北師大版數(shù)學(xué)(中考總復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計算-知識點整理及重點題型梳理)（基礎(chǔ)）

1、北師大版數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習(xí)中考總復(fù)習(xí)：正多邊形與圓的有關(guān)的證明和計算知識講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會計算弧長及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積；2結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進一步培養(yǎng)合情推理能力，發(fā)展邏輯思維能力和推理論證的表達能力；通過這一章的學(xué)習(xí)，進一步培養(yǎng)綜合運用知識的能力，運用學(xué)過的知識解決問題的能力.【知識網(wǎng)絡(luò)】 【考點梳理】考點一、正多邊形和圓1、正多邊形的有關(guān)概念：(1) 正多邊形：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.(2)正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心.(3)正多邊形的

2、半徑正多邊形的外接圓的半徑.(4)正多邊形的邊心距正多邊形中心到正多邊形各邊的距離.（正多邊形內(nèi)切圓的半徑）(5)正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角.2、正多邊形與圓的關(guān)系：(1)將一個圓n(n3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形.(2)這個圓是這個正多邊形的外接圓. （3）把圓分成n(n3)等分，經(jīng)過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外切正n邊形.這個圓叫做正n邊形的內(nèi)切圓.（4）任何正n邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.3、正多邊形性質(zhì)：(1)任何正多邊形都有一個外接圓.(2) 正多邊形都是軸

3、對稱圖形，一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心當邊數(shù)是偶數(shù)時，它又是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似.它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方（4）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓.要點詮釋：（1）正n邊形的有n個相等的外角，而正n邊形的外角和為360度，所以正n邊形每個外角的度數(shù)是；所以正n邊形的中心角等于它的外角.（2）邊數(shù)相同的正多邊形相似.周長的比等于它們邊長（或半徑、邊心距）的比.面積比等于它們邊長（或半徑、邊心距）平方的比.考點二、圓中有關(guān)計算1圓中有關(guān)計算圓的面積公式：，

4、周長.圓心角為、半徑為R的弧長.圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.要點詮釋：(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1的扇形面積是圓面積的，即；(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；(

5、4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.【典型例題】類型一、正多邊形有關(guān)計算1（2015鎮(zhèn)江）圖是我們常見的地磚上的圖案，其中包含了一種特殊的平面圖形正八邊形（1）如圖，AE是O的直徑，用直尺和圓規(guī)作O的內(nèi)接正八邊形ABCDEFGH（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的前提下，連接OD，已知OA=5，若扇形OAD（AOD180）是一個圓錐的側(cè)面，則這個圓錐底面圓的半徑等于 【思路點撥】（1）作AE的垂直平分線交O于C，G，作AOG，EOG的角平分線，分別交O于H，F(xiàn)，反向延長 FO，HO，分別交O于D，B順次連接A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，八邊形ABCDEFGH即為所求；（2）由八邊形AB

6、CDEFGH是正八邊形，求得AOD=3=135得到的長=，設(shè)這個圓錐底面圓的半徑為R，根據(jù)圓的周長的公式即可求得結(jié)論【答案與解析】（1）如圖所示，八邊形ABCDEFGH即為所求，（2）八邊形ABCDEFGH是正八邊形，AOD=3=135，OA=5，的長=，設(shè)這個圓錐底面圓的半徑為R，2R=，R=，即這個圓錐底面圓的半徑為故答案為：【總結(jié)升華】本題考查了尺規(guī)作圖，圓內(nèi)接八邊形的性質(zhì)，弧長的計算，圓的周長公式的應(yīng)用，會求八邊形的內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】如圖是三根外徑均為1米的圓形鋼管堆積圖和主視圖，則其最高點與地面的距離是_米【答案】. 解析：如圖，以三個圓心為頂點等邊三角形O1

7、O2O3的高O1C，所以ABAO1+O1C+BC【變式2】同一個圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊長的比是_.【答案】【變式3】（2015廣西自主招生）一張圓心角為45的扇形紙板和圓形紙板按如圖方式剪得一個正方形，邊長都為2，則扇形紙板和圓形紙板的面積比是（）A5：4 B5：2 C：2D：【答案】A.【解析】解：如圖1，連接OD，四邊形ABCD是正方形，DCB=ABO=90，AB=BC=CD=2，AOB=45，OB=AB=2，由勾股定理得：OD=2，扇形的面積是=；如圖2，連接MB、MC，四邊形ABCD是M的內(nèi)接四邊形，四邊形ABCD是正方形，BMC=90，MB=MC，MCB=MBC=45

8、，BC=2，MC=MB=，M的面積是（）2=2，扇形和圓形紙板的面積比是（2）=故選：A類型二、正多邊形與圓有關(guān)面積的計算2(1)如圖(a)，扇形OAB的圓心角為90，分別以O(shè)A，OB為直徑在扇形內(nèi)作半圓，P和Q分別表示陰影部分的面積，那么P和Q的大小關(guān)系是( )APQ BPQ CPQ D無法確定 (2)如圖(b)，ABC為等腰直角三角形，AC3，以BC為直徑的半圓與斜邊AB交于點D，則圖中陰影部分的面積是_(3)如圖(c)，AOB中，OA3cm，OB1cm，將AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90到AOB，求AB掃過的區(qū)域(圖中陰影部分)的面積(結(jié)果保留)【思路點撥】 直接使用公式計算陰影部分面積比較困

