高等數(shù)學(xué)課題

1、課題組成員：姓名學(xué)號問題一一年中哪一天白天最“長”據(jù)資料記載，某地某年間隔30天的日出日落時間如下：5月1日5月31日6月30日日出4:514:174:16日落19:0419:3819:50請問，這一年中哪一天白天最“長”？前言：此課題研究的動機(jī)及意義函數(shù)的表達(dá)通常有三種，表格法、圖形法、公式法，通過閱讀課題內(nèi)容，我們易看到，原題只是給出了三組離散數(shù)據(jù)，可進(jìn)一步通過表格法表示出來，這是在描述事物之間的關(guān)系時用到的簡單方法。而此課題中的問題要求必需構(gòu)造出連續(xù)的函數(shù)表達(dá)式，用于表達(dá)一個普遍性的結(jié)論，從而找出特例。由一些簡單的離散數(shù)據(jù)到連續(xù)函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換，我們便聯(lián)系到“插值函數(shù)”的問題。關(guān)于天數(shù)和

2、時長的原函數(shù)會比較復(fù)雜，所以只能構(gòu)造“近似函數(shù)”。所以此課題的意義在于對“拉格朗日插值問題”的研究。研究分析：首先先了解“插值函數(shù)”，當(dāng)精確函數(shù)y=f(x)非常復(fù)雜或未知時，在一系列節(jié)點處x0,x1,-xn處測得函數(shù)值y0=f(x0),yn=f(xn),由此構(gòu)造一個簡單易算的函數(shù)：p(x)=f(x),滿足條件：p(xi)=f(xi),(i=0,n),則，p(x)就稱為f(x)的插值函數(shù)?！安逯岛瘮?shù)”包括泰勒插值、拉格朗日插值等，這里我們主要研究，拉格朗日插值問題。所謂“拉格朗日插值”就是求作n次多項式pn(x)，使?jié)M足條件pn(xi)=yi(i=0,1,，n)(點xi稱為插值節(jié)點)。幾何上其實

3、質(zhì)是通過n+1個點(xi,yi)(i=0、1、2.n)的多項式曲線y=pn(x)當(dāng)做曲線y=f(x)的近似曲線。如圖：關(guān)于一次拉格朗日插值多項式：已知函數(shù)y=f(x)在點x0,x1上的值為yo,y1,要求多項式y(tǒng)=p1(x),使p1(x0)=y0,p1(x1)=y1。其幾何意nnnXX.義，腳半X)兩點1k(x)yk的一條管線yk由直線兩點式可知,通過A,B的直線方程為:k0j0XkXj注意插值特點，接下來嵬門尿曬值艘廣1到N次。求n次多項式,k=0,1,p2，n)(xoXi)(xoxz)0即pn(x)滿足插倡條件x0伽lk(X)y表達(dá)式,xk以外所有的結(jié)點都是(x1X0)(x1X2)1k(X

4、)的根,因此令(XX0)(XXi)又由(x2，得,0)(x2Xi)y2從而得n階拉格朗日(Lagrange)插值公式：當(dāng)n=2時，有A(x0,y。),B(Xi,yi)V、現(xiàn)在回到課題內(nèi)容，設(shè)由5月i日開始計算的天數(shù)為X,5月i日看做第0天，再設(shè)白天每一天的長度為i4小時i3分+T,于是天數(shù)和它的長度可以用(x,T)表示，有記載的三天數(shù)據(jù)對應(yīng)于點(0,0),(30,68),(60,8i)將它們帶入三點拉格朗日插值公式中，得T=X(-55x+5730)/i800,通埔街的1T的板大值，得n(X=52.09，y所核用長的一天是5月i日后的第52天艮0,6月k22i日，再由丁=8?得出這天日出日落的時

5、間差為i5小時36V、研究結(jié)果討論：拉格朗日插值問題是在誤差允許的情況下實現(xiàn)的，一般在研究過后都要進(jìn)行誤差分析。課題中只是運(yùn)用到基本的三點拉格朗日插值公式，但艮制修格i日插值公式的本質(zhì)特征進(jìn)行學(xué)習(xí)才能更好的運(yùn)用。尤其是要知道拉格朗日情值公式的N次表達(dá)式，以便更好的運(yùn)用至膝BX0W&Xi)(XkXki)(XkXki)(XkXn)問題四Koch雪花曲線設(shè)有單位邊長的正三角形，將其每邊三等分，以中間3段為邊向外作正三角形.每一條邊生成四條新邊，新邊長為原邊長的-,同時生成33個新三角形.把這個過程無限繼續(xù)下去，所形成的圖形稱為Koch雪花曲線.問“Koch雪花”的面積是多少？前言：此課題的動機(jī)及意義

