實變函數(shù)的復習資料

1、第 第 頁實變函數(shù)的復習資料1、 證明：(A B) C A (B C)；(A B) C (A C) (B C)。2、 證明：單調(diào)上升下降有上界下界的數(shù)列*n必有上確界下確界，且sup*n lim*n，nninf*n lim*n。 nn3、 證明：假設An單增，那么limAn An；假設An單減，那么limAn An。 n n 1n n 1114、 證明：Ef a Ef a ；Ef a Ef a 。 n 1n 1nn5、 證明：任何無限集必與其一個真子集對等。6、 證明：假設A是無限集，B是有限集或可數(shù)集，那么A B A。7、 證明：有理數(shù)全體成一可數(shù)集。8、 證明：開區(qū)間(0,1)是一不可數(shù)集

2、。9、證明：無理數(shù)全體成一不可數(shù)集。二、點集1、設A B，證明：A B ,A0 B0,A B。2、證明： A A A。3、設E是0,1中的全體有理點，求E在R內(nèi)的E ,E0,E。4、設E (*,y)|0 * y 1，求E在R內(nèi)的全體內(nèi)點集，外點集，界點集，聚點集，孤立點集。5、設E R，證明：E是開集，E 和E是閉集。6、證明開集的任意并、有限交仍為開集。并舉例說明開集的任意交不肯定是開集。7、證明開集與閉集的對偶性。8、證明：點集F為閉集的充要條件是F F。9、設f(*)是定義在R上的函數(shù)，那么f(*)在其上連續(xù)的充要條件是：對任意開集G，點集n012220f 1(G) *|f(*) G是開

3、集。三、測度論n1、 假設E (0,0, ,0) R，求mE。 *2、 證明：假設A B，那么mA mB。3、 假設mA 0，那么對任意B，證明：m*(A B) m*B。4、 假設m*(E1E2) m*(E2E1) 0，證明：m*(E1 E2) m*(E1 E2) m*E1 m*E2。5、 設S1,S2均為可測集，S2 S1且mS2 ，證明：m(S1 S2) mS1 mS2。6、 證明：凡外測度為零之集皆可測。7、 假設* 1,2,3， 1,2,3，試寫出*上由 所生成的 代數(shù)。8、 假設En是一列可測集，證明：1limEn與limEn都是可測集；n n *2m(En) mEn；n n3假設m

4、(n 1UEn) ，那么limmEn m(limEn)。 n n9、假設可測集列En滿意四、可測函數(shù) m(En 1 n) ，證明m(limEn) 0。 n1、 假設E是可測集，f(*) c,* E，c為常數(shù)，證明f(*)是E上的可測函數(shù)。2、 假設E是可測集，A E，f(*)為定義在E上的函數(shù)，f(*)數(shù)的充要條件是E為可測集。3、 設f(*)是定義在可測集E上的函數(shù)，證明：f(*)是E上的可測函數(shù)的充要條件是對任意有限實數(shù)a， 1,* A，證明f(*)是E上可測函 0,* AEf a是可測集。4、 證明可測集上的連續(xù)函數(shù)必是可測函數(shù)。5、 設E R是可測集，f(*)為定義在E上的實函數(shù)，證明

5、：f(*)為E上的可測函數(shù)的充要條件是對任意開集G R，f 1n(G)是可測集。6、 設fn(*)依測度收斂于f(*)，證明：fn(*)依測度收斂于g(*)的充要條件是 f(*) g(*)a.e.于E。7、 設fn(*)是可測集E上一列可測函數(shù)，f(*) a.e.于E。假設對任給 0,存在E的可測子集E ，使得m(EE ) ，且fn(*)在E 上全都收斂于f(*)，證明：fn(*)在E上幾乎到處收斂于f(*)。8、 設E是可測集，f(*) a.e.于E，假設對任給 0,存在E的閉子集F，使得m(EF) ，且f(*)在F上連續(xù)，證明：f(*)是E上的可測函數(shù)。五、積分論1、 設mE ，f(*)是

6、定義在E上的非負可測函數(shù)，證明：假設f(*)在E上有界，那么f(*) 在E上L可積。2、 設E是可測集，f(*)是定義在E上的非負可測函數(shù)，證明：1假設 Ef(*)d* 0，那么f(*) 0a.e.于E；2假設A,B是E的兩個互不相交的可測子集，那么 A Bf(*)d* f(*)d* f(*)d*。 AB3、設E是可測集，f(*)與g(*)都是定義在E上的非負可測函數(shù)，證明：假設f(*) g(*)，那么 Ef(*)d* g(*)d*。 B4、設A,B是可測集且A B，f(*)是定義在B上的非負可測函數(shù)，證明： Af(*)d* f(*)d*。 BE上一列非負可測函數(shù)，當* E時，對任意n Z有fn(*) fn 1(*)且5、設E是可測集，fnn 1為limfn(*) f(*)。假設 f1(*)d* ，證明：lim fn(*)d* f(*)d*。 n En EE6、設E是可測集