9、難時，可采用和差法、轉(zhuǎn)化法、方程法等，有時也需要運用變換的觀點來解決問題【答案與解析】解：(1)陰影部分的面積直接求出十分困難，可利用幾個圖形面積的和差進行計算： ； (2)(轉(zhuǎn)化法“湊整”)利用，則陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為ACD的面積，等于ABC面積的一半，答案為；(3)(旋轉(zhuǎn)法)將圖形ABM繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)到ABM位置，則【總結(jié)升華】求陰影面積的幾種常用方 (1)公式法；(2)割補法；（3）旋轉(zhuǎn)法；(4)拼湊法；(5)等積變形法；(6)構(gòu)造方程法舉一反三：【變式】如圖，在ABC中，ABAC，AB8，BC12，分別以AB、AC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積是( )A B C D【答案】 解

10、：如圖，由AB，AC為直徑可得ADBC，則BDDC6在RtABD中， 答案選D.3如圖所示，A是半徑為2的O外一點，OA4，AB是O的切線，B為切點，弦BCOA，連AC，求陰影部分的面積【思路點撥】圖中的陰影是不規(guī)則圖形，不易直接求出，如果連接OB、OC，由BCOA，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，于是所求陰影可化為扇形OBC去求解【答案與解析】 解：如圖所示，連OB、OC BCOA OBC和ABC同底等高， SABCSOBC， AB為O的切線， OBAB OA4，OB2， AOB60 BCOA， AOBOBC60 OBOC， OBC為正三角形 COB60， 【總結(jié)升華】通過等積替換化不規(guī)則圖形

11、為規(guī)則圖形，在等積轉(zhuǎn)化中可根據(jù)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱等圖形變換；可根據(jù)同底（等底）同高（等高）的三角形面積相等進行轉(zhuǎn)化舉一反三：【變式】如圖所示，半圓的直徑AB10，P為AB上一點，點C，D為半圓的三等分點，則陰影部分的面積等于_ 【答案】解：連接OC、OD、CD C、D為半圓的三等分點， AOCCODDOB 又 OCOD， OCDODC60， DCAB， ， 4（2015秋江都市期中）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以AB為直徑的半圓與對角線AC交于點E（1）求弧BE所對的圓心角的度數(shù)（2）求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）【思路點撥】（1）連接OE，由條件可求得EAB=45，利用圓周角定理可

12、知弧BE所對的圓心角EOB=2EAB=90；（2）利用條件可求得扇形AOE的面積，進一步求得弓形的面積，利用RtADC的面積減去弓的面積可求得陰影部分的面積【答案與解析】解：（1）連接OE，四邊形ABCD為正方形，EAB=45，EOB=2EAB=90；（2）由（1）EOB=90，且AB=4，則OA=2，S扇形AOE=，SAOE=OA2=2，S弓形=S扇形AOESAOE=2，又SACD=ADCD=44=8，S陰影=8（2）=10【總結(jié)升華】本題主要考查扇形面積的計算和正方形的性質(zhì)，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵，注意弓形面積的計算方法5將一塊三角板和半圓形量角器按圖中方式疊放，重疊部分（陰影）的

13、量角器圓弧（）對應(yīng)的中心角（AOB）為120，AO的長為4cm，求圖中陰影部分的面積.【思路點撥】 看是否由“規(guī)則的”三角形、四邊形、圓、扇形、弓形等可求面積的圖形，經(jīng)過怎樣的拼湊、割補、疊合而成，這是解決這類題的關(guān)鍵【答案與解析】陰影部分的面積可看成是由一個扇形AOB和一個RtBOC組成，其中扇形AOB的中心角是，AO的長為4，RtBOC中，OBOA4，BOC60， 可求得BC長和OC長，從而可求得面積，陰影部分面積扇形AOB面積+BOC面積【總結(jié)升華】本題是求簡單組合圖形的面積問題，解答時，常常是尋找這些“不規(guī)則的圖形”是由哪些“可求面積的、規(guī)則的圖形”組合而成. 舉一反三：【變式】如圖，

14、矩形ABCD中，AB1，以AD的長為半徑的A交BC于點E，則圖中陰影部分的面積為_【答案】. 解析：連接AE，易證ABBE1，BAE45，所以EAD45，所以 6如圖，AB是O的直徑，點P是AB延長線上一點，PC切O于點C，連接AC，過點O作AC的垂線交AC于點D，交O于點E已知AB8，P=30（1）求線段PC的長；（2）求陰影部分的面積【思路點撥】（1）連接OC，由PC為圓O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC與PC垂直，可得三角形OCP為直角三角形，同時由直徑AB的長求出半徑OC的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義得到tanP為P的對邊OC與鄰邊PC的比值，根據(jù)P的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出tanP

15、的值，由tanP及OC的值，可得出PC的長； （2）由直角三角形中P的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余求出AOC的度數(shù)，進而得出BOC的度數(shù)，由OD與BC垂直，且OC=OB，利用等腰三角形的三線合一得到OD為BOC的平分線，可求出COD度數(shù)為60，再根據(jù)直角三角形中兩銳角互余求出OCD度數(shù)為30，根據(jù)30角所對的直角邊等于斜邊的一半，由斜邊OC的長求出OD的長，先由COD的度數(shù)及半徑OC的長，利用扇形的面積公式求出扇形COE的面積，再由OD與CD的長，利用直角三角形兩直角邊乘積的一半求出直角三角形COD的面積，用扇形COE的面積減去三角形COD的面積，即可求出陰影部分的面積【答案與解析】解：（1）連接OC，PC切O于點C，OCPC，AB=8，OC=AB=4，又在直角三角形OCP中，P=30，tanP=tan30=，即PC=4；（2）OCP=90，P=30，COP=60