高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題匯編(1981-2020)專題25平面幾何A輯(解析版)

1、第第 頁(yè)共52.如圖，A4BC的內(nèi)切圓0/與三邊BC、CA、AB分別切于點(diǎn)D、E、F,直線AI、BI與。/分別交于點(diǎn)冬、4、 /、Bo(|4411VM4|/BB11Vl咽|).過(guò)點(diǎn)B作邊AB的平行線分別與。/交于點(diǎn)心、金，聯(lián)結(jié)的尸、金尸， 過(guò)點(diǎn)F作C/1的條垂線與C&交于點(diǎn)C?,過(guò)點(diǎn)F作QF的條垂線與GB】交于點(diǎn)C4.設(shè)直線4G與直線BCa交于點(diǎn)C：類似地，得到點(diǎn)A： B證明：的外接圓半徑是0/半徑的2倍.【答案】見(jiàn)解析【解析】先證明個(gè)引理.引理如圖，過(guò)。外點(diǎn)A作。的條切線AT, T為切點(diǎn)，再過(guò)A作條直線與。交于B、C兩點(diǎn)(ABVAC),過(guò)點(diǎn)C作AT的平行線與0。交于點(diǎn)D,過(guò)T作DT的條垂線與

2、DB交于點(diǎn)E.則NBAT=NEAT.T1證明設(shè)TO與。的另個(gè)交點(diǎn)為T：聯(lián)結(jié)TB并延長(zhǎng)，與AT交于點(diǎn)S,聯(lián)結(jié)TB、TC.則 NABS=NT bc=zdbtz 二ndtt =90-/dta二nate .又NTDE=NTDB=NTTb=nsts, zdte=ZTBS=90 .故血EBS盜嚕盜又BA、TA =段=源1rli BS TB AB 大此.= TE CT AT又NABS=NDBT=NATE,則ZL4BS 2L4TE=lBAT = EAT -回到原題.由引理知kCaBF =乙IBF f C3AF = Z.IAF = ACAB 2 AIAB =CfA = AI , CB = IB .=48為C7的

3、中垂線.由1FJ.4B =工：F、C，三點(diǎn)共線，且F為Cl的中點(diǎn)0 cl = 2IF = 2r （r 為。/半徑）.類似地，IA=,工B，=2r故I為4ABe的外心，且ZUB，。的外接圓半徑為。I半徑的2倍.如圖，。】與。二的半徑相等，交于X、Y兩點(diǎn).ZL4BC內(nèi)接于。且其垂心H在。二上，點(diǎn)Z使得四邊 形CXZY為平行四邊形.證明：AB、XY、HZ三線共點(diǎn).【答案】見(jiàn)解析【解析】如圖，設(shè)。!、。二的半徑為R, XY的中點(diǎn)為此則點(diǎn)Z與C關(guān)于X對(duì)稱，點(diǎn)。】與。二關(guān)于M對(duì)稱.因此，點(diǎn)Z在。2上.記A4BH的外接圓為O。？.其半徑為aIEABABcIlli/?! = = = = R .:（一4 ZLA

4、CB接下來(lái)證明：Z為。二與。3的交點(diǎn)（異于H）.由?！?、。八。的半徑均為R，知四邊形。二。二、四邊形4。/。1均為菱形.記AB中點(diǎn)為N,則N也為a。?的中點(diǎn).注意到，H與。1分別為ZMBC的垂心與外心.故CH = 20K =。1。3，即C。 = 0? 因?yàn)?，XZ= CY-所以，OiZMOiX + xzuyOi + cyuCOxuH。？.又H為。八。2的個(gè)交點(diǎn)，則Z為兩圓另交點(diǎn).于是，AB、XY、HZ恰為0。、。2、。2兩兩的公共弦.由根軸定理知AB、XY、HZ三線共點(diǎn).如圖，。切相、AC于點(diǎn)B、C,過(guò)C的割線CD4AB交0。于點(diǎn)D, E是AB延長(zhǎng)線上點(diǎn)，直線CE 分別交BD和。于點(diǎn)F、G.延長(zhǎng)

