理科數(shù)學(xué)2010-2019高考真題分類訓(xùn)練專題十一 概率與統(tǒng)計(jì) 第三十五講離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差

1、專題十一概率與統(tǒng)計(jì)第三十五講離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差2019年2(2019天津理16)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為3.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.(2019全國I理21)為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)對于兩只白鼠

2、，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a和6，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.求X的分布列；若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，P.Q=0,1廠、8)表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效的概率，則P0=0，化=1P

3、.=aP.,+bp+cp(i=1,2,7)，其中a=P(X=-1)，08ii-1ii+1b=P(X=0)，c=P(X=1).假設(shè)a=0.5，卩=0.8.證明：P.廠P.(i=0,12,7)為等比數(shù)列；i+1i求P4，并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.(2019北京理17)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變。近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一。為了解某校學(xué)生上個(gè)月AB兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下:iiiiiiiiii支付金額支付方式、(0,1000(1

4、000,20001大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(I)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩個(gè)支付方式都使用的概率;從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化，現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額大于2000元。根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.2010-2018年一、選擇題(2018全國卷III)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的

5、支付方式相互獨(dú)立，設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4，P(X=4)P(X=6)，則p=A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3(2018浙江)設(shè)P1，隨機(jī)變量E的分布列是g012P1-p2則當(dāng)P在(0，1)內(nèi)增大時(shí)，A.D(g)減小B.D(g)增大C.D(E)先減小后增大D.D(E)先增大后減小3.(2017浙江)已知隨機(jī)變量E滿足PE=1)二p，PE=0)二1-p，i=1，2.A.E()A.E()比2)，D()D()B.E9)叫)c.E()E(2)，D(存來2)D.E9)E(D9)D()(2014浙江)已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)籃球(m3,n

6、3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i=1,2)個(gè)球放入甲盒中.(a)放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為E(i=1,2)；i(b)放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為P(i=1,2).則iA.A.pp,E(g)E(g)1212B.pE(g)1212C.C.pp,E(g)E(g)1212D.pp,E(g)E(g)1212、填空題(2017新課標(biāo)II)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次,工表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=.(2016年四川)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是.(20

7、14浙江)隨機(jī)變量g的取值為0,1,2，若P(g=0)=5，E(g)=1,則D(g)=_.三、解答題(2018北京)電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:電影類型第一類第二類第三類第四類第五類Avy、第八類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率;從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好

8、評(píng)率相等，用“g=1”表示第k類電影k得到人們喜歡，“g=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,2,3,4,5,6).寫出方差Dg，k1Dg,Dg,Dg,Dg,Dg的大小關(guān)系.23456(2018全國卷I)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0p2)，這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為1，2,3,，m+n的抽屜內(nèi)，其中第k次取球放入編號(hào)為k的抽屜(k=

9、1,2,3,，m+n).123m+n試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率P；隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，E(X)是X的數(shù)學(xué)期望，證明n(m+n)(n-1)(2017天津)從甲地到乙地要經(jīng)過3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅111燈的概率分別為2,3,4.設(shè)x表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；若有2輛車獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個(gè)紅燈的概率.(2017山東)在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對人的影響，具體方法如下:將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種

10、心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A，A，A，A，1234A，A和4名女志愿者B，B，B，B，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種561234心理暗示.求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A但不包含B的頻率。11用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.(2017北京)為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中*”表示服藥者，“+”表示未服藥者.1?從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指

11、標(biāo)y的值小于60的概率；從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī)選出兩人，記E為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求E的分布列和數(shù)學(xué)期望E憶)；(iii)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論）（2016年全國I）某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率

12、代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù).（I）求X的分布列；（II）若要求P（XWn）三0.5，確定n的最小值；（III）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？（2015福建）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.（I）求當(dāng)天小王的

13、該銀行卡被鎖定的概率；（II）設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2015山東）若n是一個(gè)三位正整數(shù)，且n的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”（如137，359，567等）.在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得-1分；若能被10整除，得1分.（I）寫出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”（II）若甲參加活動(dòng)，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.(2015四川)某市A,B兩所中學(xué)

14、的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生，2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊(duì)員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；某場比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學(xué)期望.(2014新課標(biāo)1)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：0.0330.0021651751851953050.0330.0021651751851953052152252乍質(zhì)量指標(biāo)值組距4202.

15、02n-ono求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)x和樣本方差s2(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(p,Q2)，其中卩近似為樣本平均數(shù)x，b2近似為樣本方差S2.利用該正態(tài)分布，求P(187.8Z212.2)；某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用(i)的結(jié)果，求EX.附:15012.2.若ZN(卩Q2)，則P(ybZp+b)=0.6826,P(卩2bZp+2b)=0.9544.(2014山東)乒乓球臺(tái)面被球網(wǎng)分成甲、乙兩部分.如圖，甲上有兩

16、個(gè)不相交的區(qū)域A,B，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C,D.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次,落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其它情況記0分.對落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)111在c上的概率為2，在d上的概率為3；對落點(diǎn)在b上的來球，小明回球的落點(diǎn)在c上的概率為5,3在D上的概率為5假設(shè)共有兩次來球且落在A,B上各一次，小明的兩次回球互不影響求：小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.(2014遼寧)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示：頻率,組距10.0060.

17、0050.0040.0030.0021050100150200250月銷售量/個(gè)將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另一天的日銷售量低于50個(gè)的概率；用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).(2014廣東)隨機(jī)觀測生產(chǎn)某種零件的某工廠25名工人的日加工零件數(shù)(單位：件)獲得數(shù)據(jù)如下:30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46,39,36,木分組頻數(shù)頻率25,3

18、030.12(30,3550.20(35,4080.32(40,45n1f1(45,50n2f2確定樣本頻率分布表中n,n,f和f的值；1212根據(jù)上述頻率分布表，畫出樣本頻率分布直方圖;（3）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，求在該廠任取4人，至少有1人的日加工零件數(shù)落在區(qū)間（30,35的概率.（2014安徽）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，21則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為3，乙獲勝的概率為3，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（I）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（II）記X為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.（20

19、13新課標(biāo)1）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n如果n=3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=4,再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn).假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為2，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立.（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.（2013北京）下圖是某市3月1

20、日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良，空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染，某人隨機(jī)選擇3月1日至3月13日中的某一天到達(dá)該市，并停留2天空氣蘭空氣蘭1揩數(shù)（I）求此人到達(dá)當(dāng)日空氣重度污染的概率（II）設(shè)X是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.（III）由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大？（結(jié)論不要求證明）（2012新課標(biāo)）某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（I）若花店一天購進(jìn)16朵玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝

21、，nN）的函數(shù)解析式；（II）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表:日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率（i）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及、,、”八方差；（ii）若花店計(jì)劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由.328（2012山東）現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中42得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率是3,每命中一次得2分，沒命中得0分該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立假設(shè)該射手完成以上三次射擊（I）求該射手恰好命中一次的概率；（II）求該射手的總得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.29（2012福建）受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