2021-2022學(xué)年吉林省遼源市高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

2、要求的。1若集合，則（ ）ABCD2已知函數(shù)（其中，）的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為，則對(duì)于下列判斷：直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心；函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是（ ）ABCD3已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（ ）ABCD4小張家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上之間把報(bào)送到小張家，小張離開家去工作的時(shí)間在早上之間.用表示事件：“小張?jiān)陔x開家前能得到報(bào)紙”，設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為，小張離開家的時(shí)間為，看成平面中的點(diǎn)，則用幾何概型的公式得到事件的概率等于（ ）ABCD5已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四

3、個(gè)面中，最大面積為（ ）ABCD6已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，為邊的中點(diǎn)，、分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)，并滿足，則的取值范圍是（ ）ABCD7ABC中，AB3，AC4，則ABC的面積是（ ）ABC3D8已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（ ）ABCD9設(shè)復(fù)數(shù)滿足，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則不可能為（ ）ABCD10已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（ ）ABC2D11若復(fù)數(shù)滿足，則( )ABCD12已知點(diǎn)、若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13在區(qū)間內(nèi)任意取一個(gè)數(shù)，則恰好為非負(fù)

4、數(shù)的概率是_.14設(shè)為橢圓在第一象限上的點(diǎn)，則的最小值為_.15已知實(shí)數(shù)，對(duì)任意，有，且，則_.16在直三棱柱內(nèi)有一個(gè)與其各面都相切的球O1，同時(shí)在三棱柱外有一個(gè)外接球.若,，,則球的表面積為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（12分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1,an+1=2Sn+1（1）求數(shù)列an（2）設(shè)cn=bnan，求數(shù)列18（12分）己知，.（1）求證：；（2）若，求證：.19（12分）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，等比數(shù)列滿足，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和.20（12分）已知矩陣，且二階矩陣M滿足AMB，求M的特征值及屬于各特征值的

5、一個(gè)特征向量.21（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）已知外接圓半徑,求的周長(zhǎng).22（10分）某校為了解校園安全教育系列活動(dòng)的成效，對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行了一次安全意識(shí)測(cè)試，根據(jù)測(cè)試成績(jī)?cè)u(píng)定“合格”“不合格”兩個(gè)等級(jí)，同時(shí)對(duì)相應(yīng)等級(jí)進(jìn)行量化：“合格”記5分，“不合格”記0分現(xiàn)隨機(jī)抽取部分學(xué)生的答卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果及對(duì)應(yīng)的頻率分布直方圖如下：等級(jí)不合格合格得分頻數(shù)624（1）由該題中頻率分布直方圖求測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）其他條件不變，在評(píng)定等級(jí)為“合格”的學(xué)生中依次抽取2人進(jìn)行座談，每次抽取1人，求在第1次抽取的測(cè)試得分低于80分的前提下，第2次抽取的測(cè)試得分仍低于80分的概

6、率；（3）用分層抽樣的方法，從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中抽取10人進(jìn)行座談現(xiàn)再?gòu)倪@10人中任選4人，記所選4人的量化總分為，求的數(shù)學(xué)期望參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1A【解析】先確定集合中的元素，然后由交集定義求解【詳解】，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查求集合的交集運(yùn)算，掌握交集定義是解題關(guān)鍵2C【解析】分析：根據(jù)最低點(diǎn)，判斷A=3，根據(jù)對(duì)稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T，再代入最低點(diǎn)可求得解析式為，依次判斷各選項(xiàng)的正確與否詳解：因?yàn)闉閷?duì)稱中心，且最低點(diǎn)為，所以A=3，且 由 所以，將帶入得 ，所以由此可

7、得錯(cuò)誤，正確，當(dāng)時(shí)，所以與 有6個(gè)交點(diǎn)，設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)依次為 ，則，所以正確所以選C點(diǎn)睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過(guò)求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題3C【解析】根據(jù)在關(guān)于對(duì)稱的區(qū)間上概率相等的性質(zhì)求解【詳解】，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用掌握正態(tài)曲線的性質(zhì)是解題基礎(chǔ)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則4D【解析】這是幾何概型，畫出圖形，利用面積比即可求解.【詳解】解：事件發(fā)生，需滿足，即事件應(yīng)位于五邊形內(nèi)，作圖如下：故選：D【點(diǎn)睛】考查幾何概型，是基礎(chǔ)題.5B【解析】由三視圖可知，該三棱錐如圖, 其中底面是等腰直角三角形，平面,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即可.【詳解】

8、由三視圖可知，該三棱錐如圖所示：其中底面是等腰直角三角形，平面,由三視圖知，因?yàn)?所以,所以,因?yàn)闉榈冗吶切?，所?所以該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積; 考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型.6A【解析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出直線，設(shè)出點(diǎn)，通過(guò)，找出與的關(guān)系通過(guò)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，將表示成與的關(guān)系式，消元，轉(zhuǎn)化成或的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，求出其值域，即為的取值范圍【詳解】以D為原點(diǎn)，BC所在直線為軸，AD所在直線為軸建系，設(shè)，則直線 ， 設(shè)點(diǎn)， 所以 由得 ，即 ，所以，由及