6、Koch曲線，亦稱科赫曲線(de:Koch-Kurve),此課題通過對“Koch雪花曲線”這一問題的研究探索，使學(xué)生通過數(shù)列極限的求法更深入的發(fā)現(xiàn)一些特別規(guī)律，延伸問題的寬度，使學(xué)生對分形幾何學(xué)及其基本特征自相似性、迭代算法、分形維度等內(nèi)容有所了解。研究分析：作為一種數(shù)學(xué)曲線Koch曲線首先由瑞典數(shù)學(xué)家HelgevonKoch在1904年發(fā)表的一篇題為從初等幾何構(gòu)造的一條沒有切線的連續(xù)曲線”中提出，也是早期被提出的一種分形曲線。下面將通過高中所學(xué)的數(shù)列的遞推公式及遞推、極限等思想對問題進(jìn)行解答。欲求凹多邊形的面積，關(guān)鍵在于尋找其中的規(guī)律性，計算每次增加了多少個小三角形，以及每個小三角形的面積是

7、多少。設(shè)第n條曲線的長為Ln,所圍的面積為An。上述n個等式相加得通項公式：通過極限求解得：通過以上求解，我們發(fā)現(xiàn)Koch曲線的長度為無窮大，面積為初始面積的8/5倍(n-s)。在Koch雪花曲線出現(xiàn)以后，科學(xué)家創(chuàng)造了更多的十分奇怪、美麗的圖形。起初，人們以為這類曲線、圖形是數(shù)學(xué)家們的創(chuàng)造物，也不曾在現(xiàn)實世界中遇到過它。但到1975年B.Mandelbrot觀察到英國海岸線與VanKoch曲線的關(guān)系，提出了一門描述大自然的幾何形態(tài)的學(xué)科-分形（Fractal）。這個誕生的新的數(shù)學(xué)分支“分形幾何學(xué)”才賦予了它更深刻、更豐富的內(nèi)涵?？茖W(xué)家們對于自然過程中不規(guī)則模式的探究，和對無窮復(fù)雜的形狀的探索，

8、發(fā)現(xiàn)了一種自相似性。分形的意義就是自相似。自相似是跨越不同尺度的對稱性。它意味著遞歸，圖案之中套圖案。Koch曲線遵從嚴(yán)格的自相似性。關(guān)于分形幾何的基本特征,我們認(rèn)為一個分形集合E應(yīng)該有如下的特征：E具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即有任意小比例的細(xì)節(jié)。E是如此的不規(guī)則以至它的整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述。E通常具有某種自相似的形式，可能是近似的或是統(tǒng)計的。一般地，E的“分形維數(shù)”（以某種方式定義）大于它的拓?fù)渚S數(shù)。（Koch曲線的分形維度由雙對數(shù)公式算得為1.26）在大多數(shù)令人感興趣的情形下，E以非常簡單的方式定義，可能由迭代產(chǎn)生。另外在討論分形幾何時，也會聯(lián)系到迭代的定義。迭代法也稱輾轉(zhuǎn)法，是一

9、種不斷用變量的舊值遞推新值的過程,跟迭代法相對應(yīng)的是直接法（或者稱為一次解法），即一次性解決問題。迭代法又分為精確迭代和近似迭代?！岸址ā焙汀芭ｎD迭代法”屬于近似迭代法。迭代算法是用計算機(jī)解決問題的一種基本方法。研究結(jié)果討論：通過課題研究，我們發(fā)現(xiàn)，一些簡單的計算之中往往蘊(yùn)藏著大的規(guī)律，從雪花曲線的研究中，我們一步步聯(lián)想到分形幾何、自相似、迭代、分形維度等一些定義。所以訓(xùn)練對客觀規(guī)律的發(fā)現(xiàn)探索總結(jié)能力，培養(yǎng)發(fā)散思維能力對自身以及學(xué)科發(fā)展至關(guān)重要。問題六微積分學(xué)的發(fā)展史微積分的思想萌芽期歐洲古希臘時期已存在極限思想，并用極限方法解決了許多實際問題。較為重要的當(dāng)數(shù)安提芬（Antiphon,B.C

10、420年左右）的“窮竭法”。他在研究化圓為方問題時，提出用圓內(nèi)接正多邊形的面積窮竭圓面積，從而求出圓面積。但他的方法并沒有被數(shù)學(xué)家們所接受。后來，安提芬的窮竭法在歐多克斯那里得到補(bǔ)充和完善。之后，阿基米德借助于窮竭法解決了一系列幾何圖形的面積、體積計算問題。他的方法通常被稱為“平衡法”，實質(zhì)上是一種原始的積分法。他將需要求積的量分成許多微小單元，再利用另一組容易計算總和的微小單元來進(jìn)行比較。但他的兩組微小單元的比較是借助于力學(xué)上的杠桿平衡原理來實現(xiàn)的。平衡法體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，是定積分概念的雛形。在中國古代戰(zhàn)國時期名家的代表作莊子?天下篇中記載了惠施的一段話：“一尺之棰，日取其半，萬世

11、不竭”，是我國較早出現(xiàn)的極限思想。但把極限思想運(yùn)用于實踐，即利用極限思想解決實際問題的典范卻是魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽。他的“割圓術(shù)”開創(chuàng)了圓周率研究的新紀(jì)元。劉徽首先考慮圓內(nèi)接正六邊形面積，接著是正十二邊形面積，然后依次加倍邊數(shù)，則正多邊形面積愈來愈接近圓面積。用他的話說，就是：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?！卑凑者@種思想，他從圓的內(nèi)接正六邊形面積一直算到內(nèi)接正192邊形面積，得到圓周率的近似值3.14。南北朝時期的著名科學(xué)家祖沖之推進(jìn)和發(fā)展了劉徽的數(shù)學(xué)思想，首先算出了圓周率介于3.1415926與3.1415927之間，這是我國古代最偉大的成就之一。其次

