/9/10并且其系數(shù)矩陣為對稱陣所以法方程組的系數(shù)矩陣非奇異,即根據(jù)C即是的最小值所以因此152022/9/10即是的最小值所以因此17

4、2022/9/3作為一種簡單的情況,基函數(shù)之間的內積為平方誤差2022/9/1016作為一種簡單的情況,基函數(shù)之間的內積為平方誤差2022/9/例1. 回到本節(jié)開始的實例，從散點圖可以看出纖維強度和拉伸倍數(shù)之間近似與線性關系故可選取線性函數(shù)為擬合函數(shù)，其基函數(shù)為建立法方程組根據(jù)內積公式，可得172022/9/10例1. 回到本節(jié)開始的實例，從散點圖可以看出纖維強度和拉伸法方程組為解得平方誤差為2022/9/1018法方程組為解得平方誤差為2022/9/320擬合曲線與散點的關系如右圖:192022/9/10擬合曲線與散點212022/9/3例2.求擬合下列數(shù)據(jù)的最小二乘解x=.24 .65 .

5、95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99y=.23 -.26 -1.10 -.45 .27 .10 -.29 .24.56 1解:因此假設擬合函數(shù)與基函數(shù)分別為202022/9/10例2.求擬合下列數(shù)據(jù)的最小二乘解x=.24 .65 .95 6.7941 -5.3475 63.2589-5.3475 5.1084 -49.008663.2589 -49.0086 1002.5 1.6163-2.382726.7728通過計算,得法方程組的系數(shù)矩陣及常數(shù)項矩陣為212022/9/106.7941 -5.3475 63.2589 1.6用Gauss列主元消去法,得

6、 -1.0410 -1.2613 0.030735擬合的平方誤差為圖象如上圖222022/9/10用Gauss列主元消去法,得 -1.0410擬合的平方誤例3.在某化學反應里,測得生成物濃度y%與時間t的數(shù)據(jù)如下，試建立y關于t的經(jīng)驗公式t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16y=4.00,6.40,8.00,8.80,9.22,9.50,9.70,9.86,10.00, 10.20,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.60解:具有圖示的圖形的曲線很多，本題提供兩種形式2022/9/1023例3.在某化學反應里,測得生成物濃

7、度y%與時間t的t=1,2兩邊取對數(shù),得得即為擬合函數(shù)基函數(shù)為解法方程組得平方誤差為2022/9/1024兩邊取對數(shù),得得即為擬合函數(shù)基函數(shù)為解法方程組得平方誤差為2用最小二乘法得即無論從圖形還是從平方誤差考慮在本例中指數(shù)函數(shù)擬合比雙曲線擬合要好平方誤差為2022/9/1025用最小二乘法得即無論從圖形還是從平方誤差考慮在本例中指數(shù)函數(shù)三、加權最小二乘法各點的重要性可能是不一樣的重度:即權重或者密度，統(tǒng)稱為權系數(shù) 定義加權平方誤差為-(9)2022/9/1026三、加權最小二乘法各點的重要性可能是不一樣的重度:即權重或者使得2022/9/1027使得2022/9/329由多元函數(shù)取極值的必要條

8、件得即2022/9/1028由多元函數(shù)取極值的必要條件得即2022/9/330引入記號定義加權內積-(10)2022/9/1029引入記號定義加權內積-(10)2022/9/331矩陣形式(法方程組)為方程組(10)式化為-(11)-(12)2022/9/1030矩陣形式(法方程組)為方程組(10)式化為-(11)平方誤差為作為特殊情形,用多項式作擬合函數(shù)的法方程組為-(13)2022/9/1031平方誤差為作為特殊情形,用多項式作擬合函數(shù)的法方程組為-四、用正交多項式作最小二乘擬合*即正交多項式如何選取呢-(14)2022/9/1032四、用正交多項式作最小二乘擬合*即正交多項式如何選取呢-

9、使得2022/9/1033使得2022/9/335由可知因此2022/9/1034由可知因此2022/9/336而因此2022/9/1035而因此2022/9/337可知最后可得正交多項式選取的方法:-(15)由2022/9/1036可知最后可得正交多項式選取的方法:-(15)由202使得由正交多項式的性質,法方程組2022/9/1037使得由正交多項式的性質,法方程組2022/9/339-(16)-(17)可化為即得即為利用正交多項式的最小二乘解2022/9/1038-(16)-(17)可化為即得即為利用正交多平方誤差為2022/9/1039平方誤差為2022/9/341例4.用最小二乘法求擬合這組數(shù)據(jù)的多項式解:從散點圖可知數(shù)據(jù)和二次多項式擬合較好因此選用二次多項式作這組數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)2022/9/1040例4.用最小二乘法求擬合這組數(shù)據(jù)的多項式解:從散點圖可知數(shù)據(jù)設擬合函數(shù)取2022/9/1041