2020年高考理科數(shù)學(xué)《立體幾何》題型歸納與訓(xùn)練

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)2020年高考理科數(shù)學(xué)立體幾何題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一線面平行的證明例1如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AMCDeq f(1,3)AB1.現(xiàn)將AMD沿MD折起，使平面AMD平面MBCD，連接AB，AC.試判斷：在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD平面MPC?并說(shuō)明理由【答案】當(dāng)APeq f(1,3)AB時(shí)，有AD平面MPC.理由如下：連接BD交MC于點(diǎn)N，連接NP.在梯形MBCD中，DCMB，eq f(DN,NB)eq f(DC,MB)eq f(1,2)，在ADB中

2、，eq f(AP,PB)eq f(1,2)，ADPN.AD平面MPC，PN平面MPC，AD平面MPC.【解析】線面平行，可以線線平行或者面面平行推出。此類題的難點(diǎn)就是如何構(gòu)造輔助線。構(gòu)造完輔助線，證明過(guò)程只須注意規(guī)范的符號(hào)語(yǔ)言描述即可。本題用到的是線線平行推出面面平行?！疽族e(cuò)點(diǎn)】不能正確地分析DN與BN的比例關(guān)系，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤?！舅季S點(diǎn)撥】此類題有兩大類方法：構(gòu)造線線平行，然后推出線面平行。此類方法的輔助線的構(gòu)造須要學(xué)生理解線面平行的判定定理與線面平行的性質(zhì)之間的矛盾轉(zhuǎn)化關(guān)系。在此，我們需要借助倒推法進(jìn)行分析。首先，此類型題目大部分為證明題，結(jié)論必定是正確的，我們以此為前提可以得到線面平行。再

3、次由線面平行的性質(zhì)可知，過(guò)已知直線的平面與已知平面的交線必定平行于該直線，而交線就是我們要找的線，從而做出輔助線。從這個(gè)角度上看我們可以看出線線平行推線面平行的本質(zhì)就是過(guò)已知直線做一個(gè)平面與已知平面相交即可。如本題中即是過(guò)AD做了一個(gè)平面ADB與平面MPC相交于線PN。最后我們只須嚴(yán)格使用正確的符號(hào)語(yǔ)言將證明過(guò)程反向?qū)懸槐榧纯?。即先證AD平行于PN，最后得到結(jié)論。構(gòu)造交線的方法我們可總結(jié)為如下三個(gè)圖形。構(gòu)造面面平行，然后推出線面平行。此類方法輔助線的構(gòu)造通常比較簡(jiǎn)單，但證明過(guò)程較繁瑣，一般做為備選方案。輔助線的構(gòu)造理論同上。我們只須過(guò)已知直線上任意一點(diǎn)做一條與已知平面平行的直線即可?？煽偨Y(jié)為下

4、圖例2如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn)求證：GF平面ADE；【答案】解法一：(1)證明：如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HG，HD，又G是BE的中點(diǎn)，所以GHAB，且GHeq f(1,2)AB.又F是CD的中點(diǎn)，所以DFeq f(1,2)CD.由四邊形ABCD是矩形得，ABCD，ABCD，所以GHDF，且GHDF，從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GFDH.又DH平面ADE，GF平面ADE，所以GF平面ADE.解法2：(1)證明：如下圖，取AB中點(diǎn)M，連接MG，MF.又G是BE的中點(diǎn)，可知GMAE.又AE平

5、面ADE，GM平面ADE，所以GM平面ADE.在矩形ABCD中，由M，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)得MFAD.又AD平面ADE，MF平面ADE，所以MF平面ADE.又因?yàn)镚MMFM，GM平面GMF，MF平面GMF，所以平面GMF平面ADE.因?yàn)镚F平面GMF，所以GF平面ADE.【解析】解法一為構(gòu)造線線平行，解法二為構(gòu)造面面平行。【易錯(cuò)點(diǎn)】線段比例關(guān)系【思維點(diǎn)撥】同例一題型二 線線垂直、面面垂直的證明例1如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAAB=BC=2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)(1)求證：PABD；(2)求證：平面BDE平面PAC【答案】(1)證明：因?yàn)镻A