9、，解得，由二次函數(shù)的圖像知，所以的取值范圍是故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用7A【解析】由余弦定理求出角，再由三角形面積公式計(jì)算即可.【詳解】由余弦定理得：，又，所以得，故ABC的面積.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.8B【解析】根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體，于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值【詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，即為三棱錐，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，此三棱錐的外

10、接球即為長(zhǎng)方體的外接球，且球半徑為，三棱錐外接球表面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，三棱錐外接球的表面積取得最小值為故選B【點(diǎn)睛】（1）解決關(guān)于外接球的問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時(shí)要作一圓面起襯托作用（2）長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，對(duì)于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問(wèn)題時(shí)可考慮通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體，通過(guò)長(zhǎng)方體的外球球來(lái)研究三棱錐的外接球的問(wèn)題9D【解析】依題意，設(shè)，由，得，再一一驗(yàn)證.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，?jīng)驗(yàn)證不滿足，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.10D【解析】把已知等式變形

11、，然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.11C【解析】化簡(jiǎn)得到，再計(jì)算復(fù)數(shù)模得到答案.【詳解】，故，故，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12C【解析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點(diǎn)到直線的距離公式得，整理得或，解得或或.綜上，滿足條件的點(diǎn)共有三個(gè)故選：

12、C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】先分析非負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度，然后根據(jù)幾何概型中的長(zhǎng)度模型，即可求解出“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率.【詳解】當(dāng)是非負(fù)數(shù)時(shí)，區(qū)間長(zhǎng)度是，又因?yàn)閷?duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度是，所以“恰好為非負(fù)數(shù)”的概率是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型中的長(zhǎng)度模型，難度較易.解答問(wèn)題的關(guān)鍵是能判斷出目標(biāo)事件對(duì)應(yīng)的區(qū)間長(zhǎng)度.14【解析】利用橢圓的參數(shù)方程，將所求代數(shù)式的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值問(wèn)題，利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質(zhì)，以及求導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性和極值，即可得到所求

13、最小值【詳解】解：設(shè)點(diǎn)，其中，由，可設(shè)，導(dǎo)數(shù)為，由，可得，可得或，由，可得，即，可得，由可得函數(shù)遞減；由，可得函數(shù)遞增，可得時(shí)，函數(shù)取得最小值，且為，則的最小值為1故答案為：1【點(diǎn)睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的恒等變換和導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)最值的方法，考查化簡(jiǎn)變形能力和運(yùn)算能力，屬于難題15-1【解析】由二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求法得，又，所以，令得：，所以，得解【詳解】由，且，則，又，所以，令得：，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平16【解析】先求出球O1的半徑，再求出球的半徑，即得球的表面積.【詳解】解：,，,， 設(shè)

14、球O1的半徑為，由題得，所以棱柱的側(cè)棱為.由題得棱柱外接球的直徑為，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題，考查球的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17（1）an=（2）Tn【解析】（1）利用an與Sn的遞推關(guān)系可以an的通項(xiàng)公式；P點(diǎn)代入直線方程得b【詳解】(1)由an+1=2S兩式相減得an+1-a又a2=2S1+1=3，所以a由點(diǎn)P(bn,bn+1則數(shù)列bn(2)因?yàn)閏n=b則13兩式相減得：23所以Tn【點(diǎn)睛】用遞推關(guān)系an=Sn-18（

15、1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）采用分析法論證，要證，分式化整式為，再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為，再作差提取公因式論證.（2）由基本不等式得，再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】（1）要證，即證，即證，即證，即證，即證，該式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故.（2）由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.將上面四式相加，可得，即.【點(diǎn)睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式，還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.19（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】（1）利用數(shù)列與的關(guān)系，求得；（2）由（1）可得：，算出公比，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)檫m合上式，所

16、以.（2）由（1）得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.20特征值為1，特征向量為【解析】設(shè)出矩陣M結(jié)合矩陣運(yùn)算和矩陣相等的條件可求矩陣M，然后利用可求特征值的另一個(gè)特征向量.【詳解】設(shè)矩陣M，則AM，所以，解得，所以M，則矩陣M的特征方程為，解得，即特征值為1，設(shè)特征值的特征向量為，則，即，解得x0，所以屬于特征值的的一個(gè)特征向量為【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的運(yùn)算及特征量的求解，矩陣運(yùn)算的關(guān)鍵是明確其運(yùn)算規(guī)則，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).21（1）（2）3+3【解析】（1）利用余弦的二倍角公

17、式和同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)整理并結(jié)合范圍0A，可求A的值（2）由正弦定理可求a，利用余弦定理可得c值，即可求周長(zhǎng)【詳解】（1） ，即 又 （2） , ，由余弦定理得 a2b2+c22bccosA， ， c0，所以得c=2, 周長(zhǎng)a+b+c=3+3【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題22（1）64，65；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖及其性質(zhì)可求出，平均數(shù)，中位數(shù)；（2）設(shè)“第1次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件，“第2次抽取的測(cè)試得分低于80分”為事件，由條件概率公式可求出；（3）從評(píng)定等級(jí)為“合格”和“不合格”的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人進(jìn)行座談，其中“不合格”的學(xué)生數(shù)為，“合格”的學(xué)生數(shù)為6；由題意可得，5，10，15，1，利用“超幾何分布”的計(jì)算公式即可得出概率，進(jìn)而得出分布列與數(shù)