12、明確提出了下面的原理：“冪勢既同，則積不容異?！蔽覀兎Q之為“祖氏原理”，即西方所謂的“卡瓦列利原理”。并應(yīng)用該原理成功地解決了劉徽未能解決的球體積問題。刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問題是求曲線的切線、求瞬時變化率以及求函數(shù)的極大值極小值等問題。阿基米德、阿波羅尼奧斯等均曾作過嘗試，但他們都是基于靜態(tài)的觀點。古代與中世紀(jì)的中國學(xué)者在天文歷法研究中也曾涉及到天體運(yùn)動的不均勻性及有關(guān)的極大、極小值問題，但多以慣用的數(shù)值手段（即有限差分計算）來處理，從而回避了連續(xù)變化率。微積分創(chuàng)立前的準(zhǔn)備工作1400年至1600年的歐洲文藝復(fù)興，使得整個歐洲全面覺醒。這一時期，對運(yùn)動與變化的研究已變成自然科學(xué)的中心問題，

13、以常量為主要研究對象的古典數(shù)學(xué)已不能滿足要求，科學(xué)家們開始由對以常量為主要研究對象的研究轉(zhuǎn)移到以變量為主要研究對象的研究上來，自然科學(xué)開始邁入綜合與突破的階段。微積分的創(chuàng)立，首先是為了處理十七世紀(jì)的一系列主要的科學(xué)問題。有四種主要類型的科學(xué)問題：第一類是，已知物體的移動的距離表為時間的函數(shù)的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度使瞬時變化率問題的研究成為當(dāng)務(wù)之急；第二類是，望遠(yuǎn)鏡的光程設(shè)計使得求曲線的切線問題變得不可回避；第三類是，確定炮彈的最大射程以及求行星離開太陽的最遠(yuǎn)和最近距離等涉及的函數(shù)極大值、極小值問題也急待解決；第四類問題是求行星沿軌道運(yùn)動的路程、行星矢徑掃過的面積以及物體重心與引力

14、等，又使面積、體積、曲線長、重心和引力等微積分基本問題的計算被重新研究。在17世紀(jì)上半葉，幾乎所有的科學(xué)大師都致力于尋求解決這些問題的數(shù)學(xué)工具。這里我們只簡單介紹在微積分醞釀階段最具代表性的幾位科學(xué)大師的工作。例如開普勒與無限小元法、巴羅與“微分三角形”、笛卡兒、費(fèi)馬和坐標(biāo)方法等，尤其沃利斯的“無窮算術(shù)”，沃利斯是在牛頓和萊布尼茨之前，將分析方法引入微積分貢獻(xiàn)最突出的數(shù)學(xué)家。在其著作無窮算術(shù)中，他利用算術(shù)不可分量方法獲得了一系列重要結(jié)果。其中就有將卡瓦列里的冪函數(shù)積分公式推廣到分?jǐn)?shù)冪情形，以及計算四分之一圓的面積等。17世紀(jì)上半葉一系列先驅(qū)性的工作，沿著不同的方向向微積分的大門逼近，但所有這些

15、努力還不足以標(biāo)志微積分作為一門獨立科學(xué)的誕生。前驅(qū)者對于求解各類微積分問題確實做出了寶貴的貢獻(xiàn)，但他們的方法仍缺乏足夠的一般性。雖然有人注意到這些問題之間的某些聯(lián)系，但沒有人將這些聯(lián)系作為一般規(guī)律明確提出來，作為微積分基本特征的積分和微分的互逆關(guān)系也沒有引起足夠的重視。因此，在更高的高度將以往個別的貢獻(xiàn)和分散的努力綜合為統(tǒng)一的理論，成為17世紀(jì)中葉數(shù)學(xué)家面臨的艱巨任務(wù)。微積分的創(chuàng)立對于微積分的創(chuàng)立，牛頓和萊布尼茨的工作起到?jīng)Q定性作用。一牛頓與“流數(shù)術(shù)”。笛卡兒的幾何學(xué)和沃利斯的無窮算術(shù)對牛頓的數(shù)學(xué)思想影響最深，正是這兩部著作引導(dǎo)牛頓走上了創(chuàng)立微積分之路。1666年牛頓將兩年的研究成果整理成一篇

16、總結(jié)性論文流數(shù)簡論，這也是歷史上第一篇系統(tǒng)的微積分文獻(xiàn)。在簡論中，牛頓以運(yùn)動學(xué)為背景提出了微積分的基本問題，發(fā)明了“正流數(shù)術(shù)”（微分）；從確定面積的變化率入手通過反微分計算面積，又建立了“反流數(shù)術(shù)”；并將面積計算與求切線問題的互逆關(guān)系作為一般規(guī)律明確地揭示出來，將其作為微積分普遍算法的基礎(chǔ)論述了“微積分基本定理”。“微積分基本定理”也稱為牛頓萊布尼茨定理，牛頓和萊布尼茨各自獨立地發(fā)現(xiàn)了這一定理。微積分基本定理是微積分中最重要的定理，它建立了微分和積分之間的聯(lián)系，指出微分和積分互為逆運(yùn)算。這樣，牛頓就以正、反流數(shù)術(shù)亦即微分和積分，將自古以來求解無窮小問題的各種方法和特殊技巧有機(jī)地統(tǒng)一起來。正是在

