中考總復(fù)習(xí)：平面直角坐標系與一次函數(shù)、反比例函數(shù)-知識點整理及重點題型梳理（提高）

1、北師大版數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習(xí)中考總復(fù)習(xí)：平面直角坐標系與一次函數(shù)、反比例函數(shù)-知識講解（提高）【考綱要求】結(jié)合實例，了解常量、變量和函數(shù)的概念，體會“變化與對應(yīng)”的思想；會確定函數(shù)自變量的取值范圍，即能用三種方法表示函數(shù)，又能恰當(dāng)?shù)剡x擇圖象去描述兩個變量之間的關(guān)系；理解正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念，會畫他們的圖象，能結(jié)合圖象討論這些函數(shù)的基本性質(zhì)，能利用這些函數(shù)分析和解決有關(guān)的實際問題.【知識網(wǎng)絡(luò)】 【考點梳理】考點一、平面直角坐標系1.平面直角坐標系平面內(nèi)兩條有公共原點且互相垂直的數(shù)軸構(gòu)成了平面直角坐標系，坐標平面內(nèi)一點對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對叫做這點的坐標

2、.在平面內(nèi)建立了直角坐標系，就可以把“形”（平面內(nèi)的點）和“數(shù)”（有序?qū)崝?shù)對）緊密結(jié)合起來.2各象限內(nèi)點的坐標的特點、坐標軸上點的坐標的特點 點P(x,y)在第一象限；點P(x,y)在第二象限；點P(x,y)在第三象限；點P(x,y)在第四象限；點P(x,y)在x軸上，x為任意實數(shù)；點P(x,y)在y軸上，y為任意實數(shù)；點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）.3.兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x與y相等；點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù).4.和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征位于平行于x軸

3、的直線上的各點的縱坐標相同；位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐標相同.5.關(guān)于x軸、y軸或原點對稱的點的坐標的特征點P與點p關(guān)于x軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)；點P與點p關(guān)于y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)；點P與點p關(guān)于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數(shù).6.點P(x,y)到坐標軸及原點的距離（1）點P(x,y)到x軸的距離等于；（2）點P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于；（3）點P(x,y)到原點的距離等于.7.在平面直角坐標系內(nèi)兩點之間的距離公式如果直角坐標平面內(nèi)有兩點，那么A、B兩點的距離為：.兩種特殊情況：（1）在直角坐標平面內(nèi)，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：（2）在直角坐標平

4、面內(nèi)，軸或平行于軸的直線上的兩點的距離為：要點詮釋：（1）注意：x軸和y軸上的點，不屬于任何象限；（2）平面內(nèi)點的坐標是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標.考點二、函數(shù)1.函數(shù)的概念設(shè)在某個變化過程中有兩個變量x、y,如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它相對應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫做自變量.2.自變量的取值范圍對于實際問題，自變量取值必須使實際問題有意義.對于純數(shù)學(xué)問題，自變量取值應(yīng)保證數(shù)學(xué)式子有意義.3表示方法解析法；列表法；圖象法.4畫函數(shù)圖象 （1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值；（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標，在坐標平

5、面內(nèi)描出相應(yīng)的點；（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來.要點詮釋： （1）在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量；（2）確定自變量取值范圍的原則：使代數(shù)式有意義；使實際問題有意義.考點三、幾種基本函數(shù)（定義圖象性質(zhì)）1.正比例函數(shù)及其圖象性質(zhì)（1）正比例函數(shù)：如果y=kx(k是常數(shù)，k0)，那么y叫做x的正比例函數(shù)（2）正比例函數(shù)y=kx（ k0)的圖象： 過（0，0），（1，K）兩點的一條直線 （3）正比例函數(shù)y=kx （k0)的性質(zhì) 當(dāng)k0時，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大； 當(dāng)k0時，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的

6、增大而減小 . 2.一次函數(shù)及其圖象性質(zhì)（1）一次函數(shù)：如果y=kx+b(k,b是常數(shù)，k0),那么y叫做x的一次函數(shù)（2）一次函數(shù)y=kx+b（k0)的圖象 （3）一次函數(shù)y=kx+b（k0)的圖象的性質(zhì)一次函數(shù)ykxb的圖象是經(jīng)過(0，b)點和點的一條直線當(dāng)k0時，y隨x的增大而增大；當(dāng)k0k0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第一、三象限.在每個象限內(nèi)，y隨x 的增大而減小.x的取值范圍是x0，y的取值范圍是y0；當(dāng)k0時，函數(shù)圖像的兩個分支分別在第二、四象限.在每個象限內(nèi)，y隨x 的增大而增大.（5）反比例函數(shù)解析式的確定：利用待定系數(shù)法（只需一對對應(yīng)值或圖象上一個點的坐標即可求出）（6）“