6、AB，PABC，ABBCB，所以PA平面ABC.又因?yàn)锽D平面ABC，所以PABD.(2)證明：因?yàn)锳BBC，D為AC的中點(diǎn)，所以BDAC.由(1)知，PABD，又ACPAA，所以BD平面PAC.因?yàn)锽D平面BDE，所以平面BDE平面PAC.【解析】(一)找突破口第(1)問(wèn)：欲證線線垂直，應(yīng)轉(zhuǎn)化到證線面垂直，再得線線垂直；第(2)問(wèn)：欲證面面垂直，應(yīng)轉(zhuǎn)化到證線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到先證線線垂直，借助(1)的結(jié)論和已知條件可證；(二)尋關(guān)鍵點(diǎn)有什么想到什么注意什么信息：PAAB，PABC線面垂直的判定定理，可證PA平面ABC(1)證明線面平行的條件：一直線在平面外，一直線在平面內(nèi)(2)證明線面垂直時(shí)

7、的條件：直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線(3)求點(diǎn)到面的距離時(shí)要想到借助錐體的“等體積性”信息：ABBC，D為AC的中點(diǎn)等腰三角形中線與高線合一，可得BDAC信息：PABD證明線線垂直，可轉(zhuǎn)化到證明一直線垂直于另一直線所在平面，再由線面垂直的定義可得信息：平面BDE平面PAC面面垂直的判定定理，線線垂直線面垂直面面垂直信息：PA平面BDE線面平行的性質(zhì)定理，線面平行，則線線平行，可得PADE【易錯(cuò)點(diǎn)】規(guī)范的符號(hào)語(yǔ)言描述，正確的邏輯推理過(guò)程?！舅季S點(diǎn)撥】(1)正確并熟練掌握空間中平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理，是進(jìn)行判斷和證明的基礎(chǔ)；在證明線面關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意幾何體的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，尤其是一些線面平行

8、與垂直關(guān)系，這些都可以作為條件直接應(yīng)用(2)證明面面平行依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行(3)證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)面過(guò)另一個(gè)面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中線、高線或添加輔助線解決(4)證明的核心是轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，面面線面線線題型三 空間向量例1如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，AB=BD.(1)證明：平面ACD平面ABC；(2)過(guò)AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面

9、體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值【答案】(1)證明：由題設(shè)可得，ABDCBD，從而ADDC.又ACD是直角三角形，所以ADC90.取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，則DOAC，DOAO.又因?yàn)锳BC是正三角形，所以BOAC.所以DOB為二面角DACB的平面角在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.所以平面ACD平面ABC.(2)由題設(shè)及(1)知，OA，OB，OD兩兩垂直以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq o(OA,sup7()的方向?yàn)閤軸正方向，|eq o(OA,sup7()|為單位長(zhǎng)度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxy

10、z，則A(1,0,0)，B(0，eq r(3)，0)，C(1,0,0)，D(0,0,1)由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的eq f(1,2)，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的eq f(1,2)，即E為DB的中點(diǎn)，得Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(r(3),2)，f(1,2).故eq o(AD,sup7()(1，0,1)，eq o(AC,sup7()(2,0,0)，eq o(AE,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(3),2)，f(1,2).設(shè)n(x1，y1，z1)是平面DAE的法向量，則eq blcrc (a

11、vs4alco1(neq o(AD,sup7()0，,neq o(AE,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(x1z10，,x1f(r(3),2)y1f(1,2)z10.)可取neq blc(rc)(avs4alco1(1，f(r(3),3)，1).設(shè)m(x2，y2，z2)是平面AEC的法向量，則eq blcrc (avs4alco1(meq o(AC,sup7()0，,meq o(AE,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2x20，,x2f(r(3),2)y2f(1,2)z20，)可取m(0，1，eq r(3)則cosn，meq f(nm,|n|

