線性代數(shù)概率論試題及答案

1、 線性代數(shù)、概率論試題及答案第一部分選擇題（共28分）一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。r1300r130012000k01丿丄3000100k012丿3A-1oO1-200BD0013oO101-2oO1-301.設行列式an弘2=m,a13a11=n,則行列式a11a12+a13等于(aaaaaa+a21222321212223A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n(102.設矩陣A=020、0，則A-1等于（3設矩陣A=10-1,A*是A的伴隨矩陣，則A*中位于（

2、3設矩陣A=1TOC o 1-5 h z1-214丿B.6A.-B.6C.2D.-C.2設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，貝9必有（）A.A=0B.B工C時A=0C.A豐0時B=CD.IAI豐0時B=C已知3X4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（At）等于（）A.1B.2C.3D.46設兩個向量組a1，a2，as和B2，Bs均線性相關，則（）有不全為0的數(shù)入,入2，入s使入a+入2a2+入sas=0和入B+入22+入sBs=有不全為0的數(shù)入1,入2，入s使入（a1+31）+入2（a2+B2）+入s（as+Bs）=0有不全為0的數(shù)入，入2，入s使入（a廠B）+入2（a2-B2）+入s（as-B

3、s）=0有不全為0的數(shù)入,入2，入s和不全為0的數(shù)X，卩2，匕使入/+入2a2+入a=0和卩上戶卩朋+卩B=0ss1122ss7設矩陣A的秩為r,則A中（）A.所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0C.至少有一個r階子式不等于0D.所有r階子式都不為08.設Ax=b8.設Ax=b是一非齊次線性方程組，n,a.n1+n2是Ax=0的一個解n2是其任意2個解，則下列結(jié)論錯誤的是（B.fn1+1n2是Ax=b的一個解n1-n2是Ax=0的一個解n1-n2是Ax=b的一個解9設n階方陣A不可逆，則必有（）A.秩（A）vnB.秩（A）=n-1=0D.方程組Ax=0只有零解10設A是一個n（2

4、3）階方陣，下列陳述中正確的是（）如存在數(shù)入和向量a使Aa=入a,則a是A的屬于特征值入的特征向量如存在數(shù)入和非零向量a,使（入E-A）a=0，貝是A的特征值的2個不同的特征值可以有同一個特征向量如入,入2，入3是A的3個互不相同的特征值，a1，a2，a3依次是A的屬于入入2,入3的特征向量，則a1，a2，a3有可能線性相關11.設入0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于入0的線性無關的特征向量的個數(shù)為k,則必有（）A.kW3B.k312設A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（）IAI2必為1B.IAI必為1=At的行（列）向量組是正交單位向量組13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CtAC

5、.則（）與B相似A與B不等價A與B有相同的特征值A與B合同14下列矩陣中是正定矩陣的為（)（34、(23、A.（34B.(26丿丫100、(111、C.02-3D.120(0-35丿(102；第二部分非選擇題（共72分）二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。11115.356=925362-2A.ij12-2A.ij1-13、4丿表示IAI中元素a.的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則卩-1(11設A=(a.)3ij3(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(

6、a31A21+a32A22+a33A23)2=設向量(2,-3,5)與向量(-4,6,a)線性相關，則a=.16.設A=X3B=1(-1IAI=2,.則A+2B=19設A是3X4矩陣，其秩為3,若n1，n2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為20.設A是mXn矩陣，A的秩為r（n），則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系中含有解的個數(shù)為21.設向量a、B的長度依次為2和3,貝9向量a+B與a-B的內(nèi)積（a+B,a-B）=22設3階矩陣A的行列式IAI=8，已知A有2個特征值-1和4,則另一特征值為.0106、23.0106、23.設矩陣A=1-3-3-2108丿a所對應的特征

