SSP第3章倒格子布里淵

1、1第三章 倒格子與布里淵區(qū)2 目 錄3.1 引入倒格子的意義3.2倒格子的定義3.3倒格子的性質(zhì)3.4布里淵區(qū)3.5晶體的 X 射線衍射33.1 引入倒格子的物理意義描述固體的周期性結(jié)構(gòu)中的微觀粒子的物理行為可以利用二種類型的格子。一種是正格子，即，布拉菲格子，是周期性結(jié)構(gòu)在坐標空間的描述；另一種是倒格子，它是周期性結(jié)構(gòu)在波矢空間(k空間)的描述。由坐標空間變換到波矢空間更有利于表達周期性結(jié)構(gòu)中微粒的物理行為的特征。在本課程后續(xù)內(nèi)容中有很多例子，如：晶體X射線衍射，晶體原子振動，晶體中電子能量。初學倒格子概念比較抽象和困難，但倒格子概念是深入學習固體物理學的不能缺少的必要工具。4設，布拉菲格子

2、基矢為 a1,a2,a3， 將由矢量 決定的格子，稱為正格子， 將滿足下述關系： 的 b1, b2, b3 ，定義為倒格子基矢， 將由 決定的格子，稱為Rl的倒格子。3.2 倒格子的定義3.2.1 倒格子定義之一5根據(jù)以上定義，每個倒格子基矢必與兩個正格子基矢正交， 顯然，倒格子基矢，也即倒格矢的量綱是 長度-1，與波矢的量綱一致。3.2 倒格子的定義3.2.2 倒格子定義之二如：？應有：由此，可以直接定義倒格子基矢為：且有：6采用波函數(shù)定義倒格子設有以 a1,a2,a3為基矢的布拉菲格子 并有平面波 。定義，具有給定布拉菲格子周期性的那些平面波，其波矢 Kh 所代表點的集合稱為 Rl 的倒格

3、子。其數(shù)學表達為 ，如有對于任何 r 和 Rl 成立，那么 Kh 決定的格子就是布拉菲格子 Rl 的倒格子。3.2 倒格子的定義3.2.3 倒格子定義之三7其中 b1,b2,b3 由 確定，則以上條件成立。驗證：可以驗證，當波矢Kh取為倒格子定義之三驗證由以上定義，要求 Kh滿足，3.2 倒格子的定義這是因為，83.3 倒格子的性質(zhì)3.3.1 倒格子原胞體積 *與正格子原胞體積 的關系可以證明，分解，93.3.2 倒格子的倒格子是原布拉菲格子按倒格子基矢定義構(gòu)造基矢 c1, c2, c3，可以證明 ci = ai，i = 1,2,3。Rl，Kh所代表點的集合都是布拉菲格子，且互為正倒格子。事實

4、上在 中 Rl，Kh地位全同。3.3 倒格子的性質(zhì)103.3.3 晶體中物理量的傅里葉變換關系設，晶體任一 r 處有物理量 (r)， 由晶格的周期性，應有 (r) = (r+Rl)，Rl為任意正格矢， 周期性函數(shù)可作傅里葉級數(shù)展開如下：即：物理量在正格子中表示和在倒格子中表示滿足傅氏變換關系； 正空間周期性物理量的傅氏空間就是其倒空間； 正格子和倒格子互為傅氏變換。F (Kh)是物理量 (r) 在傅氏空間的表示形式3.3 倒格子的性質(zhì)110a1a3a23.3.4 倒格矢 與正格子中晶面系(h1h2h3) 正交因為已知，晶面系 (h1h2h3) 中最靠近原點的晶面 ABC 在基矢a1, a2,

5、a3上的截距分別為 a1/h1, a2/h2, a3/h3，如下圖，Gh1h2h3 為晶面 ABC 的法線，a2/h2a1/h1a3/h3CBAGh1h2h33.3 倒格子的性質(zhì)123.3.5 倒格矢 的長度是晶面系(h1h2h3) 面間距的 2 倍0a1a3a2CBAa1/h1a3/h3a2/h2Gh1h2h33.3 倒格子的性質(zhì)133.4 布里淵區(qū)3.4.1 布里淵區(qū)定義 定義：在倒格子中，以某一格點為坐標原點，作所有倒格矢的垂直平分面，倒格子空間被這些平面分成許多包圍原點的多面體區(qū)域，這些區(qū)域稱為布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)：最靠近原點的平面所圍的區(qū)域。第二布里淵區(qū)：第一布里淵區(qū)界面與次遠垂直