5、BG與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P求證：A、F、P三點(diǎn)共線.【答案】見(jiàn)解析 【解析】如圖，連結(jié) AF、FP、BC.由弦切角性質(zhì)，= LACB = zFDC = zFCD.則AABC與ABCD均為等腰三角形且相似.因此可得黑=受 BC CD于是有月B-CD = BC2. 又由乙BDP =冗一乙BDC =乙CBE,乙DBP =乙DCG =乙BEC,可知4BDP則H =空.BE BD從而由BC = BD可得普二竺, BE BC于是BC? = BE -DP.由與可得力BCD = BE- DP.由 CP/7AE 可知4CDF AEBF,從而空=. F B BE聯(lián)合式，易知營(yíng)=: 由 CP/7AE 可得iFDP

6、 = FBA.從而由式可知44FB z APFD. lAFB = zPFD.如圖，在AABC中，ABAC,圓F是aABC的外接圓，圓a 2過(guò)點(diǎn)B且與AC切于點(diǎn)A,圓過(guò)點(diǎn)C且與AB切于點(diǎn)A,圓。2與圓弓交于A、D兩點(diǎn)，射線BD與圓心交于點(diǎn)E,射線CD與圓。 2交于點(diǎn)F（點(diǎn)E、F均不與D重合），直線BF與CE交于點(diǎn)P。證明：ZBAP=ZCADop【答案】見(jiàn)解析【解析】由A、D、C、E四點(diǎn)共圓及弦切角定理得NCEB=NCAD=NABD.于是，AB/PC.同理）AC/PB.從而，四邊形ABPC為平行四邊形.記AP與BC交于點(diǎn)虬則線段AP與BC互相平分于點(diǎn)M.如圖，延長(zhǎng)AD,與圓r交于點(diǎn)Q，聯(lián)結(jié)BQ、C

7、Q.故 NDBQ-CBD-/CBQ= /8D+NCAD=NCBD+NABD= ZA3C=ZDQC.類似地，ZDCQ=ZDQB.故4DBQ s ADQC =吆=DQ2 = DB DC. D Q D C由弦切定理得Nbad=/acd, zabd=zcad.則 ZL4BD s ACAD = = =AD2 =BD-CD. 由式、，知AD=DQ,即D為AQ的中點(diǎn).由前述證明可知NDBQ二N ABC.又NDQB=NABC,得Z1DBQ /L4BC 今絲=吆 AC BCAC - BQ = BC - DQ = 2CMAQ= CM4Q = .=警.易知NACY=NAQB,于是，AACM - AAQB = /.C

8、AM = Z.QAB = BAM = CAD .如圖，在凸四邊形ABCD中，M為邊AB的中點(diǎn)，且MC=MD.分別過(guò)點(diǎn)C、D作邊BC、AD的垂線，設(shè)兩條垂線的交點(diǎn)為P過(guò)點(diǎn)P作PQ，48與Q.求證：乙PQC = 4QD.【答案】見(jiàn)解析【解析】如圖，連結(jié)PA、PB,分別取PA、PB的中點(diǎn)E、F,連結(jié)EM、ED、FM、FC,則四邊形PEMF為平行四邊形,從而 NPEM=NPFM.由ME = :BP = CF. MF = AP = DE, ID=MC, “ 所以ADEM 空 MFC,即NDEM=NMFC,所以Z PED= Z DEM- Z PEM= Z MFC-Z PFM= Z PFM.又NPED=2N

9、PAD, NPFC=2NPBC,得NPAD=NPBC.由于NPQA=NPDA=90 , ZPOB=ZPCB=90G ,則P、Q、A、D和P、Q、B、C分別四點(diǎn)共圓.故NPQD=NPAD、NPQC=NPBC,所以NPQC=NPQD.如圖，在aABC中，ZABC=90 , Y為邊AC的中點(diǎn)，ATAC, TM的延長(zhǎng)線與BC交于點(diǎn)D,聯(lián)結(jié)TB,證明:ZABT=ZCAD.【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)T作直線TEAC,與直線BC交于點(diǎn)E.由為AC的中點(diǎn)，知TA、TM TC、TE為調(diào)和線束.設(shè)TA的延長(zhǎng)線與直線BC交于點(diǎn)F,則F、D、C、E為調(diào)和點(diǎn)列.設(shè)P為點(diǎn)D在直線AT上的投影，則點(diǎn)F、P、A、T為調(diào)和點(diǎn)列.又 N

