導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性題型歸納總結(jié)教師版

1、單調(diào)性題型歸納總結(jié)題型一：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域.求fx). (3)解不等式fx)O,得到單調(diào)遞增區(qū)間.解不等式fx)0,即卩(一X2+ 2)ex0 ,因為 ex0 ,所以一x2+ 20 ,解得一 2x0,則其在區(qū)間(一 上的解集為 一 U 0, ,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 一 -和0 , 2 .題型二：討論含參的單調(diào)性策略：(1)研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論.(2)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn).ax例1、已知函數(shù)f(x) = x2e1(a是常數(shù))，求函數(shù)y=

2、 f(x)的單調(diào)區(qū)間【解析】當(dāng)a= 0時，f(x)= x2 1,函數(shù)在(0, +上單調(diào)遞增，在( 0)上單調(diào)遞減.axaxaxax當(dāng) a 0寸，fx) = 2xe+ x2( a) e = e ( ax2+ 2x).因為 e 0,2 所以令 g(x) = ax2+ 2x = 0,解得 X= 0 或 X=.a2U當(dāng) a0 時，函數(shù) g(x) = ax2+ 2x在(, 0)和 ，+上有 g(x)0,即 fx)0,函數(shù)a2y= f(x)單調(diào)遞減；函數(shù) g(x) = ax2 + 2x在0, 上有g(shù)(x) ,a即f刈,函數(shù)y= f(x)單調(diào)遞增.2U 當(dāng) a 0,即 fx) 0 ,函數(shù)a2y= f(x)遞

3、增；函數(shù)g(x)= ax2+ 2x在 孑0上有g(shù)(x) ,即fx),函數(shù) y= f(x)遞減.綜上所述，當(dāng)a= 0時，函數(shù)y = f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+)單調(diào)遞減區(qū)間為(, 0);2 2當(dāng)a0時，函數(shù)y= f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(一 0), a, + ,單調(diào)遞增區(qū)間為0, a ；當(dāng)a0時，函數(shù)y= f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, +)單調(diào)遞減區(qū)間為2, 0. a變式訓(xùn)練1:函數(shù)f(x) = ex 1(b R)在點(diǎn)(0, f(0)處切線經(jīng)過點(diǎn)(2, 2). e討論函數(shù)F(X) = f(x)+ ax(a R)的單調(diào)性.【解析】f(0) = b 1 ,過點(diǎn)(0, b 1), (2, 2)直

4、線斜率b 120 2而 f (x)= 2, f (0) = b = ,所以 b= 1, f(x) =1.e2e1 1則 F(X)= ax+ ex 1, F (X) = a x,當(dāng) a 0 時，F(xiàn) (x)0 時，由 F (x)0 ,得 x0 ,得x In a.故當(dāng)a 0時，函數(shù)F(X)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a0時，函數(shù)F(X)在(, In a)上單調(diào)遞減，在(In a, + )上單調(diào)遞增.變式訓(xùn)練2 :已知函數(shù)f(x) = ax2 (a + 1)x + In x(a0),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.【解析】f (X) = ax (a + 1) + = ax11 (x0), TOC o 1-5 h z

5、XX111當(dāng) 0a1 ,由 f (x)0,解得 x 或 0 x1 ,由 f (x)0 ,解得 11時，00 ,解得 x1 或 0 x ,由 f (x)0 ,解得-x1.aa11綜上，當(dāng)0a1時，f(x)在(1, + )和0,-上單調(diào)遞增，在 -，1上單調(diào)遞減.aa題型三：已知單調(diào)性求參數(shù)1 例 1、已知函數(shù) f(x)= In x, g(x)= 2ax2+ 2x(a 0).若函數(shù)h(x) = f(x) g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；若函數(shù)h(x) = f(x) g(x)在1,4上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.1【解析】(1)h(x) = In x 2ax2 2x, x (0,+),1所以

6、hx)= - ax 2,由于h(x)在(0, + )存在單調(diào)遞減區(qū)間，X1 1 2 所以當(dāng)x (0,+ 時，-ax 22 一有解. TOC o 1-5 h z XX121設(shè) G(X)= p,所以只要 aG(x)min 即可.而 G(X) = X 1 2 1,所以 G(x)min = 1. XXX所以a 1.又因為a0所以a的取值范圍為(一1,0) U (0 + ).1因為h(x)在1,4上單調(diào)遞減，所以當(dāng) XU 1,4時，h x)= - ax 20恒成立，X2 1 2 1 X恒成立.由(1)知 G(X)= X2 X 所以 a3(x)max,而 G(X)= 1 2 1,117因為 X U 1,4

7、,所以 XU 4， 1 ,所以 G(X)max = 16(此時 X= 4),所以a-，又因為a0所以a的取值范圍是-，0 U (0,+)變式訓(xùn)練1、函數(shù)f(x)= xln x ax2在(0, + )上單調(diào)遞減，貝U實數(shù)a的取值范圍是_【解析】fx)= In x 2ax+ 1 ,若f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減，In x+ 1則In x 2ax+ 10在(0, + )恒成立，即 a 2x 在(0, + 上恒成立.令 g(x)=In 2：1，XU(0+ )則 g x)=2xx令 g )0,解得 0 x1 ,令 g)1,故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1, + 上單調(diào)遞減，故g(x)max=