7、值已知a=-1a所對應的特征值I2丿24.設實二次型f(x1?x2,x3,x4,x5)的秩為4,正慣性指數(shù)為3,則其規(guī)范形為25.設A=120、“23-1、340,b=25.設A=120、“23-1、340,b=(-240丿.求(1)ABt；(2)I4AI.26.試計算行列式3-521/427設矩陣A=1110-53、03-13132-4-1-3，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.-1求：(1)秩(A)；(2)A的列向量組的一個最大線性無關組。0-22、30.設矩陣A=-2-34的全部特征值為1,1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D,使T-1AT=D.24-3,31.試用配方法化下列二次型

8、為標準形彳館冬宀匸xf+2x2-3x2+4XX2-4乂嚴3-4x2x3,并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)設方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.設n0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，2是其導出組Ax=0的一個基礎解系.試證明n1=n0+1,n2=n0+2均是Ax=b的解；n,n,n線性無關。012一、單項選擇題(本大題共14小題，每小題2分，共28分)二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.616.4-10H1+c(H2-H1)(或H2+c(H2-Hj),c為任意常數(shù)n-r-5-2124242424

9、Z-23Z+22Z+21Z三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）12、三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）12、2-2、34|3412110,25.解(1)ABt=/86、=1810.310,(2)I4AI=43IAI=64IAI,而120iai=340=2121311251115134111312011001015335530所以14AI=64-(-2)=-12826解511=1111550511=62055062-55=30+10=40.27.解AB=A+2B即(A-2E)B=A，而/223、114-3、(A-2E)-1=110=153164丿所以B=(所以B=(

10、A-2E)-1A=14-3、423、15-3|110164丿1123,3-8-6、2-9-6-2129丿1000010000102、1001000-2039-102606832、-2-2乙(-2130、(0-53-2、1-30-1、1-30-102240112134-19丿01120088001100-14-14；0000丿30解(130解(1-2-102、(1-2-102、0328-3、0328-30006-20003-1000-217JT,（1）（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組

11、的一個最大線性無關組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）A的屬于特征值入=1的2個線性無關的特征向量為C1=（2，-1，0）T，J=（2，0，1）T.2店/5、2店/15、經(jīng)正父標準化，得n1=-J5/5，n2=4亦/150J1-2/3,所求正交矩陣為/25/5T=-店/51/32/3-2/3丿2715/154込/15*5/3I00、0._8丿2吊/15-3-4=5/15/1對角矩陣D=002亦/50“5/53)=(X+2X2-2x3)2-=(X+2x2-2x3)2-2(1=X+2x?-2X3(也可取T=31.解f(X,x2，xly3=X2-X3，X3(1-2因其系數(shù)矩陣

12、C=01001/32/3-2/3丿2x22+4x2x3-7x32x2-x3)2-5x32.)x1=yi2y?X2=2+3，X3=31可逆，故此線性變換滿秩。1丿經(jīng)此變換即得f(x1，x2,x3)的標準形y12-221C1+l2C21C1+l2C2=0.又由假設，C1，C2線性無關，所以l1=0,l2=0,從而l0=0.所以n0,n1,n2線性無關。四、證明題(本大題共2小題，每小題5分，共10分)證由于(E-A)(E+A+A2)=E-A3=E，所以E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.證由假設An0=b，AC1=0，AE2=0.An1=A(n0+C1)=An+AC=b，同理An2=b，所

13、以n,n2是Ax=b的2個解?？紤]10n0+i1n1+i2n2=0，即(刑+厶)n0+l1C1+l2C2=0則10+11+12=0，否則n0將是Ax=0的解，矛盾。所以2010期末考試試卷參考解答及評分標準開/閉卷閉卷A/B卷A課程編號課程名稱概率論與數(shù)理統(tǒng)計學分J命題人(簽字)審題人(簽字)年月日題號一二三四五六七八九十基本題總分附加題得分評卷人第一部分基本題一、選擇題(共6小題，每小題5分，滿分30分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(每道選擇題選對滿分，選錯0分)事件表達式aUb的意思是()(A)事件A與事件B同時發(fā)生(B)事件A發(fā)生