17、這種意義下，我們說牛頓創(chuàng)立了微積分。流數(shù)簡論標(biāo)志著微積分的誕生，但它有許多不成熟的地方。1667年，牛頓回到劍橋，并未發(fā)表他的流數(shù)簡論。在以后20余年的時間里，牛頓始終不渝地努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說，先后完成三篇微積分論文：運(yùn)用無窮多項方程的分析學(xué)（簡稱分析學(xué)，1669）；流數(shù)法與無窮級數(shù)（簡稱流數(shù)法，1671）；曲線求積術(shù)（1691），它們反映了牛頓微積分學(xué)說的發(fā)展過程。在分析學(xué)中，牛頓回避了流數(shù)簡論中的運(yùn)動學(xué)背景，將變量的無窮小增量叫做該變量的“瞬”，記作，看成是靜止的無限小量，有時直接令其為零，帶有濃厚的不可分量色彩。在論文流數(shù)法中，牛頓又恢復(fù)了運(yùn)動學(xué)觀點。他把變量叫做“流”，變量

18、的變化率叫做“流數(shù)”，變量的瞬是隨時間的瞬而連續(xù)變化的。在流數(shù)法中，牛頓更清楚地表述了微積分的基本問題：“已知兩個流之間的關(guān)系，求他們的流數(shù)之間的關(guān)系”；以及反過來“已知表示量的流數(shù)間的關(guān)系的方程，求流之間的關(guān)系”。在流數(shù)法和分析學(xué)中，牛頓所使用的方法并無本質(zhì)的區(qū)別，都是以無限小量作為微積分算法的論證基礎(chǔ)，所不同的是：流數(shù)法以動力學(xué)連續(xù)變化的觀點代替了分析學(xué)的靜力學(xué)不可分量法。牛頓最成熟的微積分著述曲線求積術(shù)，對于微積分的基礎(chǔ)在觀念上發(fā)生了新的變革，它提出了“首末比方法”。牛頓批評自己過去隨意扔掉無限小瞬的做法，他說“在數(shù)學(xué)中，最微小的誤差也不能忽略。在這里，我認(rèn)為數(shù)學(xué)的量并不是由非常小的部分

19、組成的，而是用連續(xù)的運(yùn)動來描述的”。在此基礎(chǔ)上牛頓定義了流數(shù)概念，繼而認(rèn)為：“流數(shù)之比非常接近于盡可能小的等時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的流量的增量比，確切地說，它們構(gòu)成增量的最初比”，并借助于幾何解釋把流數(shù)理解為增量消逝時獲得的最終比?？梢钥闯?，牛頓的所謂“首末比方法”相當(dāng)于求函數(shù)自變量與因變量變化之比的極限，它成為極限方法的先導(dǎo)。牛頓對于發(fā)表自己的科學(xué)著作持非常謹(jǐn)慎的態(tài)度。1687年，牛頓出版了他的力學(xué)巨著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理，這部著作中包含他的微積分學(xué)說，也是牛頓微積分學(xué)說的最早的公開表述，因此該巨著成為數(shù)學(xué)史上劃時代的著作。二.萊布尼茨的微積分工作。與牛頓的切入點不同，萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于幾何

20、問題的思考，尤其是特征三角形的研究。特征三角形在帕斯卡和巴羅等人的著作中都曾出現(xiàn)過。1684年，萊布尼茨整理、概括自己1673年以來微積分研究的成果，在教師學(xué)報上發(fā)表了第一篇微分學(xué)論文一種求極大值與極小值以及求切線的新方法（簡稱新方法），它包含了微分記號以及函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分法則，還包含了微分法在求極值、拐點以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用。1686年，萊布尼茨又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文，這篇論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系，包含積分符號并給出了擺線方程。萊布尼茨對微積分學(xué)基礎(chǔ)的解釋和牛頓一樣也是含混不清的，有時他的是有窮量，有時又是小于任何指定的量然而不是零

21、。牛頓和萊布尼茨都是他們時代的巨人，兩位學(xué)者也從未懷疑過對方的科學(xué)才能。就微積分的創(chuàng)立而言，盡管二者在背景、方法和形式上存在差異、各有特色，但二者的功績是相當(dāng)?shù)摹?8世紀(jì)微積分的發(fā)展在牛頓和萊布尼茨之后，從17世紀(jì)到18世紀(jì)的過渡時期，法國數(shù)學(xué)家羅爾在其論文任意次方程一個解法的證明中給出了微分學(xué)的一個重要定理，也就是我們現(xiàn)在所說的羅爾微分中值定理。微積分的兩個重要奠基者是伯努利兄弟雅各布和約翰，他們的工作構(gòu)成了現(xiàn)今初等微積分的大部分內(nèi)容。其中，約翰給出了求型的待定型極限的一個定理，這個定理后由約翰的學(xué)生羅比達(dá)編入其微積分著作無窮小分析，現(xiàn)在通稱為羅比達(dá)法則。18世紀(jì)，微積分得到進(jìn)一步深入發(fā)展。