12、m|)eq f(f(r(3),3)r(3),f(r(21),3)2)eq f(r(7),7).由圖知二面角DAEC為銳角，所以二面角DAEC的余弦值為eq f(r(7),7).【解析】(一)找突破口第(1)問(wèn)：欲證面面垂直，應(yīng)轉(zhuǎn)化去證線面垂直或證其二面角為直角，即找出二面角的平面角，并求其大小為90；第(2)問(wèn)：欲求二面角的余弦值，應(yīng)轉(zhuǎn)化去求兩平面所對(duì)應(yīng)法向量的夾角的余弦值，即通過(guò)建系，求所對(duì)應(yīng)法向量來(lái)解決問(wèn)題(二)尋關(guān)鍵點(diǎn)有什么想到什么注意什么信息：ABC為正三角形，ACD是直角三角形特殊三角形中的特殊的邊角：ABC中三邊相等，ACD中的直角(1)建系時(shí)要證明哪三條線兩兩垂直，進(jìn)而可作為坐標(biāo)

13、軸(2)兩平面法向量的夾角不一定是所求的二面角，也有可能是兩法向量夾角的補(bǔ)角，因此必須說(shuō)明角的范圍信息：ABDCBD，ABBD邊角相等關(guān)系可證兩三角形全等，進(jìn)而可證ADDC，ADC90信息：證明：平面ACD平面ABC面面垂直的證明方法：幾何法或定義法信息：體積相等由體積的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化到點(diǎn)到面的距離的大小關(guān)系，進(jìn)而知點(diǎn)E為DB的中點(diǎn)【易錯(cuò)點(diǎn)】正確建立空間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，平面法向量的計(jì)算。【思維點(diǎn)撥】1利用空間向量求空間角的一般步驟(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；(4)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論2求空間角應(yīng)注意的3個(gè)問(wèn)題(1)

14、兩條異面直線所成的角不一定是直線的方向向量的夾角，即cos |cos |.(2)直線與平面所成的角的正弦值等于平面的法向量與直線的方向向量夾角的余弦值的絕對(duì)值，注意函數(shù)名稱的變化(3)兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角【鞏固訓(xùn)練】題型一線面平行的證明1.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點(diǎn)，求證：(1)直線EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.【答案】詳見(jiàn)解析【解析】(1)如圖，連接SB，E、G分別是BC、SC的中點(diǎn)，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直線E

15、G平面BDD1B1.(2)連接SD，F(xiàn)、G分別是DC、SC的中點(diǎn)，F(xiàn)GSD.又SD平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，又EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.2.如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，且PA2，E是側(cè)棱PA上的中點(diǎn)求證：PC平面BDE；【答案】詳見(jiàn)解析【解析】證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE，如圖：四邊形ABCD是正方形，O是AC的中點(diǎn)又E是PA的中點(diǎn)，PCOE.PC平面BDE，OE平面BDE，PC平面BDE.3.如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DA

16、B60，AB2CD2，M是線段AB的中點(diǎn)求證：C1M平面A1ADD1；【答案】詳見(jiàn)解析【解析】證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC.又由M是AB的中點(diǎn)，因此CDMA且CDMA.連接AD1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因?yàn)镃DC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，所以四邊形AMC1D1為平行四邊形因此C1MD1A，又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.題型二 線線垂直、面面垂直的證明1.如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)(1)證明：C

17、DAE；(2)證明：PD平面ABE；【答案】詳見(jiàn)解析【解析】(1)在四棱錐PABCD中，因?yàn)镻A底面ABCD，CD平面ABCD，故PACD，ACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAE，(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA，E是PC的中點(diǎn)，AEPC，由(1)知，AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD，而PD平面PCD，AEPD，PA底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，ABAD，ABPD，又ABAEA，綜上可得PD平面ABE.2.如圖，在三棱錐PABC中，PAPBPCAC4，ABBC2eq r(2).求證：平面ABC平面APC；【答案】詳見(jiàn)解析【解析