8、g(1) = *,故a.11 2變式訓(xùn)練2、若f(x) = -3x3+ 1x2 + 2ax在3+ 上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則a的取值范圍是.1 1 【解析】對 f(x)求導(dǎo)，得 fx) =- x2 + x+ 2a=- X-2 2+ - + 2a.2 2由題意知，f)o在3,+ 上有解，當(dāng)x 3，+ 時，f)最大值為 TOC o 1-5 h z 22211f3 = Q + 2a.令-+ 2a0 ,解得a 石，所以a的取值范圍是 一-,+ .39999 1變式訓(xùn)練3、若函數(shù)f(x) = X 3sin 2x + asin X在(-,+ )單調(diào)遞增，則 a的取 3值范圍是.【解析】fx)= 1 24253

9、c0s 2x + acos X = = cos2 x+ acos x+3f(x)在R上單調(diào)遞增，則fx) (在R上恒成立.令 cos X= t, t - 1, 1,則一3t2+ at +10在 1, 1上恒成立, 即 4t2 3at 50在 tU 1, 1上恒成立.g (1) = 4 3a 5 0,11令 g(t)= 4t2 3at 5,貝U解得1a1g ( 1)= 4 + 3a 5033變式訓(xùn)練4、若函數(shù)f(x) = ax3+ 3x2 X恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)a范圍是【解析】易知fx)= 3ax2+ 6x 1,由函數(shù)f(x)恰好有三個單調(diào)區(qū)間，得fx)= 0有2個不同的實根.需滿足 a0

10、,且= 36+ 12a0,解得 a 3,所以實數(shù)a的取值范圍是(一3, 0) U (Q +).f g x f h x的恒題型四：與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的恒成立問題與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的恒成立問題主要有兩大類，一是形如成立問題，利用f X的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為g X h X或g X h X恒成立問題，二是f X g N f X2g X2O恒成立問題，轉(zhuǎn)化為X g X是增函數(shù)。(一)形如f g X f h x的恒成立問題。例1、函數(shù)ff X1f X2亠X對任意的x1, x2R x1X2 ,都有-一 O,右對所為X2有t1,1都有f t tf (3 k t)成立，則k的最小值為f X1f X20 , f (X)【解析

11、】函數(shù)f X對任意的X1,X2R X1 X2 ,都有X1X2是減函數(shù)，由 ft t2 f (3k t)得t t23 kt ,即 Pk t22t 3 (t 1)2 2 , t 1,1,所以(t1)2 26, 2 , k 2 , k的最小值為 2 .故答案為： 2 .變式訓(xùn)練1、已知函數(shù)?= 1 - 缶，當(dāng)？?0時，不等式？?+ ?+ ?1 - ? 0恒成立，則實數(shù)？的取值范圍是()A . (- ,1B. (0,1(-1,1D. (0,刃2【解析】易知? = 1 -尹+1單調(diào)遞增,? = 1 -2 _ 2?12?+? = 2?7+?，2-? 112?則?-?)= 2?Tr=PIr= - ?(?,故

12、?為奇函數(shù)，當(dāng)？?0時，不等式？?+ ?+ ?1- ? 0恒成立等價為?%+ ? -?(1 - ?即?+ ? ?- 1)恒成立，故？?+? ?- 1在？?0時恒成立當(dāng)x=0時，0 0恒成立，a R當(dāng)x0時,?1?1?+2+?5?/(？_2)a r-,設(shè) g(?=-?-則?(?= )?設(shè) h(?= ?H 2 + ?胃？ 2),? (?= ? 1) + 1,? (?= ? 0,則? (?單增， 又？ U) = 0,則當(dāng) 0 x1,? (?1,? (? 0,故 h(? h(1) = 0,即?(? 0,1 1 1故g(?單調(diào)遞增，當(dāng)X 0,g(? 2,故a 2綜上a P故選COf X1(二)形如g &

13、 f X2g X2X1 X10 (或 ? ?時，？?/ ?+ ?+ ?恒成立，求實數(shù)？?的取值范圍【解析】由? = ?+ ?得？?(？= ?+ ?若? 0,則？?(？ 0,即?= ?+ ?在 (- ,+)上是增函數(shù);若? 0得? ln(-?),令?(? 0得? ln(-?),即?= ?+ ?在(- , n (-?)上是單調(diào)減函數(shù)，在(| n(-?), + 8 )上是單調(diào)增函數(shù)(2) (i)設(shè)切點(diǎn)為(？?,？?), ?= ?+ ?得？?(?= ?+ ?由題意得? + ?= 2 ? = ? + ?,消去？與?得? - ? + 1 = 0, 2? - ? + 1 = 0令? = ?1 ?+ 1?(?

14、 = ? 0時，？?(？ 0時，？?(?？ 0； ?= 0時，？?(?？= 0；.?在(-,0)上是減函數(shù)，在(0,+)上是增函數(shù), ?min = ?0) = 0,即？= ?- ?+1 僅有一個零點(diǎn)？?= 0,即方程? - ? + 1 = 0僅有一個根？?= 0, ?= 2 - ? = 1(ii)由(i)知 ?= ?+ ? ?) - ?) (?- ?)(?+ ?+ 1),即為?) - ?- ? ? 0知，上式等價于函數(shù) ？= ?- ?- ?= ?- ?在(0,+ )為增函數(shù)?-?-?,?刃？-1)?(?= ?- 2?0,即 2? 刁，令?(?=丙(? 0), ? (?= 才? (? 0時，0 ? 0時，？? 1 ; ? (?= 0時，？?= 1?(?在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+)上單調(diào)遞增,? ?(?min = ?(1) = ?則 2? ?即? P 所以實數(shù)？?的范圍為(-2i,?變式訓(xùn)練 1、已知?(?=方,? ?且？? ? ? ?,?；?；? ?亙成立，貝y實數(shù)？的取值范圍是(? ?A (- ,祠 B 厲?,+8?C厲?,+?D (- ,?【解析