自動控制原理課件之 線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

1、自動控制原理杭州電子科技大學(xué)“自動控制原理精品課程課題組2021.102006年度浙江省精品課程2.3 結(jié)構(gòu)圖引言結(jié)構(gòu)圖的組成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 結(jié)構(gòu)圖的簡化和變換規(guī)那么2引言結(jié)構(gòu)圖方塊圖的含義控制系統(tǒng)都是由一些元部件組成的。根據(jù)不同的功能，可將系統(tǒng)劃分為假設(shè)干環(huán)節(jié)或者叫子系統(tǒng)，每個子系統(tǒng)的功能都可以用一個單向性的函數(shù)方塊來表示。方塊中填寫表示這個子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，輸入量加到方塊上，那么輸出量就是傳遞結(jié)果。 3根據(jù)系統(tǒng)中信息的傳遞方向，將各個子系統(tǒng)的函數(shù)方塊用信號線順次連接起來，就構(gòu)成了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，又稱系統(tǒng)的方塊圖。系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖實(shí)際上是系統(tǒng)原理圖與數(shù)學(xué)方程的結(jié)合，因此可以作為系

2、統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種圖示。4一、結(jié)構(gòu)圖的組成 結(jié)構(gòu)圖的每一元件用標(biāo)有傳遞函數(shù)的方框表示。方塊外面帶箭頭的線段表示這個環(huán)節(jié)的輸入信號箭頭指向方框和輸出信號箭頭離開方框，其方向表示信號傳遞方向。箭頭處標(biāo)有代表信號物理量的符號字母。 元件的結(jié)構(gòu)圖5 把系統(tǒng)中所有元件都用上述方框形式表示，按系統(tǒng)輸入信號經(jīng)過各元件的先后次序，依次將代表各元件的方塊用連接線連結(jié)起來。顯然，前后兩方塊連接時，前面方塊輸出信號必為后面方塊的輸入信號。 6 對于閉環(huán)系統(tǒng)，需引入兩個新符號，分別稱為相加點(diǎn)比較點(diǎn)、綜合點(diǎn)和分支點(diǎn)引出點(diǎn)、測量點(diǎn)。 結(jié)構(gòu)圖的相加點(diǎn)(a)和分支點(diǎn)(b)7相加點(diǎn) 如圖(a)所示，它是系統(tǒng)的比較元件，表示兩個以

3、上信號的代數(shù)運(yùn)算。箭頭指向的信號流線表示它的輸入信號，箭頭離開它的信號流線表示它的輸出信號；附近的、號表示信號之間的運(yùn)算關(guān)系是相加還是相減。 8在框圖中，可以從一條信號流線上引出另一條或幾條信號流線，而信號引出的位置稱為分支點(diǎn)或引出點(diǎn)如圖(b)所示。需要注意的是，無論從一條信號流線或一個分支點(diǎn)引出多少條信號流線，它們都代表一個信號，即原始信號的大小。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖是由表示系統(tǒng)各個元件的傳遞函數(shù)方框，根據(jù)信號之間的相互關(guān)系連接構(gòu)成的圖形。 9小結(jié)：任何系統(tǒng)都可以由信號線、函數(shù)方塊、信號引出點(diǎn)及求和點(diǎn)組成的方塊圖來表示。求和點(diǎn)函數(shù)方塊引出點(diǎn)函數(shù)方塊信號線10二、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的建立建立控制系統(tǒng)各部件的微分

4、方程注意相鄰元件之間的負(fù)載效應(yīng)影響；對各微分方程在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，并作出各元件的方塊圖；按照系統(tǒng)中各變量的傳遞順序，依次將各元件的框圖連接起來，便得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。11121314以機(jī)電隨動系統(tǒng)為例，建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)組成：電位器電橋、放大器、直流電動機(jī)、齒輪系和負(fù)載15電位器電橋：放大器：電樞控制的直流電動機(jī)：減速器-齒輪系統(tǒng)(1)列寫各元件的微分方程16(2)象方程17(3)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(1)18(3)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(2)19(3)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(3)20(3)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(4)21(3)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(5)22)(sMm)(s

5、mqsfJs+21(3)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(6)23(3)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(7)24(3)系統(tǒng)各元部件的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖(8)25三、閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 圖中各信號之間的關(guān)系為 式中E(s)和B(s)分別為偏差信號和反響信號的拉氏變換，H(s)為閉環(huán)系統(tǒng)中的反響傳遞函數(shù)。閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖（無干擾作用）26開環(huán)傳遞函數(shù)：反響信號B(s)與偏差信號E(s)之比。即前向傳遞函數(shù)：輸出量C(s)和偏差信號E(s)之比。即單位反響系統(tǒng)：如果反響傳遞函數(shù)等于1，那么開環(huán)傳遞函數(shù)和前向傳遞函數(shù)相同，并稱這時的閉環(huán)反響系統(tǒng)為單位反響系統(tǒng)。 27閉環(huán)傳遞函數(shù)：系統(tǒng)輸出量C(s)和輸入量R(s)之間的關(guān)系 消

