微分方程及其變分法

1、微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各種類型的方程組建模。微分方程建模適用的領(lǐng)域比較廣，利用它可建立純數(shù)學(xué)（特別是兒何）模型,物理學(xué)（如動力學(xué)、電學(xué)、核物理學(xué)等）模型，航空航天（火箭、宇宙飛船技術(shù)）模型，考古（鑒定文物年代）模型，交通（如電路信號，特別是紅綠燈亮的時間）模型，生態(tài)（人口、種群數(shù)量）模型，環(huán)境（污染）模型，資源利用（人力資源、水資源、礦藏資源、運輸調(diào)度、工業(yè)生產(chǎn)管理）模型，生物（遺傳問題、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問題、動植物循環(huán)系統(tǒng)）模型，醫(yī)學(xué)（流行病、傳染病問題）模型，經(jīng)濟（商業(yè)銷售、財富分布、資本主義經(jīng)濟周期性危機）模型，戰(zhàn)爭（正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)）模型等。其中的連續(xù)模

2、型適用丁常微分方程和偏微分方程及其方程組建模，離散模型適用于差分方程及其方程組建模種群模型Malthus模型模型假設(shè)：人口增長率不變。模型建立：設(shè)時刻/的人口為N（/）,把N當(dāng)作連續(xù)、可微函數(shù)處理（因人口總數(shù)很大，可近似地這樣處理，此乃離散變量連續(xù)化處理）。在/到f+1時間段內(nèi)，人口的增長量為人口的增長率為N(/)N(/)并設(shè)時刻的人口為N”于是用分離變量法易求出其解為Logsitic模型假設(shè)增長率等于rfl-L即凈增長率隨著N(f)的增加而減小,I他”丿當(dāng)Wt心時,凈增長率趨于零,按此假定建立模型：dN(N、dfInJ其解為：N(/)=注意Logsitic曲線的性態(tài)差分形式的Logsitic

3、模型在Logsitic模型中，學(xué)以差分形式y(tǒng)k+l-yk代替,at/、兒七一兒=咲1一乎也可寫成/、=(廣+1)兒1一乎kV川丿帶年齡結(jié)構(gòu)的Leslie模型上面考慮的是人口群體變化的規(guī)律問題，該模型沒有考慮種群的年齡結(jié)構(gòu)，種群的數(shù)量主要由總量的固有增長率決定。但不同年齡的人的繁殖率和死亡率有著明顯的不同。將人口按年齡劃分成n個年齡組，即1,2,:n組?，F(xiàn)將時間也離散為時段人R=1,2,3,，并且R的間隔與年齡區(qū)間大小相等。記時段k第i年齡組的種群雌性數(shù)量為?；?，第i年齡組(雌性)的繁殖率為Q(雌性)，死亡率為,存活率為5;.=1-,并假設(shè)也，d,不隨時段變化。時段R+1第1年齡組的雌性種群數(shù)

4、量為&伙+1)=毗伙)+b2x2()+bnxn(k)時段R+1第i+1年齡組的雌性種群數(shù)量為兀*伙+1)=s“i(k)(i=)記R時段雌性種群各年齡組的分布向量為X(k)=b、化t000厶=0屯000-1丿則我們可以建立人口增長的差分方程模型為X(k+)=LX(k),k=此處L為已知矩陣。當(dāng)時段各年齡組的人數(shù)已知時，即X(0)已知時,可以求得R時段的按年齡組的分布向量X伙)為X(k)=l!X,k=,2,3,、n由此可以算出各時段的種群總量O5帶年齡結(jié)構(gòu)的人口發(fā)展方程下面介紹考慮人口年齡的連續(xù)模型。設(shè)x表示年齡(假設(shè)最小年齡單位為1年)，表示時間(假設(shè)最小時間單位為1年)，F(xiàn)CM)表示f時刻年齡

5、小于x的人口總數(shù)(稱為人口分布函數(shù))，記匚為人類壽命的上限，川為f時的總?cè)丝跀?shù)，顯然F(x,/)是非負(fù)的，關(guān)于x不減的函數(shù)，且F(O,f)=O,FD=N(t)M寸刻在A-,A+1年齡段的人口數(shù)為F(x+1,0-F(x,t)dx卩(山)=空巴定義為人口密度函數(shù)。(幾)*(0,0表示川寸刻1年內(nèi)出dx生的人口數(shù)，稱為出生率)記川寸刻年齡X的人的死亡率為“W),則川寸刻P+1年齡段的人在1年內(nèi)死亡人數(shù)為“(兀,(兀,/)而川寸刻在S+1年齡段的人口數(shù)PW)經(jīng)過1年后，存活下來的人數(shù)成為/+1時刻在X+1J+2年齡段的人口數(shù)P(x+1,/+1),顯然p(A+l,/+l)-p(X,/)=-/z(x,/)

6、p(x,r)注意到(X+1J+1)p(xj)=(x+lj+l)p(x,t+l)+(兀/+1)p(x.t)QP(x,f)0P(x,f)dxdt于是得到一階微分方程警！2+呼如)叫)dxdt另外，給出初始條件和邊界條件，記最近一次人口普查的時間為r=o,從而P（xfi）=P0（x）為已知，則可得到如下的連續(xù)人口發(fā)展的偏微分方程模型dP（x,t）dP（x,t）,、+=,/）P（XdxdtP（x,O）=/；（x）,P（O,O=/（O由偏微分方程理論，我們可以求出人口密度函數(shù)P（X,/）o注意此模型未區(qū)分性別生態(tài)數(shù)學(xué)模型相互競爭込心血弋単）皿）mnJ皿八（1一込4）人八血-nJ相互依存X(f)人(f)V