10、ABO90，則 NPBA二NABT.注意到，A、P、B、D四點(diǎn)共圓.于是，ZPBA=ZPDA.又由 PDAC, ZABT=ZCAD.如圖，已知。M、。義交于員C兩點(diǎn)，力、。分別在。M、0N上，且水?與。N相切，CD與。M相切,CB的延長(zhǎng)線與4CD的外接圓交于點(diǎn)E .證明：(1) AE-CD = ED-AC：(2)EB = BC .【答案】見(jiàn)解析【解析】如圖，連接力8、BD、AD,延長(zhǎng)力C至尸.因?yàn)榱、CD分別為。認(rèn)OM的切線，所以, TOC o 1-5 h z 乙ACB =乙BDC ,乙BCD = BAC = BCD八 BAC = = ,CD BD由力、E、D、C四點(diǎn)共圓得乙C8D =乙FC

11、D = lAED .又NBCD = 4E4D,則BCD-ZkE/lD =竺=迫.BC BD由式、得竺= -AE-CD = ED-AC. ED CDf4ia dbc-lcba-ldea,得乙DBC = lABC = Z.AED = Z.ABE =n一 L.ABC = ACD.又 UEB = LADC,則仆 AEB-A ADCAE - CD = EB - AD.CD AD同理，ABCAEDAC-ED = BC - AD.tiLEB - AD = BC - AD EB = BC.如圖，48為。的條切線，滿足BD J. 4。，與。的半徑。C交于點(diǎn)E, K力線段4E上一點(diǎn)，作4L |OK與CK交于點(diǎn)心證

12、明：當(dāng)且僅當(dāng)CK與。相切時(shí)，CK = KL.【答案】見(jiàn)解析【解析】如圖,設(shè)KL與。力交于點(diǎn)M.由皿。K,噴啜*詈由皿。K,噴啜對(duì)NOCM和割線/IKE.由梅涅勞斯定理知蕓2.篝=1 . AAf AO C故CK = KL = 乙。ME = lOAC. MA EC設(shè)。過(guò)點(diǎn)C的切線與。4交于點(diǎn)Ml由射影定理知IOD - 0A = OB2 = 0C2 = AOCD AOAC =乙OCD = LOAC.又乙EDM，= nECM = 90。= C, E、D、M四點(diǎn)共圓=4OME = CD = AC.故CK = KL o LOME = lOAC = zOME =點(diǎn)M與M重合。CK為O。的切線.如圖，設(shè) L、

13、M、N 分別為A4BC的NBAC、z CBA、Z ACB 內(nèi)的點(diǎn)，且NBAL=N ACL,LBA=Z LAZ NAC=Z NCB,LBA=Z LAC, N CBM=Z BAM, N MCB=Z MBA,乙 ACN=Z CBN,證明：（1） AL、bm、CNC, N CBM=Z BAM, N MCB=Z MBA,乙 ACN=Z CBN,L、M、N、P四點(diǎn)共圓【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】- = - = . LA LC AC由 ZBLD= Z BAL- Z LBA= Z ACL Z LAC= Z DLC即LD平分NBLC,得處=竺=絲.絲=絲;.DC LC LA LC AC2由塞瓦定理

14、，知AD、BE、CF三線共點(diǎn)，即AL、BM、CN三線共點(diǎn)，記交點(diǎn)為P.(2)如圖，記2UBC的外心為0.注意到,ZBAC=ZACL, ZLBA=ZLAC則乙BLC = lLBA + Z.BAL + 乙LAC + lACL = 2BAC =乙BOC 于是，B、0、L、C四點(diǎn)共圓，即點(diǎn)0在4BLC的外接圓上.因?yàn)锳D平分NBLC,所以，直線AD與BC的垂直平分線的交點(diǎn)為ZlBLC的外接圓的弧衣(不含點(diǎn)L)的中點(diǎn)K.故0K為4L8C外接圓的直徑，。乙JL4K,即N0LP=900.類似地，Z0MP=90 , Z0NP=90 .因此，點(diǎn)L、M、N均在以0P為直徑的圓上，L、M、N、P四點(diǎn)共圓.17.如圖