6、去E(s)可得 上式就是系統(tǒng)輸出量C(s)和輸入量R(s)之間的傳遞函數(shù)，稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)。28閉環(huán)傳遞函數(shù)將閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)特性與前向通道環(huán)節(jié)和反響通道環(huán)節(jié)的動態(tài)特性聯(lián)系在一起?？梢?，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出量取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸入量的性質(zhì)。 29擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 如果有擾動存在，根據(jù)線性系統(tǒng)滿足疊加性原理的性質(zhì)，可以先對每一個輸入量單獨(dú)地進(jìn)行處理，然后將每個輸入量單獨(dú)作用時相應(yīng)的輸出量進(jìn)行疊加，就可得到系統(tǒng)的總輸出量。 擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖30 系統(tǒng)對擾動N(s)的響應(yīng)CN(s)為 系統(tǒng)對參考輸入量R(s)的響應(yīng)CR(s)為 參考輸入量R(s)和擾動量N(s)同時作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的

7、響應(yīng)總輸出 C(s)為 31四、結(jié)構(gòu)圖的簡化和變換規(guī)那么結(jié)構(gòu)圖表示了系統(tǒng)中各信號之間的傳遞與運(yùn)算的全部關(guān)系；有時結(jié)構(gòu)圖比較復(fù)雜，需簡化后才能求出傳遞函數(shù)(如薛安克教材例2-8)；等效原那么：對結(jié)構(gòu)圖任何局部進(jìn)行變換時，變換前后該局部的輸入量、輸出量及其相互之間的數(shù)學(xué)關(guān)系應(yīng)保持不變。32串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化 n個環(huán)節(jié)每個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 ， 串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于n個傳遞函數(shù)相乘，即 33并聯(lián)環(huán)節(jié)的簡化 任意n個環(huán)節(jié)并聯(lián)系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)是各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。 34反響回路的簡化35相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動相加點(diǎn)前移相加點(diǎn)后移36分支點(diǎn)前移分支點(diǎn)后移37相鄰相加點(diǎn)的移動相鄰分支點(diǎn)的移動3839應(yīng)當(dāng)指出

8、，在結(jié)構(gòu)圖簡化過程中，兩個相鄰的相加點(diǎn)和分支點(diǎn)不能輕易交換!。 總之，根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信息流向，可建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。在確定輸入量和輸出量后，經(jīng)對結(jié)構(gòu)圖的簡化和運(yùn)算，就能求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。40引出點(diǎn)移動G1G2G3G4H3H2H1abG1G2G3G4H3H2H1G41請你寫出結(jié)果,行嗎？41錯！G2H1G1G3綜合點(diǎn)移動G1G2G3H1G2無用功向同類移動G142G1G4H3G2G3H1作用分解H1H3G1G4G2G3H3H143采用結(jié)構(gòu)圖變換方法求取傳遞函數(shù)的步驟觀察結(jié)構(gòu)圖，適當(dāng)移動相加點(diǎn)和分支點(diǎn)，將結(jié)構(gòu)圖變換成三種典型連接形式串聯(lián)、并聯(lián)和反響。對于多回路的結(jié)構(gòu)圖，先求內(nèi)

9、回路的等效變換方框圖，再求外回路的等效變換方框圖。求出傳遞函數(shù)。44*2.4 信號流程圖引言信號流圖的定義和有關(guān)術(shù)語信號流圖的性質(zhì)Mason公式Mason公式應(yīng)用舉例根據(jù)微分方程繪制信號流圖根據(jù)方塊圖繪制信號流圖45比較復(fù)雜的控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖往往是多回路的，并且是交叉的。在這種情況下，對結(jié)構(gòu)圖進(jìn)行簡化是很麻煩的，而且容易出錯。如果把結(jié)構(gòu)圖變換為信號流圖，再利用梅遜Mason公式去求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，就比較方便了。引言46一、信號流圖的定義和有關(guān)術(shù)語信號流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。節(jié)點(diǎn)表示方程中的變量，用“o表示。連接兩個節(jié)點(diǎn)的線段叫支路。支路是有方向性的，用箭頭表示；箭頭由自變量因

10、，輸入變量指向因變量果，輸出變量；標(biāo)在支路上的增益代表因果之間的關(guān)系，即方程中的系數(shù)。 47根據(jù)以下圖介紹信號流圖中的有關(guān)術(shù)語信號流圖48輸入節(jié)點(diǎn)源：僅具有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。圖中的x1。輸出節(jié)點(diǎn)阱：僅有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。有時信號流圖中沒有一個節(jié)點(diǎn)是僅具有輸入支路的。只要定義信號流圖中任一變量為輸出變量，再從該節(jié)點(diǎn)變量引出一條增益為1的支路，即可形成一輸出節(jié)點(diǎn)。如圖中的x6 ?；旌瞎?jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖中的x2，x3， x4 ， x5。49通道：沿支路箭頭方向而穿過各相連支路的途徑。開通道:與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通道。閉通道回路:通道的終點(diǎn)就是起點(diǎn)，并且與任何其他節(jié)點(diǎn)相交不多

