三角函數(shù)復(fù)習(xí)yj 完整版PPT

1、第四章 三角函數(shù)總復(fù)習(xí)2006/04/20（推廣） 任意角三角函數(shù) 任意角的性質(zhì) 圖象和角的概念的推廣任意角終邊相同的角弧度制本章知識(shí)結(jié)構(gòu)象限角和軸角轉(zhuǎn)化弧長、面積公式定 義同角關(guān)系誘導(dǎo)公式符號(hào)三角函數(shù)線平方商數(shù)奇變偶不變，符號(hào)看象限周期函數(shù)圖象和性質(zhì)y=Asin(wx+)f (x+T)=f (x)正弦余弦正切五點(diǎn)法五性質(zhì)圖像變化、性質(zhì)倒數(shù)1.角的概念的推廣（1）正角，負(fù)角和零角.用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)定義角，并規(guī)定了旋轉(zhuǎn)的正方向，就出現(xiàn)了正角，負(fù)角和零角，這樣角的大小就不再限于00到3600的范圍.（3）終邊相同的角，具有共同的紿邊和終邊的角叫終邊相同的角，所有與角終邊相同的角（包含角在內(nèi)）的集合為.

2、（4）角在“到”范圍內(nèi)，指.（2）象限角和軸線角.象限角的前提是角的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，這樣當(dāng)角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限的角，若角的終邊與坐標(biāo)軸重合，這個(gè)角不屬于任一象限，這時(shí)也稱該角為軸線角.一、基本概念：例1 求經(jīng)過1小時(shí)20分鐘時(shí)鐘的分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度：解：分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度例2 已知是第二象限角，判斷下列各角是第幾象限角 （1） （2）評(píng)析： 在解選擇題或填空題時(shí)，如求角所在象限，也可以不討論k的幾種情況，如圖所示利用圖形來判斷.任意角三角函數(shù)的定義:設(shè)是一個(gè)任意大小的角, 的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),它與原點(diǎn)的距離是r(r0)

3、,那么角的正弦、余弦、正切、分別是P（x，y）Oxy弧度制 （1）角度制與弧度制.用一個(gè)周角1/360的（度的角）作為度量單位來度量角的制度叫角度制.角度制在形數(shù)結(jié)合解決問題時(shí)會(huì)受到一定限制.把長度等于半徑長的弧所對(duì)圓心角叫弧度的角，以弧度的角作為度量單位來度量角的制度叫弧度制.一個(gè)角的弧度數(shù)僅與角的大小有關(guān)，而與所取弧的半徑無關(guān).（2）建立了弧度制后，每一個(gè)角都對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)（這個(gè)角的弧度數(shù)），反之每一個(gè)實(shí)數(shù)也對(duì)應(yīng)于一個(gè)角（這個(gè)角的弧度數(shù)等于該實(shí)數(shù)），因此在實(shí)數(shù)集合與角的集合之間建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. （3）角度與弧度的換算.只要記住，就可以方便地進(jìn)行換算. 應(yīng)熟記一些特殊角的度數(shù)和弧度

4、數(shù). 在書寫時(shí)注意不要同時(shí)混用角度制和弧度制 （4）弧長公式和扇形面積公式. 略解：例3已知角和滿足求角的范圍.解：例4、 已知扇形的周長為定值100，問扇形的半徑和圓心角分別為多少時(shí)扇形面積最大？最大值是多少？扇形面積最大值為625. 正弦線：余弦線：正切線：（2）當(dāng)角的終邊在x軸上時(shí)，正弦線，正切線變成一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角的終邊在y軸上時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在。2.正弦線、余弦線、正切線xyOPTMA有向線段MP有向線段OM有向線段AT注意：（1）圓心在原點(diǎn)，半徑為單位長的圓叫單位圓.在平面直角坐標(biāo)系中引進(jìn)正弦線、余弦線和正切線 例5 已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn) 例6 若為第一象限角，利用三角函