15、，aABC的內(nèi)切圓分別與邊BC、CA、AB切于點(diǎn)D、E、F, AD與BE交于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線EF、FD、DE的對(duì)稱點(diǎn)分別X、Y、Z,證明：AX. BY、CZ三線共點(diǎn).【答案】見(jiàn)解析【解析】設(shè)直線AX與EF的交點(diǎn)為立線BY與FD的交點(diǎn)為1直線CZ與DE的交點(diǎn)為L(zhǎng),立線PA與EF的交點(diǎn)為R, 直線PB與FD的交點(diǎn)為S,立線PC與DE的交點(diǎn)為T.由直線束EA、EF、EB、ED為調(diào)和線束，知A、R、P、D成調(diào)和點(diǎn)列，且EF為NAXP的平分線,故DMLEF.類似地.ENXFD, FLDE.因此，DM、EN. FL三線共點(diǎn)于aDEF的垂心.土日 FM EL DN 4于是,=1 .ME LD NF又由正

16、弦定理知血券=聯(lián)舞塞=sin4A4 好4 尸 ME類似地.,如15Ae lzcd $inzrs由角元塞瓦定理的逆定理得AX、BY、CZ三線共點(diǎn).18.如圖，已知AABC內(nèi)切圓O1分別與邊AB、BC、AC切于點(diǎn)F、D、Q,直線AD、CF分別與。/交于另點(diǎn)H、K，證明：劇=3.【答案】見(jiàn)解析【解析】 先證明個(gè)引理.引理如圖3, AB、AC與圓分別切于點(diǎn)B、C,割線AP與圓交于點(diǎn)P、Q且點(diǎn)P在A、Q之間.則PQ BO2BP QC二 2BQ PC.證明 由托勒密定理知PQ BC=BP QC-BQ PC.由AB為圓的切線知ABPs2AQBAPBP AP ABAPBP AP AB同理，*故（新=（新=BP

17、.QC = BQ -PC=PQ BC = 2BP - QC = 2BQ - PC 回到原題.由托勒密定理知KF HD=DF -HK+FH *DK.則空竺=3 =出吧=4. FH DKFH DK因?yàn)?、CD均為。/的切線，所以,由引理知KFDQ=2DKFQ, HD - FQ=2FH - DQ.將以上兩式相乘得KF *HDDQFQ=4DK *FH DQ FQ19.如圖，在4/1BC中，ABAC, H為44BC的垂心，M為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)S在邊BC上且滿足NBH仁NCHS,點(diǎn)A在直線HS上的投影為P,證明：4Mps的外接圓與2L4BC的外接回相切.【答案】見(jiàn)解析【解析】如圖，聯(lián)結(jié)AH并延長(zhǎng)，與ZL4

18、BC的外接圓交于點(diǎn)D作DEBC,與ZL4BC的外接口1交于點(diǎn)E.易知，點(diǎn)D、H關(guān)于直線BC對(duì)稱.故 NHCB二 NBCD 二 NCBE.則 C”/BE EB LAB-因此，AE為A4BC外接圓的直徑.又由CH=CD=EB,結(jié)合CHBE知四邊形CHBE為平行四邊形.于是，EH過(guò)點(diǎn)扎設(shè)B： C，為點(diǎn)B、C在邊AC、AB上的投影.延長(zhǎng)EH,與2MBe的外接圓交于點(diǎn)Q.由NAQH=NAQE=90 =ZAPH,得A、Q、B： H、C： P六點(diǎn)共同，且該圓以AH為直徑由乙 BHM =乙 CHS =乙 BHQ =乙 UHP=QBf = PC = PQ/BCFhzEAB + LBrCA = 90 - AEB + 乙ACB = 90=AE JL BrC = 4E JL PQ結(jié)合為QJ,QE,有乙4QP = 4EQ則乙SDH = ZSHD =乙4Hp =乙AQP =乙AEQ =乙4DQ =乙QDH .從而，Q、S、D三點(diǎn)共線.由匕 Q