7、反比例關(guān)系”與“反比例函數(shù)”：成反比例的關(guān)系式不一定是反比例函數(shù),但是反比例函數(shù)中的兩個變量必成反比例關(guān)系.（7）反比例函數(shù)的應(yīng)用 反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義，如下圖，過反比例函數(shù)圖像上任一點 作x軸、y軸的垂線PM，PN，垂足為M、N，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=. .(8)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題 若正比例函數(shù)(0)，反比例函數(shù)，則 當(dāng)時，兩函數(shù)圖象無交點； 當(dāng)時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，坐標分別為(，)，(，)由此可知，正反比例函數(shù)的圖象若有交點，兩交點一定關(guān)于原點對稱要點詮釋：（1）用待定系數(shù)法求解析式（列方程組求解）；（2）利用一次（正比例）函數(shù)、反比例函數(shù)的

8、圖象求不等式的解集.【典型例題】類型一、坐標平面有關(guān)的計算1已知：如圖所示，（1）寫出ABC三個頂點的坐標；（2）作出ABC關(guān)于x軸對稱的ABC，并寫出ABC三個頂點的坐標；（3）作出ABC關(guān)于y軸對稱的ABC，并寫出ABC三個頂點的坐標 【思路點撥】（1）直接根據(jù)圖形寫出ABC三個頂點的坐標；（2）找到ABC的各頂點關(guān)于x軸對稱的對稱點并順次連接成圖形；（3）找到ABC的各頂點關(guān)于y軸對稱的對稱點并順次連接成圖形【答案與解析】（1）ABC三個頂點的坐標分別為：A（4，3），B（3，1），C（1，2）；（2）所畫圖形如下所示，ABC即為所求，ABC三個頂點的坐標分別為：A（4，-3），B（3，

9、-1），C（1，-2）；（3）所畫圖形如下所示，ABC即為所求，ABC三個頂點的坐標分別為：A（-4，3），B（-3，1），C（-1，2） 【總結(jié)升華】作軸對稱圖形找對稱點是關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖所示，ABC的頂點坐標分別為A(-4，-3)，B(0，-3)，C(-2，1)，如將B點向右平移2個單位后再向上平移4個單位到達B1點，若設(shè)ABC的面積為S1，AB1C的面積為S2，則S1，S2的大小關(guān)系為( ) AS1S2 BS1S2 CS1S2 D不能確定 【答案】選B（點B的平移是關(guān)鍵，平移后ABCB1，兩個三角形等底等高）2(1)如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，B1(0，1)，B2(0

10、，3)，B3(0，6)，B4(0，10)，以B1B2為對角線作第一個正方形A1B1C1B2，以B2B3為對角線作第二個正方形A2B2C2B3，以B3B4為對角線作第三個正方形A3B3C3B4，如果所作正方形的對角線都在y軸上，且的長度依次增加1個單位，頂點都在第一象限內(nèi)(n1，且n為整數(shù))，那么A1的縱坐標為_，用n的代數(shù)式表示的縱坐標為_；(2)若設(shè)的坐標為(x，y)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式【思路點撥】作A1Dy軸于點D，可推出A1的縱坐標=B1D+B1O=1+1= =2，A2的縱坐標= =4.5，則An的縱坐標為 【答案與解析】(1)2，；(2)A1的橫坐標等于，A2的橫坐標等于，A3的橫

11、坐標等于，A4的橫坐標等于， 的橫坐標等于，縱坐標等于 ， ，代入消去n+1，得 y關(guān)于x的解析式為，說明點A1，A2，A3，A4，都在拋物線上如圖所示 【總結(jié)升華】解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形得到點的縱坐標的特點類型二、一次函數(shù)3（2015泰州）已知一次函數(shù)y=2x4的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，點P在該函數(shù)的圖象上，P到x軸、y軸的距離分別為d1、d2（1）當(dāng)P為線段AB的中點時，求d1+d2的值；（2）直接寫出d1+d2的范圍，并求當(dāng)d1+d2=3時點P的坐標；（3）若在線段AB上存在無數(shù)個P點，使d1+ad2=4（a為常數(shù)），求a的值【思路點撥】（1）對于一次函數(shù)解析式，求出A與B