5、數(shù)線證明： 若為其它象限角呢？例7 求函數(shù) 的定義域. 對(duì)于函數(shù)f（x），如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。 對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫f（x）的最小正周期。 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的奇函數(shù).奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),則稱f(x)為這一定義域內(nèi)的偶函數(shù).偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱.3.周期：4

6、.最小正周期：5.奇函數(shù):6.偶函數(shù):振幅、頻率、相位、初相振幅周期頻率相位的相位初相數(shù)學(xué)量的物理意義 中數(shù)學(xué)量的物理意義二、基本公式與性質(zhì)：1.角的弧度:2.弧長公式:3.扇形面積公式:4.三角函數(shù)的符號(hào)xyo0 1 -1 0 +_1 0 0 -1 xyo+_不存在 xyo0 0 不存在 _+_+平方關(guān)系商式關(guān)系5.同角三角函數(shù)基本關(guān)系:（1）上述幾個(gè)基本關(guān)系中，必須注意：它們都是同一個(gè)角的三角函數(shù)，因此sin2+sin2 =1不一定成立；這幾個(gè)恒等式都是在所取的角使等式兩邊都有意義的前提下成立.（2）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系常用于：已知角的某個(gè)三角函數(shù)值，求角的其他三角函數(shù)值；化簡三角函數(shù)式

7、；證明三角恒等式同角三角函數(shù)基本關(guān)系注意事項(xiàng):6.誘導(dǎo)公式:公式1 公式2： 公式3：公式4：公式5：奇變偶不變，符號(hào)看象限?。ㄗ⒁猓喊?看作是銳角）7、兩角和與差的三角函數(shù)（1）預(yù)備知識(shí)：兩點(diǎn)間距離公式xyo（2）兩角和與差的三角函數(shù)1.學(xué)會(huì)公式的正用、逆用 及變形的應(yīng)用;2.注意定義域！公式變形（3）倍角公式注：正弦與余弦的倍角公式的逆用實(shí)質(zhì)上就是降冪的過程。特別.三角形記憶法！例1：已知 是第三象限角，且 ，求 。 三、主要題型解：應(yīng)用：三角函數(shù)值的符號(hào)；同角三角函數(shù)的關(guān)系；例2：已知 ，計(jì)算 解: 應(yīng)用：關(guān)于 的齊次式例3：已知 ，解:應(yīng)用：找出已知角與未知角之間的關(guān)系四、三角函數(shù)的圖

8、象和性質(zhì)圖象y=sinxy=cosxxoy-11xy-11性質(zhì)定義域RR值 域-1，1-1，1周期性T=2T=2奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性o1、正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=sinxyx1-1p/2 2p o3p/2 p五點(diǎn)作圖法p p/2 3p/2 2p oyxp y=cosx1-1對(duì)稱點(diǎn)：(kp,0)對(duì)稱軸：x=kp+p2對(duì)稱軸：x=kp對(duì)稱點(diǎn)：(kp+ ,0)p2T/2kZkZT/2練習(xí)：y=3sin(2x+)的圖像的一條對(duì)稱軸方程是（ ）（A）x=0 (B)x= (C)x=- （D）x= 3B解：令X= 2x+,則y=3sinX,由此可知y=3sinX的圖像的對(duì)稱軸方程為k + /2 ，

9、k Z 2x+k + /2 ，k Z，解得x=k /2+ , k Zy=3sin(2x+)的圖像的對(duì)稱軸方程為：x=k /2+ , k Z令k=0得x= 2、函數(shù) 的圖象（A0, 0 ) 第一種變換: 圖象向左( ) 或向右( ) 平移 個(gè)單位 橫坐標(biāo)伸長( )或縮短( )到原來的 倍 縱坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(A1 )或縮短( 0A1 )或縮短( 0A1 )到原來的A倍 橫坐標(biāo)不變5、對(duì)于較復(fù)雜的解析式，先將其化為此形式：并會(huì)求相應(yīng)的定義域、值域、周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心、對(duì)稱軸；會(huì)判斷奇偶性例4:已知函數(shù) 求：函數(shù)的最小正周期；函數(shù)的單增區(qū)間；解： 應(yīng)用：化同一個(gè)角同一個(gè)函數(shù)例4:已知函數(shù) 求