18、】(1)證明：如圖所示，取AC中點(diǎn)O，連接OP，OB.PAPCAC4，OPAC，且PO4sin602eq r(3).BABC2eq r(2)，BA2BC216AC2，且BOAC，BOeq r(AB2AO2)2.PB4，OP2OB212416PB2，OPOB.ACOBO，OP平面ABC.OP平面PAC，平面ABC平面APC.3.如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，AB2AD2，BDeq r(3)，PD底面ABCD.證明：平面PBC平面PBD；【答案】詳見(jiàn)解析【解析】(1)證明：，CD2BC2BD2，BCBD.又PD底面ABCD，PDBC.又PDBDD，BC平面PBD.而BC平

19、面PBC，平面PBC平面PBD.題型三空間向量1.已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，ACBC2，AA14，D是棱AA1的中點(diǎn)如圖所示(1)求證：DC1平面BCD；(2)求二面角ABDC的大小【答案】詳見(jiàn)解析【解析】(1)證明：按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系由題意，可得點(diǎn)C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(2,0,2)，A1(2,0,4)，C1(0,0,4)于是，(2,0,2)，(2,0，2)，(2，2，2)可算得0，0.因此，DC1DC，DC1DB.又DCDBD，所以DC1平面BDC.(2)設(shè)n(x，y，z)是平面ABD的法向量，又(2,2,0)，(0,0,2)

20、，所以eq blcrc (avs4alco1(2x2y0，,2z0.)取y1，可得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，,z0，)即平面ABD的一個(gè)法向量是n(1,1,0)由(1)知，是平面DBC的一個(gè)法向量，記n與的夾角為，則coseq f(1,2)，eq f(2,3).結(jié)合三棱柱可知，二面角ABDC是銳角，故所求二面角ABDC的大小是eq f(,3).2.如圖1，在RtABC中，ACB30，ABC90，D為AC中點(diǎn)，AEBD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F，將ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示(1)求證：AE平面BCD；(2)求二面角ADCB的余弦值；(3)在

21、線段AF上是否存在點(diǎn)M使得EM平面ADC？若存在，請(qǐng)指明點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】詳見(jiàn)解析【解析】(1)證明：因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，交線為BD，又在ABD中，AEBD于點(diǎn)E，AE平面ABD，所以AE平面BCD.(2)由(1)中AE平面BCD可得AEEF.由題意可知EFBD，又AEBD，如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EF，ED，EA所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Exyz，不妨設(shè)ABBDDCAD2，則BEED1.由圖1條件計(jì)算得AEeq r(3)，BC2eq r(3)，BF，則E(0,0,0)，D(0,1,0)，B(0，1，0)，A(0,0，eq r(3)，F(xiàn)eq

22、blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，0，0)，C(eq r(3)，2,0)，(eq r(3)，1,0)，(0,1，eq r(3)由AE平面BCD可知平面DCB的法向量為，(0,0，eq r(3)，設(shè)平面ADC的法向量為n(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alco1(r(3)xy0，,yr(3)z0.)令z1，則yeq r(3)，x1，所以n(1，eq r(3)，1)因?yàn)槠矫鍰CB的法向量為，所以cosn，eq f(r(5),5).所以二面角ADCB的余弦值為eq f(r(5),5).(3)設(shè)，其中0,1由于eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，0，r(3)，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，0，r(3)，其中0,1所以.由n0，即eq f(r(3),3)(1)eq r(3)0，解得eq f(3,4)0,1所以在線段AF上存在點(diǎn)M使EM平面ADC，且eq f(AM,AF)eq f(3,4).3.在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB1，AA1eq r(2)，D為AA1的中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，CO側(cè)面ABB1A1.(1)證明：BCAB1；(2)若OCOA，求直線C1D與平面ABC所成角的正弦值【答案】詳見(jiàn)解析【解析】(1)證明