6、平分面所圍的區(qū)域。第三布里淵區(qū)示意。第 n 個布里淵區(qū)是從原點出發(fā)，跨過 (n-1) 個垂直平分面達到的所有點的集合。143.4.2 布里淵區(qū)界面方程令，Kh為倒格矢，如下圖， A為Kh的垂直平分面 k為倒空間的矢量則，A上所有點都應滿足k0Khk證明：由圖可見，3.4 布里淵區(qū)A154、布里淵區(qū)的形狀完全由晶體布拉菲格子決定(倒格矢由正格矢定義)，所以不管晶體的基元代表什么，只要布拉菲格子相同，布里淵區(qū)形狀就相同。5、簡約布里淵區(qū)-第一布里淵區(qū)3.4.3 布里淵區(qū)性質(zhì)1、各布里淵區(qū)的形狀都關于原點對稱。2、各布里淵區(qū)都可通過平移倒格矢到達第一布里淵區(qū)，且與之完全重合。3、每個布里淵區(qū)的體積都

7、相等，且等于倒格子原胞體積。3.4 布里淵區(qū)G163.4.4 面心立方(FCC)的第一布里淵區(qū)可見 FCC倒格子是一個邊長為4/a的BCC格子。倒格子原點最近鄰有八個格點。所以FCC晶格第一布里淵區(qū)是一個截頂十四面體。3.4 布里淵區(qū)173.4.5 體心立方(BCC)的第一布里淵區(qū)可見 BCC 倒格子是一個邊長為4/a的FCC格子。倒格子原點最近鄰有十二個格點。所以BCC晶格第一布里淵區(qū)是一個正十二面體。3.4 布里淵區(qū)183.5 晶體的X射線衍射引言X射線衍射是研究晶體結(jié)構(gòu)的最重要的手段之一。本小節(jié)討論X射線衍射，主要是作為倒格子的應用，特別是布里淵區(qū)的應用的例子。我們將證明，布里淵區(qū)邊界是

8、滿足晶體衍射極大條件的點的集合。以后我們還會看到，布里淵區(qū)邊界的意義，如：在周期場中傳播的波，除了X射線波以外，還有晶體中電子波、晶格振動波等，都在布里淵區(qū)邊界上發(fā)生相長干涉。193.5.1 布拉格 (Bragg) 定律布拉格首先 (1933年) 給出了晶體產(chǎn)生X射線衍射的極大條件。他認為： (a) 視晶體的原子平面，晶面為鏡面， (b) X射線被平行的原子面 (晶面) 做鏡面反射， (c) 間距為 d 的一系列平行晶面產(chǎn)生的X射線發(fā)生相長干涉，晶面間距 d反射角 入射角 入射波波長 3.5 晶體的X射線衍射20入射角 入射波波長 反射角 d sind sin由圖可以得到，反射線和入射線的光程

9、差為 2dsin， 根據(jù)光學衍射理論，發(fā)生相長干涉的條件為 2dsin = n， n為整數(shù) 上式即為晶體衍射的布拉格定律。布拉格將面間距為 d 的平行晶面運用為 間隔為 d 的光柵，成功解釋了晶體的 x 射線衍射現(xiàn)象。3.5 晶體的X射線衍射3.5.1 布拉格(Bragg)定律21布拉格定律只是晶體結(jié)構(gòu)的周期性特征的結(jié)果，不涉及不反映基元中所包含的具體內(nèi)容。 即，布拉菲格子相同，布拉格衍射結(jié)果相同。布拉格衍射與晶面間距 d 和 有關，常見晶體 d 在納米(nm)量級。因 sin 1，故只當 2d nm 時，才能發(fā)生晶體布拉格衍射。 X 射線波長，如：CuK = 0.154 nm，因此，適合晶體