10、： 函數(shù)的最大值 及相應(yīng)的x的值； 函數(shù)的圖象可以由函數(shù) 的圖象經(jīng)過怎 樣的變換得到。解：圖象向左平移 個(gè)單位圖象向上平移2個(gè)單位 應(yīng)用：化同一個(gè)角同一個(gè)函數(shù)例5：已知解：應(yīng)用：化簡求值3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=tanx圖象 xyo定義域值域R奇偶性奇函數(shù)周期性單調(diào)性五、三角函數(shù)的應(yīng)用 三角函數(shù)的應(yīng)用主要是運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式的證明（包括引出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）。 在掌握本章的知識(shí)的同時(shí)，還應(yīng)注意到本章中大量運(yùn)用的化歸思想，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想。我們用過的化歸包括以下幾個(gè)方面：三角函數(shù)的應(yīng)用：解題思想 1、把未知化歸為已知。例如用誘導(dǎo)

11、公式把求任意角的三角函數(shù)值逐步為求銳角三角函數(shù)值。 2、把特殊化歸為一般。例如把正弦函數(shù)的圖象逐步化歸為函數(shù)y=Asin(x+)，xR（其中A0， 0）的簡圖，把已知三角函數(shù)值求角化歸為求0， 2 上適合條件的角的集合等。 3、等價(jià)化歸。例如進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡、恒等變形和證明三角恒等式。應(yīng)用專題三角代換（1）切割化弦例1、已知試用k表示應(yīng)用專題三角代換（2）“1”的代換例2、已知求的值（3）分拆與配湊例3、的值是例、已知求的值應(yīng)用專題三角代換（）升冪與降冪例、求證：例6、求的值 （5）利用輔助角公式化簡例7、函數(shù)的最小正周期是例8、已知函數(shù)求當(dāng)函數(shù)取y最大值，自變量x的集合.應(yīng)用專題三角函數(shù)

12、的最值型的函數(shù)例1、求的最大值和最小值型的函數(shù)例2、當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值和最小值以下問題均要注意題目所給角的范圍！應(yīng)用專題三角函數(shù)的最值型的函數(shù)例3、求的最小值，并求出y取最小值時(shí)的x的集合型的函數(shù)例4、求函數(shù) 的(a為定值)最大值.（注意：先降次再用輔助角公式化為： ）應(yīng)用專題三角函數(shù)的最值(6)巧用換元法轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)的最值問題型的函數(shù)例5、分別求函數(shù)的最值例6、求函數(shù)的最值例7、已知求函數(shù)的最值 如右圖，曲線是函數(shù)y=Asin(wx+j)，0j0, 即 sinx0.xR且xkp,kz所以原函數(shù)定義域?yàn)椋簒|xR且xkp,kz(2)函數(shù)y=lgt在 （， ）上為增函數(shù)且0|sinx| 1lg|sinx|lg1=0原函數(shù)的值域?yàn)椋海ǎ?例題：令 t= |sinx|(3) 設(shè) f(x)=函數(shù)y=lg|sinx|為偶函數(shù)。lg|sinx|（4） 設(shè)函數(shù)的周期為：Tf(x+T)=lg =lg =f(x)|sinx|sin(x+T)|sinx|sin(x+T)|=T = pf(x)=lg|sin(x)|=f(x)=lg|sinx|討論函數(shù)y=lg|sinx|的性質(zhì)（5）令 t= ,|sinx|y=lg 與 t= 的單調(diào)性相同。|sinx|sinx|又 t= 的遞增區(qū)間為：|sinx|kp,kp+p/2 k Z遞減區(qū)間為：kp+p/2 ，kp+pk Zy=lg 的遞增區(qū)間