14、但事件B不發(fā)生(C)事件B發(fā)生但事件A不發(fā)生(D)事件A與事件B至少有一件發(fā)生答：選D,根據(jù)AUB的定義可知。假設事件A與事件B互為對立，則事件AAB()(A)是不可能事件(B)是可能事件(C)發(fā)生的概率為1(D)是必然事件答：選A,這是因為對立事件的積事件是不可能事件。已知隨機變量X,Y相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布，則X2+Y2服從()(A)自由度為1的%2分布(B)自由度為2的%2分布(C)自由度為1的F分布(D)自由度為2的F分布答：選B，因為n個相互獨立的服從標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和服從自由度為n的%2分布。TOC o 1-5 h z已知隨機變量X,Y相互獨立，XN(2,4),

15、YN(-2,1),貝胚)(A)X+YP(4)(B)X+YU(2,4)(C)X+YN(0,5)(D)X+YN(0,3)答：選C，因為相互獨立的正態(tài)變量相加仍然服從正態(tài)分布，而E(X+y)=E(X)+E(Y)=2-2=0,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5,所以有X+YN(0,5)。樣本(X,X2,X3)取自總體X，E(X)中,D(X)=8,則有()XIXIX(A)X1+X2+X3是卩的無偏估計(B)+33是卩的無偏估計(C)X2是8的無偏估計(D)X1+X2+X3Y是Q2的無偏估計2I3丿答：選B,因為樣本均值是總體期望的無偏估計，其它三項都不成立。6.隨機變量X服從在區(qū)間(2,5)上

16、的均勻分布，則X的數(shù)學期望E(X)的值為()(A)2(B)3(C)(D)4答：選C,因為在(a,b)區(qū)間上的均勻分布的數(shù)學期望為(a+b)/2。二、填空題(共6小題，每小題5分，滿分30分。把答案填在題中橫線上)1.已知P(A)=,P(BIA)=,則P(AAB)=答：填，由乘法公式P(ACB)=P(A)P(BIA)=x=。三個人獨立地向一架飛機射擊，每個人擊中飛機的概率都是，則飛機被擊中的概率為答：填，是因為三人都不中的概率為=,則至少一人中的概率就是1-=。一個袋內(nèi)有5個紅球，3個白球，2個黑球，任取3個球恰為一紅、一白、一黑的概率為答：填或丄，由古典概型計算得所求概率為竺型二1二0.25。

17、4C3410 x,0 x1,已知連續(xù)型隨機變量Xf(x)=2-x,1x2,則PX=0,其它.答：填，因PX=J1.5f(x)dx二0.875。0假設XB(5,(二項分布),YN(2,36),則E(X+Y)=答：填，因E(X)=5x=,E(Y)=2,E(X+Y)=E(X)+E(Y)=+2=一種動物的體重X是一隨機變量，設E(X)=33,D(X)=4，10個這種動物的平均體重記作Y,則D(Y)=答：填，因為總體X的方差為4,10個樣本的樣本均值的方差是總體方差的1/10。三、有兩個口袋，甲袋中盛有兩個白球，一個黑球，乙袋中盛有一個白球，兩個黑球。由甲袋任取一個球放入乙袋，再從乙袋中取出一個球，求取

18、到白球的概率。(10分)解：設從甲袋取到白球的事件為A,從乙袋取到白球的事件為B,則根據(jù)全概率公式有P(B)二P(A)P(BIA)+P(A)P(BIA)-。4172111x-。41732340 x1,其它.四、已知隨機變量X服從在區(qū)間(0,1)上的均勻分布，Y=0 x1,其它.解：已知X的概率密度函數(shù)為fX(x)-0Y的分布函數(shù)FY(y)為y1F(y)=PYy=P2X+1y=PX=FY2X因此Y的概率密度函數(shù)為2，1yto(n)=aaN一141516第二部分附加題附加題1設總體X的概率密度為f(x；e)=(0+1)x0,0_1為未知參數(shù)，又設X,x2,是X的一組樣本觀測值，求參數(shù)0的最大似然估計值。(滿分15分)解：似然函數(shù)L=(L=(0+1)n口1x、J丿InL=nln(0+1)+0工Inxii=1dinLnTOC o 1-5 h z=+inx HYPERLINK l bookmar