12、的坐標，即可求出P為線段AB的中點時d1+d2的值；（2）根據(jù)題意確定出d1+d2的范圍，設(shè)P（m，2m4），表示出d1+d2，分類討論m的范圍，根據(jù)d1+d2=3求出m的值，即可確定出P的坐標；（3）設(shè)P（m，2m4），表示出d1與d2，由P在線段上求出m的范圍，利用絕對值的代數(shù)意義表示出d1與d2，代入d1+ad2=4，根據(jù)存在無數(shù)個點P求出a的值即可【答案與解析】解：（1）對于一次函數(shù)y=2x4，令x=0，得到y(tǒng)=4；令y=0，得到x=2，A（2，0），B（0，4），P為AB的中點，P（1，2），則d1+d2=3；（2）d1+d22；設(shè)P（m，2m4），d1+d2=|m|+|2m4|，當(dāng)

13、0m2時，d1+d2=m+42m=4m=3，解得：m=1，此時P1（1，2）；當(dāng)m2時，d1+d2=m+2m4=3，解得：m=，此時P2（，）；當(dāng)m0時，不存在，綜上，P的坐標為（1，2）或（，）；（3）設(shè)P（m，2m4），d1=|2m4|，d2=|m|，P在線段AB上，0m2，d1=42m，d2=m，d1+ad2=4，42m+am=4，即（a2）m=0，有無數(shù)個點，a=2【總結(jié)升華】此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：一次函數(shù)與坐標軸的交點，線段中點坐標公式，絕對值的代數(shù)意義，以及坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握絕對值的代數(shù)意義是解本題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】已知：如圖所示，在直角坐標平面內(nèi)，O為

14、原點，點A的坐標為(1，0)，點C的坐標為(0，4)，直線CMx軸點B與點A關(guān)于原點對稱，直線yx+b(b為常數(shù))經(jīng)過點B，且與直線CM相交于點D，連接OD (1)求b的值和點D的坐標(2)設(shè)點P在x軸的正半軸上，若POD是等腰三角形，求點P的坐標【答案】(1)因為點B與點A關(guān)于原點對稱，點A的坐標為(1，0)，所以點B的坐標為(-1，0) 因為直線yx+b(b為常數(shù))經(jīng)過點B，所以0-1+b，解得b1，所以直線為yx+1 因為點C的坐標為(0，4)，直線CMx軸，所以點D的縱坐標為4 因為直線yx+1與直線CM交于點D，當(dāng)y4時，4x+1，解得x3，所以點D的坐標為(3，4)(2)因為O為原

15、點，點D的坐標為(3，4)，點C的坐標為(0，4)，所以O(shè)C4，CD3，所以O(shè)D5 因為點P在x軸的正半軸上，若POD是等腰三角形，則分三種情況： 當(dāng)PDPO時，有， 因為，所以，解得所以點P的坐標為(，0) 當(dāng)PDOD時，PO2CD6， 所以點P的坐標為(6，0)當(dāng)ODPO時，PO5， 所以點P的坐標為(5，0)類型三、反比例函數(shù)4如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E（4，n）在邊AB上，反比例函數(shù)（k0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點D、E，且tanBOA=（1）求邊AB的長；（2）求反比例函數(shù)的解析式和n的值；（3）若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊B

16、C交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長【思路點撥】（1）由點E的縱坐標得出OA=4，再根據(jù)tanBOA= 即可求出AB的長度；（2）根據(jù)（1）求出點B的坐標，再根據(jù)點D是OB的中點求出點D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求出反比例函數(shù)解析式，再把點E的坐標代入進行計算即可求出n的值；（3）利用反比例函數(shù)解析式求出點F的坐標，從而得到CF的長度，連接FG，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長度，再利用勾股定理列式計算即可求出OG的長度.【答案與解析】解：（1）點E（4，n）在邊AB上，OA=4， 在RtAOB中，ta