22、1715年數(shù)學(xué)家泰勒在著作正的和反的增量方法中陳述了他獲得的著名定理，即現(xiàn)在以他的名字命名的泰勒定理。后來麥克勞林重新得到泰勒公式在時的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級數(shù)稱為“麥克勞林級數(shù)”。雅各布、法尼亞諾、歐拉、拉格朗日和勒讓德等數(shù)學(xué)家在考慮無理函數(shù)的積分時，發(fā)現(xiàn)一些積分既不能用初等函數(shù)，也不能用初等超越函數(shù)表示出來，這就是我們現(xiàn)在所說的“橢圓積分”，他們還就特殊類型的橢圓積分積累了大量的結(jié)果。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家還將微積分算法推廣到多元函數(shù)而建立了偏導(dǎo)數(shù)理論和多重積分理論。這方面的貢獻(xiàn)主要應(yīng)歸功于尼古拉?伯努利、歐拉和拉格朗日等數(shù)學(xué)家。另外，函數(shù)概念在18世紀(jì)進(jìn)一步深化，

23、微積分被看作是建立在微分基礎(chǔ)上的函數(shù)理論，將函數(shù)放在中心地位，是18世紀(jì)微積分發(fā)展的一個歷史性轉(zhuǎn)折。在這方面，貢獻(xiàn)最突出的當(dāng)數(shù)歐拉。他明確區(qū)分了代數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)、顯函數(shù)與隱函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù)等，發(fā)現(xiàn)了函數(shù)和函數(shù)，并在無限小分析引論中明確宣布：“數(shù)學(xué)分析是關(guān)于函數(shù)的科學(xué)”。而18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步也是由歐拉作出的。他的無限小分析引論（1748）、微分學(xué)原理（1755）與積分學(xué)原理（17681770）都是微積分史上里程碑式的著作，在很長時間內(nèi)被當(dāng)作標(biāo)準(zhǔn)教材而廣泛使用。五微積分中嚴(yán)密性問題積分學(xué)創(chuàng)立以后，由于運(yùn)算的完整性和應(yīng)用的廣泛性，使微積分學(xué)成了研究自然科學(xué)的有力工具。但微積分學(xué)中的

24、許多概念都沒有精確的定義，特別是對微積分的基礎(chǔ)無窮小概念的解釋不明確，在運(yùn)算中時而為零，時而非零，出現(xiàn)了邏輯上的困境。正因為如此，這一學(xué)說從一開始就受到多方面的懷疑和批評。最令人震撼的抨擊是來自英國克羅因的主教伯克萊。他認(rèn)為當(dāng)時的數(shù)學(xué)家以歸納代替了演繹，沒有為他們的方法提供合法性證明。這也就是我們所說的數(shù)學(xué)發(fā)展史上的第二次“危機(jī)”。18世紀(jì)，歐陸數(shù)學(xué)家們力圖以代數(shù)化的途徑來克服微積分基礎(chǔ)的困難，這方面的主要代表人物是達(dá)朗貝爾、歐拉和拉格朗日。達(dá)朗貝爾定性地給出了極限的定義，并將它作為微積分的基礎(chǔ)，他認(rèn)為微分運(yùn)算“僅僅在于從代數(shù)上確定我們已通過線段來表達(dá)的比的極限”；歐拉提出了關(guān)于無限小的不同階

25、零的理論；拉格朗日也承認(rèn)微積分可以在極限理論的基礎(chǔ)上建立起來，但他主張用泰勒級數(shù)來定義導(dǎo)數(shù),并由此給出我們現(xiàn)在所謂的拉哥朗日中值定理。歐拉和拉格朗日在分析中引入了形式化觀點，而達(dá)朗貝爾的極限觀點則為微積分的嚴(yán)格化提供了合理內(nèi)核。微積分的嚴(yán)格化工作經(jīng)過近一個世紀(jì)的嘗試，到19世紀(jì)初已開始見成效。首先是捷克數(shù)學(xué)家波爾察諾1817年發(fā)表的論文純粹分析證明，其中包含了函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)等概念的合適定義、有界實數(shù)集的確界存在性定理、序列收斂的條件以及連續(xù)函數(shù)中值定理的證明等內(nèi)容。然而，波爾察諾的工作長期淹沒無聞，沒有引起數(shù)學(xué)家們的注意。19世紀(jì)分析的嚴(yán)密性真正有影響的先驅(qū)則是偉大的法國數(shù)學(xué)家柯西。柯西關(guān)于

26、分析基礎(chǔ)的最具代表性的著作是他的分析教程(1821)、無窮小計算教程(1823)以及微分計算教程(1829)，它們以分析的嚴(yán)格化為目標(biāo)，對微積分的一系列基本概念給出了明確的定義，在此基礎(chǔ)上，柯西嚴(yán)格地表述并證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定義了級數(shù)的收斂性，研究了級數(shù)收斂的條件等，他的許多定義和論述已經(jīng)非常接近于微積分的現(xiàn)代形式?？挛鞯墓ぷ髟谝欢ǔ潭壬铣吻辶宋⒎e分基礎(chǔ)問題上長期存在的混亂，向分析的全面嚴(yán)格化邁出了關(guān)鍵的一步?？挛鞯难芯拷Y(jié)果一開始就引起了科學(xué)界的很大轟動，就連柯西自己也認(rèn)為他已經(jīng)把分析的嚴(yán)格化進(jìn)行到底了。然而，柯西的理論只能說是“比較嚴(yán)格”，不久人們便發(fā)現(xiàn)柯西的理