7、oltera模型學(xué)=(/)x(f)凹_d+加Ixo込心衛(wèi)乜）皿）MM辺+（亠辺+4）&八心-nJ傳染病模型SIR模型S,I,R分別代表三類人群在總?cè)藬?shù)中所占比例，S+I+R=l-=AS1-j.ildts/dt藥代動力學(xué)模型擴散方程研究氣體的擴散，液體的滲透，半導(dǎo)體材料中的雜質(zhì)擴散等問題所滿足的微分方程。在考慮擴散問題時，需用到相應(yīng)的擴散定律和質(zhì)量守恒定律。擴散定律擴散物質(zhì)在單位時間內(nèi)沿法線方向7流過單位面積的I山面的質(zhì)量與物質(zhì)濃度C(x,y,z,t)沿法線方向的方向?qū)?shù)空成正比。dn由擴散定律，擴散物質(zhì)在時段力內(nèi)沿法線方向7流過面積為dS的曲面的質(zhì)量為為:dm=z)-dSdtdii其中D(x,

8、y,Z)為擴散系數(shù)，出現(xiàn)負(fù)號是由于物質(zhì)總是由濃度高的一側(cè)向濃度低的-側(cè)滲透。任取一哇寸閉曲面F,它所圍區(qū)域記為O,則從時刻人到時刻心進入此閉曲面的物質(zhì)質(zhì)量為由高斯公式常dS=JJJ?（D字）+：（D字）+（甞）MU,rdu%oxoxdydydzdzZC、C、C、川八/rqgQ詔揺q評w（d石）心同時，物質(zhì)滲透到區(qū)域。內(nèi)，使得內(nèi)部的濃度發(fā)生變化，在時間間隔/內(nèi)，濃度由C（x,y,z,fJ變化為C（x,y曲2），增加的物質(zhì)質(zhì)量為jJ（C（x,y,z-eg,Z,fJ）dv=JjJ（f眷d/）du=J：（M孚dv）dfCiQ101JQ01由質(zhì)量守恒即有敘卩評翕獲卽g班觴嘶于是得到擴散方程空/（D空）+

9、2q空）+2q均dtdxdxdydydzdz若擴散系數(shù)為常數(shù)，則擴散方程為IE%otdrdyor1990年美國數(shù)模競賽的A題要求研究藥物在腦中的分布情況，題目如下,腦病研究中需要測試新藥的療效，例如治療帕金森癥的多巴胺的腦部生射療效為精確估計藥物影響的腦部范圍，人們必須估計注射后藥物空間分布的形狀和大小試驗數(shù)據(jù)包括50個圓柱形組織樣本中每個風(fēng)柱的藥物含量的測量值（見圖4,17和表4.5）.每個圓柱高0.76mm,直徑為0.66mm.這些平行圓柱的中心位于LmmX076mmXlmm的格子點上因此各圓柱的底面彼此相連，而側(cè)面互不揍觸,注射點位于藥劑量杲大的圓柱中心附近當(dāng)然，在圓柱體組織之間及樣本范

10、圍之外的地方也有藥物試估計藥物在影響世圍內(nèi)的分布.試驗數(shù)據(jù)用計數(shù)單位表示（！單位含4？35X107克分子藥量人例如，表45中的28353表示后排中央那個圓柱體組織含有28353個計數(shù)單位藥量頂圖417表5后方垂宜疵面:j:帀方垂直哉面-一TOC o 1-5 h z1644421320414188L633244222431664070221441151583527124OS5609?104$2只2309123027283531313868121371553i197424785330789212602092111731727；4441143114&603182301213131)337651715

11、45329420611036258188為了建立起本問題的數(shù)學(xué)模型我們將問甄作如下的假設(shè)相簡化.注射前大腦中的多巴胺含量忽略不計.大腦中注入多巳胺后爭巴胺在腦中約分布是由多巴胺在腦中的擴散和衰減而決定多巴胺在*軸三個方向的擴散系數(shù)分別為常歡擴散過程遵從Nernst實驗定律.即在單位時閭內(nèi)流過一曲面的藥物與藥物濃廈沿曲面的法向?qū)?shù)威正比衰減過程中藥物的減少與濃度成正比.注肘點在后排圓柱的中心，注射瞬時完成，注射藥物的濃度可視為點涼$甌數(shù)函數(shù)的定艾和洗質(zhì)見后面的附錄）.取碎是弊時完成的取樣時間巳知為/=h取樣區(qū)黴不在腦的邊界附近兇取樣區(qū)域只占大痂的一小部分，故可不考慮犬腦邊界的彫響今程時刻“直（工qQ處的多巴般誡度為考慮在時間段S內(nèi).一區(qū)域D內(nèi)芬巴胺教量的變化.D內(nèi)藥物濃度的蠻化引起藥物的增加為=廠能応從/至】+山由于藥物的擴散從Q的邊界血流入。的藥物鳳為|誥8+階cos/?+4?ces7）dsd/r(453)其中d,護卍分別為藥物沿公Q#方向的擴散乘數(shù),cosa,co叩心訂）為曲面加的單位:外法向量由高斯公式得，購+J7（k話+嗚誥曲心.由于衰減（例