10、衍射。 可見光波長在 390-770 nm，因此。不可能在晶體中發(fā)生衍射。入射角 入射波波長 反射角 布拉格定律2dsin = nn為整數(shù)3.5 晶體的X射線衍射3.5.1 布拉格(Bragg)定律223.5.2 勞厄(Laue)方程勞厄認為晶體 X 射線衍射是晶體中具有平移周期性的格點上，各原胞中對應原子對 X 射線彈性散射的相長干涉結(jié)果。k = 2/n入射波矢 和波長 kk = 2/n散射波矢 和波長 k相距為 d 的二個原胞中的對應原子d3.5 晶體的X射線衍射注意，這二個原子是晶體中任意二個具有晶格平移周期性的格點上的二個原胞中的對應原子。n 入射波矢單位矢量n 散射波矢單位矢量23計

11、算在相距 d 的二個等價原子(散射體)上，其入射波和散射波的光程差。等價原子距離矢量 d 3.5 晶體的X射線衍射3.5.2 勞厄(Laue)方程由圖可得入射波和散射波光程差為，k = 2/n，入射波矢和波長k = 2/n，散射波矢和波長nn24因為彈性散射，所以 = 。由此得到，光程差滿足相長干涉，產(chǎn)生衍射極大的條件：3.5 晶體的X射線衍射3.5.2 勞厄(Laue)方程k = 2/n，散射波矢和波長k = 2/n，入射波矢和波長等價原子距離矢量 d nn25k = 2/nk = 2/n對于三維晶體，任何格點中的對應原子的相對距離都可用晶格平移周期矢量 Rl 來表示。所以相長干涉衍射極大條

12、件的一般表達式應為：對于所有布拉菲格矢 Rl 都成立，因此，k - k 必為 Rl 的倒格矢 Kh。X射線波矢的改變等于倒格矢，則相長干涉，出現(xiàn)衍射極大。3.5 晶體的X射線衍射3.5.2 勞厄(Laue)方程d Rl由此，得出晶體 X 射線衍射極大的勞厄方程263.5.3 勞厄方程和布里淵區(qū)邊界方程根據(jù)勞厄方程即，布里淵區(qū)邊界方程。其物理意義：當入射波波矢 k 落在晶體布里淵區(qū)邊界上時，產(chǎn)生相長干涉。3.5 晶體的X射線衍射27由勞厄方程 作矢量關系圖。根據(jù)倒格矢與晶面的關系，已知：P3.5.4 勞厄方程和布拉格定律的一致性kk-kKh(2) 當 Kh 方向最短倒格矢的長度記作 Kh0，應有

13、 Kh0=2/d， 因為 Kh = nKh0，所以應有，3.5 晶體的X射線衍射倒格矢 Kh 代表了一個晶面系的法向， 即，圖中垂直于 Kh 的平面P，令其晶面間距為 d。28結(jié)論：X射線波矢改變?yōu)榈垢袷?Kh 的勞厄衍射極大條件，完全等價于垂直于倒格矢 Kh 的正格子晶面的布拉格反射衍射極大條件。布拉格定律是晶體衍射極大條件在正空間的描述。勞厄方程是晶體衍射極大條件在倒空間的描述。3.5 晶體的X射線衍射3.5.4 勞厄方程和布拉格定律的一致性293.5.5 厄瓦爾構(gòu)圖晶體衍射勞厄方程的反射球表示。取一倒格點為原點，以原點為矢端作 k0 (入射波波矢)，以 k0未端為球心，k0為半徑作球面。

14、Ok1k2k3k0kGk0=2 /因為 k = k0 = 2/，所以，從球面上任何倒格點向球心作矢量 k 都滿足勞厄方程 k0 k = G因此，落在反射球面上的倒格點到球心的矢量，均為在給定入射波 k0下，晶體產(chǎn)生衍射極大的方向。3.5 晶體的X射線衍射303.5.6 X射線衍射實驗方法通常由于晶體倒格點離散分布，對于給定 k0 (給定入射方向和入射波長)，在所作反射球面上很少有倒格點存在。因此，晶體產(chǎn)生衍射極大的可能也很少。(1) 勞厄法單晶試樣，固定不動-倒格子確定不變。連續(xù)波長X射線-反射球半徑連續(xù)改變。二個球面之間所有的倒格點都滿足勞厄方向，產(chǎn)生衍射極大。Ok1k2k3kmaxG2 /min2 /maxkmin3.5 晶體的X射線衍射31(2) 轉(zhuǎn)晶法單色X射線-反射