27、論實際上也存在漏洞。比如柯西定義極限為：“當(dāng)同一變量逐次所取的值無限趨向于一個固定的值，最終使它的值與該定值的差可以隨意小，那么這個定值就稱為所有其它值的極限”，其中“無限趨向于”、“可以隨意小”等語言只是極限概念的直覺的、定性的描述，缺乏定量的分析，這種語言在其它概念和結(jié)論中也多次出現(xiàn)。另外，微積分計算是在實數(shù)領(lǐng)域中進(jìn)行的，但到19世紀(jì)中葉，實數(shù)仍沒有明確的定義，對實數(shù)系仍缺乏充分的理解，而在微積分的計算中，數(shù)學(xué)家們卻依靠了假設(shè)：任何無理數(shù)都能用有理數(shù)來任意逼近。當(dāng)時，還有一個普遍持有的錯誤觀念就是認(rèn)為凡是連續(xù)函數(shù)都是可微的?；诖耍挛鲿r代就不可能真正為微積分奠定牢固的基礎(chǔ)。所有這些問題都

28、擺在當(dāng)時的數(shù)學(xué)家們面前。另一位為微積分的嚴(yán)密性做出卓越貢獻(xiàn)的是德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯。魏爾斯特拉斯用他創(chuàng)造的一套數(shù)學(xué)語言重新定義了微積分中的一系列重要概念，特別地，他引進(jìn)的一致收斂性概念消除了以往微積分中不斷出現(xiàn)的各種異議和混亂。另外，魏爾斯特拉斯認(rèn)為實數(shù)是全部分析的本源，要使分析嚴(yán)格化，就首先要使實數(shù)系本身嚴(yán)格化。而實數(shù)又可按照嚴(yán)密的推理歸結(jié)為整數(shù)(有理數(shù))。因此，分析的所有概念便可由整數(shù)導(dǎo)出。這就是魏爾斯特拉斯所倡導(dǎo)的“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)。1857年，魏爾斯特拉斯在課堂上給出了第一個嚴(yán)格的實數(shù)定義，但他沒有發(fā)表。1872年，戴德金、康托爾幾乎同時發(fā)表了他們的實數(shù)理論，并用各自的實數(shù)定義嚴(yán)格地

29、證明了實數(shù)系的完備性。這標(biāo)志著由魏爾斯特拉斯倡導(dǎo)的分析算術(shù)化運(yùn)動大致宣告完成。六微積分的應(yīng)用世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們一方面努力探索在微積分中注入嚴(yán)密性的途徑，一方面又不顧基礎(chǔ)問題的困難而大膽前進(jìn)，極大地擴(kuò)展了微積分的應(yīng)用范圍，尤其是與力學(xué)的有機(jī)結(jié)合，其緊密程度是數(shù)學(xué)史上任何時期都無法比擬的，它已成為18世紀(jì)數(shù)學(xué)的鮮明特征之一。微積分的這種廣泛應(yīng)用成為新思想的源泉，從而也使數(shù)學(xué)本身大大受益，一系列新的數(shù)學(xué)分支在18世紀(jì)逐漸成長起來。1常微分方程與動力系統(tǒng)常微分方程是伴隨著微積分一起發(fā)展起來的。從17世紀(jì)末開始，擺的運(yùn)動、彈性理論以及天體力學(xué)等實際問題的研究引出了一系列常微分方程，這些問題在當(dāng)時以挑戰(zhàn)的形式

30、被提出而在數(shù)學(xué)家之間引起激烈的爭論。牛頓、萊布尼茨和伯努利兄弟等都曾討論過低階常微分方程，到1740年左右，幾乎所有的求解一階方程的初等方法都已經(jīng)知道。1728年，歐拉的一篇論文引進(jìn)了著名的指數(shù)代換將二階常微分方程化為一階方程，開始了對二階常微分方程的系統(tǒng)研究。1743年，歐拉給出了階常系數(shù)線性齊次方程的完整解法，這是高階常微分方程的重要突破。17741775年間，拉格朗日用參數(shù)變易法解出了一般階變系數(shù)非齊次常微分方程，這一工作是18世紀(jì)常微分方程求解的最高成就。在18世紀(jì)，常微分方程已成為有自己的目標(biāo)和方向的新數(shù)學(xué)分支。18世紀(jì)，在處理更為復(fù)雜的物理現(xiàn)象時得到了偏微分方程，到了19世紀(jì)，數(shù)學(xué)