11、于一次的通道。 前向通道：如果從輸入節(jié)點(diǎn)源到輸出節(jié)點(diǎn)阱的通道上，通過任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的通道。如 50前向通道增益：前向通道上各支路增益乘積，稱前向通道增益，用Pk表示?；芈罚浩瘘c(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn)，并與其它節(jié)點(diǎn)相遇僅一次的通路，也就是閉合通道。如回路增益：回路中所有支路的乘積稱為回路增益，用La表示。 51不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點(diǎn)時，這種回路叫做不接觸回路在各回路中，沒有同一信號流過。在信號流圖中，可以有兩個或兩個以上不接觸回路。例如 52二、信號流圖的性質(zhì)信號流圖適用于線性系統(tǒng)。支路表示一個信號對另一個信號的函數(shù)關(guān)系，信號只能沿支路上的箭頭指向傳遞。在節(jié)點(diǎn)上可以把所有輸入支路的信號疊

12、加，并把相加后的信號送到所有的輸出支路?；旌瞎?jié)點(diǎn)增加一個具有單位增益的支路可以把它作為輸出節(jié)點(diǎn)來處理。對于一個給定的系統(tǒng)，信號流圖不是唯一的。由于描述同一個系統(tǒng)的方程可以表示為不同的形式，所以可以畫出不同種信號流程圖。 53三、Mason公式 用梅遜公式可以直接求信號流圖從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的增益，其表達(dá)式為 P系統(tǒng)總增益對于控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖而言，就是輸入到輸出的傳遞函數(shù)； k前向通道數(shù)目； Pk第k條前向通道的增益； 信號流圖的特征式。 k Pk的余因式。在特征式中，將其與第k條前向通道接觸的回路所在項(xiàng)后除去后余下局部。 54信號流圖的特征式，它是信號流圖所表示的方程組的系數(shù)矩陣的行列式。在

13、同一個信號流圖中不管求圖中任何一對節(jié)點(diǎn)之間的增益，其分母總是，變化的只是其分子。 所有不同回路增益乘積之和； 所有任意兩個互不接觸回路增益乘積之和； 所有任意三個互不接觸回路增益乘積之和； 所有任意m個不接觸回路增益乘積之和。 55四、 Mason公式應(yīng)用舉例 例2-10 系統(tǒng)的方塊圖如下所示，試用梅遜公式求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖56 解 從圖中可以看出，該框圖只有一個前向通路，其增益為 有三個獨(dú)立回路 沒有兩個及兩個以上的互相獨(dú)立回路。特征式為 因?yàn)橥ǖ繮1與三個回路都接觸，所以有 。 因此，輸入量和輸出量之間的總增益或閉環(huán)傳遞函數(shù)為57R(s)C(s)L1= G1

14、H1L2= G3 H3L3= G1G2G3H3H1L4= G4G3L5 = G1G2G3L1L2= (G1H1) (G3H3) = G1G3H1H3L1L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G

15、2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s)H3(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s)G4(s)G3(s)梅遜公式例R-C H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G4(s) H1(s)H3(

16、s) G1(s) G2(s) G3(s)P2= G4G3P1=G1G2G31=12=1+G1H1C(s)R(s)=?請寫出結(jié)果58G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)P1=11=1+G2H2P11= ?E(s)=1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2- G1H1(G2H3)R(s) N(s)(1+G2H2)(- G3G2H3)+R(s)E(S)G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)C(s)N(s)R(s)E(S)G

17、3(s)G2(s)H3(s)E(S)R(s)G1(s)H1(s)H2(s)C(s)P2= - G3G2H32= 1P22=?梅遜公式求E(s)P1= G2H31= 1N(s)G1(s)H1(s)H2(s)C(s)G3(s)G2(s)H3(s)R(s)E(S)59取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo (s)作為信號流圖的節(jié)點(diǎn)Ui(s)、Uo(s)分別為輸入及輸出節(jié)點(diǎn)五、根據(jù)微分方程繪制信號流圖606162只有一條前向通路三個不同回路L1、L2不接觸 P1與L1、L2、L3均接觸6364六、根據(jù)方塊圖繪制信號流圖65666768只有一條前向通道的多回路系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)梅遜公式閉環(huán)系統(tǒng)輸入量到輸出量間的串聯(lián)環(huán)節(jié)的總傳遞函數(shù),即前向通路傳遞函數(shù)的乘積。n 閉環(huán)系統(tǒng)所具有的反響回路的總數(shù)i 各反響回路的序號閉環(huán)系統(tǒng)