17、nBOA=，AB=OAtanBOA=4=2.（2）由（1），可得點B的坐標為（4，2），點D為OB的中點，點D（2，1）.點D在反比例函數(shù)（k0）的圖象上，解得k=2.反比例函數(shù)解析式為.又點E（4，n）在反比例函數(shù)圖象上，.（3）如圖，設(shè)點F（a，2），反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，解得a=1.CF=1.連接FG，設(shè)OG=t，則OG=FG=t，CG=2t，在RtCGF中，GF2=CF2+CG2，即t2=（2t）2+12，解得t=，OG=t=.【總結(jié)升華】本題綜合考查了反比例函數(shù)的知識，包括待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，點在函數(shù)圖象上，銳角三角函數(shù)的定義，以及折疊的性質(zhì)，求出點D的坐標，然

18、后求出反比例函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式1】（2015棗莊）如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=（x0）的圖象交于A（m，6），B（3，n）兩點（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫出使kx+b成立的x的取值范圍；（3）求AOB的面積【答案】解：（1）點A（m，6），B（3，n）兩點在反比例函數(shù)y=（x0）的圖象上，m=1，n=2，即A（1，6），B（3，2）又點A（m，6），B（3，n）兩點在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，解得，則該一次函數(shù)的解析式為：y=2x+8；（2）根據(jù)圖象可知使kx+b成立的x的取值范圍是0 x1或x3；（3）分別過點A、B作AEx軸，BCx軸

19、，垂足分別是E、C點直線AB交x軸于D點令2x+8=0，得x=4，即D（4，0）A（1，6），B（3，2），AE=6，BC=2，SAOB=SAODSBOD=4642=8【變式2】已知雙曲線和直線相交于點和點，且.求的值.【答案】由得 故 或. 又即，舍去，故所求的值為.類型四、函數(shù)綜合應(yīng)用5如圖，已知直角坐標系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和軸、軸分別交于點A和點B，且OAOB1.這條曲線是函數(shù)的圖像在第一象限的一個分支，點P是這條曲線上任意一點，它的坐標是（、），由點P向軸、軸所作的垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F.（1）分別求出點E、F的坐標（用的代數(shù)式表

20、示點E的坐標，用的代數(shù)式表示點F的坐標，只須寫出結(jié)果，不要求寫出計算過程）；（2）求OEF的面積（結(jié)果用含、的代數(shù)式表示）； （3）AOF與BOE是否一定相似，請予以證明.如果不一定相似或一定不相似，簡要說明理由；（4）當(dāng)點P在曲線上移動時，OEF隨之變動，指出在OEF的三個內(nèi)角中，大小始終保持不變的那個角的大小，并證明你的結(jié)論.【思路點撥】在證明三角形相似時，EBOOAF是較明顯的，關(guān)鍵是證明兩夾邊對應(yīng)成比例，這里用到了點P（，）在雙曲線上這一重要條件，挖掘形的特征，并把形的因素轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)式形式是解本題的關(guān)鍵.【答案與解析】（1）點E（，），點F（，）（2） （3）AOF與BOE一定相

21、似，下面給出證明OAOB1FAOEBOBEAF點P（，）是曲線上一點，即AFBEOBOA1AOFBOE （4）當(dāng)點P在曲線上移動時，OEF中EOF一定等于45，由（3）知，AFOBOE，于是由AFOBBOF及BOEBOFEOF EOFB45.【總結(jié)升華】此題第（3）（4）問均為探索性問題，（4）以（3）為基礎(chǔ)，在肯定（3）的結(jié)論后，（4）的解決就不難了.舉一反三：【變式1】如圖所示，點A的坐標為(1，0)，點B在直線y-x上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標為( )A(0，0) B(,-) C(，) D(，)【答案】當(dāng)AB與直線y-x垂直時，AB最短(如圖所示) 直線y-x，AOB45AOB是等腰直角三角形過B作BCx軸于C A(1，0)，OA1，此題選B【變式2】在同一坐標系中，一次函數(shù)y(1-k)x+2k+l與反比例函數(shù)的圖象沒有交點，則常數(shù)k的取值范圍是_【答案】由題意知 兩函數(shù)圖象無交點， 6如圖所示，點A(m，m+1)，B(m+3，m-1)都在反比例函數(shù)的圖象上(1)求m、k的值；(2)如果M為x軸上一點，N為y軸上一