31、家們求解偏微分方程的努力導(dǎo)致求解常微分方程的問題，且所得到的常微分方程大都是陌生的。對這些微分方程，數(shù)學(xué)家們便采用無窮級數(shù)解，即現(xiàn)在所謂的特殊函數(shù)或高級超越函數(shù)。對18、19世紀(jì)建立起來的眾多的微分方程，數(shù)學(xué)家們求顯式解的努力往往歸于失敗，這種情況促使他們轉(zhuǎn)向證明解的存在性，這也是微分方程發(fā)展史上的一個重要轉(zhuǎn)折點。世紀(jì)后半葉，常微分方程的研究在兩個大的方向上開拓了新局面。第一個方向是與奇點問題相聯(lián)系的常微分方程解析理論，它是由柯西開創(chuàng)的?？挛髦?，解析理論的重點向大范圍轉(zhuǎn)移，到龐加萊與克萊因的自守函數(shù)理論而臻于顛峰。龐加萊在18241884年間建立了這類函數(shù)的一般理論。另一個嶄新的方向，也可以

32、說是微分方程發(fā)展史上的又一個轉(zhuǎn)折點，就是定性理論，它完全是龐加萊的獨創(chuàng)。龐加萊由對三體問題的研究而被引導(dǎo)到常微分方程定性理論的創(chuàng)立。他從非線性方程出發(fā)，發(fā)現(xiàn)微分方程的奇點起著關(guān)鍵作用，在討論各種奇點附近的性狀的同時，還發(fā)現(xiàn)了一些與描述滿足微分方程的解曲線有關(guān)的重要的閉曲線如極限環(huán)、無接觸環(huán)等。在數(shù)學(xué)科學(xué)中，極限環(huán)具有重要意義，科學(xué)技術(shù)和實際社會活動也都強(qiáng)烈要求對極限環(huán)進(jìn)行研究。在1900年的國際數(shù)學(xué)家大會上，希爾伯特作為23個問題中第十六個問題的后一半提出來，這個問題難住了當(dāng)代所有的數(shù)學(xué)家，即使的情形也尚未解決。龐加萊關(guān)于在奇點附近積分曲線隨時間變化的定性研究，在1892年以后被俄國數(shù)學(xué)家李亞

33、普諾夫發(fā)展到高維一般情形而形成專門的“運(yùn)動穩(wěn)定性”分支，他提出的李亞普諾夫函數(shù)和李亞普諾夫指數(shù)概念意義極為重要。李亞普諾夫的工作使微分方程的發(fā)展呈現(xiàn)出一個全新的局面。龐加萊關(guān)于常微分方程定性理論的一系列課題，成為微分動力系統(tǒng)的出發(fā)點。美國數(shù)學(xué)家伯克霍夫從1912年起以三體問題為背景，擴(kuò)展了動力系統(tǒng)的研究，1937年，龐特里亞金提出結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性概念，要求在微小擾動下保持相圖不變，使動力系統(tǒng)的研究向大范圍轉(zhuǎn)化。動力系統(tǒng)的研究由于拓?fù)浞椒ê头治龇椒ǖ挠辛Y(jié)合而取得了重要進(jìn)步，借助于現(xiàn)代計算機(jī)模擬又引發(fā)具有異常復(fù)雜性的混沌、分叉、分形理論這方面的研究涉及到眾多的數(shù)學(xué)分支。2偏微分方程微積分對力學(xué)問題的應(yīng)

34、用引導(dǎo)出另一門新的數(shù)學(xué)分支偏微分方程，1747年，達(dá)朗貝爾發(fā)表的論文張緊的弦振動時形成的曲線的研究被看作是偏微分方程論的開端。論文中，達(dá)朗貝爾明確導(dǎo)出了弦的振動所滿足的偏微分方程，并給出了其通解。1749年，歐拉發(fā)表的論文論弦的振動討論了同樣的問題，并沿用達(dá)朗貝爾的方法，引進(jìn)了初始形狀為正弦級數(shù)的特解。18世紀(jì)，計算兩個物體之間的引力問題，引出另一類重要的偏微分方程位勢方程，它是1785年拉普拉斯在論文球狀物體的引力理論與行星形狀中導(dǎo)出的，現(xiàn)在通常稱為“拉普拉斯方程”。隨著物理學(xué)所研究的現(xiàn)象從力學(xué)向電學(xué)以及電磁學(xué)的擴(kuò)展，到19世紀(jì)，偏微分方程的求解成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家關(guān)注的重心。1822年，法

35、國數(shù)學(xué)家傅立葉發(fā)表的論文熱的解析理論，研究了吸熱或放熱物體內(nèi)部任何點處的溫度變化隨時間和空間的變化規(guī)律，導(dǎo)出了三維空間的熱傳導(dǎo)方程。傅立葉解決了特殊條件下的熱傳導(dǎo)問題，也就是滿足邊界條件和初始條件的偏微分方程的求解。但他沒有給出任何完全的證明。英國數(shù)學(xué)家格林19世紀(jì)是研究偏微分方程中位勢方程的重要代表人物。他用奇異點方法研究了位勢方程，并在1828年出版的小冊子關(guān)于數(shù)學(xué)分析應(yīng)用于電磁學(xué)理論的一篇論文中建立了許多對于推動位勢理論的進(jìn)一步發(fā)展極為關(guān)鍵的定理和概念，其中以格林公式和作為一種帶奇異性的特殊位勢的格林函數(shù)概念影響最為深遠(yuǎn)。19世紀(jì)導(dǎo)出的著名偏微分方程還有麥克斯韋電磁場方程、粘性流體運(yùn)動的

36、納維司托克斯方程以及彈性介質(zhì)的柯西方程等，所有這些方程都不存在普遍解法。和常微分方程一樣，求偏微分方程顯式解的失敗，促使數(shù)學(xué)家們考慮偏微分方程解的存在性問題。柯西也是研究偏微分方程解的存在性的第一人。柯西的工作后被俄國女?dāng)?shù)學(xué)家柯瓦列夫斯卡婭發(fā)展為非常一般的形式，現(xiàn)代文獻(xiàn)中稱有關(guān)的偏微分方程解的存在唯一性定理為“柯西柯瓦列夫斯卡婭定理”。3變分法變分法起源于“最速降線”和其它一些類似的問題?！白钏俳稻€”問題最早是約翰伯努利1696年6月在教師學(xué)報上提出來向其他數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)的。問題提出后半年沒有回音，1697年元旦他發(fā)表公告再次向“全世界最有才能的數(shù)學(xué)家”挑戰(zhàn)。牛頓、萊布尼茨、羅比達(dá)和伯努利兄弟幾乎

37、同時得到了正確答案，所有這些解法都發(fā)表在1697年5月的教師學(xué)報上。他們的這些工作與同時期出現(xiàn)的等周問題、測地線問題等一道標(biāo)志著一門新數(shù)學(xué)分支變分法的誕生。變分法處理的是一個與通常函數(shù)有本質(zhì)區(qū)別的變量的極大或極小值問題。1744年歐在著作求某種具有極大或極小性質(zhì)的曲線的技巧一書中，給出了一般的處理方法，奠定了變分法的獨立基礎(chǔ)。他將取極值問題看作通常極值的極限情形，從而導(dǎo)出了使達(dá)到極值的函數(shù)所必須滿足的必要條件，即二階常微分方程，該方程現(xiàn)稱為“歐拉方程”，它是變分法的基本方程。1760年，拉哥朗日的論確定不定積分式的極大和極小值的一個新方法在純分析的基礎(chǔ)上建立了變分法。他還第一次成功地處理了端點

38、變動的極值曲線問題和重積分情形，研究了被積函數(shù)中含有高階導(dǎo)數(shù)的變分問題。19世紀(jì)，起源于動力學(xué)的“最小作用原理”刺激了變分法的進(jìn)一步發(fā)展，這一時期，雅可比、魏爾斯特拉斯以及希爾伯特等都為變分法作出了重要貢獻(xiàn)。在18世紀(jì)，微分方程、變分法等一些新的分支和微積分本身一起，形成了被稱之為“分析”的廣大領(lǐng)域。4分析的擴(kuò)展與更高的抽象復(fù)變函數(shù)論、微分幾何、實變函數(shù)論、泛函分析復(fù)變函數(shù)論：19世紀(jì)分析的嚴(yán)格化成為這個時代的特點，但是，加固基礎(chǔ)的工作并沒有影響到19世紀(jì)的分析學(xué)家們進(jìn)一步拓廣自己的領(lǐng)域。在18世紀(jì)，達(dá)朗貝爾和歐拉等數(shù)學(xué)家在他們的工作中已經(jīng)大量使用復(fù)數(shù)和復(fù)變量，并由此發(fā)現(xiàn)了復(fù)函數(shù)的一些重要性質(zhì)

39、。直到19世紀(jì)初，復(fù)數(shù)的“合法性”仍是一個未解決的問題。復(fù)分析真正成為現(xiàn)代分析的一個研究領(lǐng)域，主要是19世紀(jì)通過柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯等人的工作建立和發(fā)展起來的。1825年，柯西出版的小冊子關(guān)于積分限為虛數(shù)的定積分的報告可以看作是復(fù)分析發(fā)展史上的一個里程碑，其后他又發(fā)表了一系列關(guān)于復(fù)變函數(shù)的論文，得到了復(fù)變函數(shù)的許多重要結(jié)果。1851年，黎曼的博士論文單復(fù)變函數(shù)的一般理論的基礎(chǔ)是復(fù)變函數(shù)論的一篇基本論文，其中最主要的特征是它的幾何觀點，這里黎曼引入了一個全新的幾何概念，即黎曼曲面。這篇論文不僅包含了現(xiàn)代復(fù)變函數(shù)論主要部分的萌芽，而且開啟了拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究，并為黎曼自己的微分幾何研究鋪平了道路。當(dāng)柯西在由解析式表示的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和積分的基礎(chǔ)上建立函數(shù)論的同時，魏爾斯特拉斯卻為復(fù)變函數(shù)開辟了一條新的研究途徑，他在冪級數(shù)的基礎(chǔ)上建立起解析函數(shù)的理論，并建立起解析開拓的方法。后來，柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯的思想被融合在一起，三種傳統(tǒng)得到統(tǒng)一。世紀(jì)，單復(fù)變函數(shù)論由于新工具的引入取得了長足的進(jìn)展，并由單變量推廣到多變量的情形。20世紀(jì)下半葉，由于綜合運(yùn)用拓?fù)鋵W(xué)、微分幾何、偏微分方