極值點偏移問題的兩種常見解法

1、極值點偏移問題的兩種常見解法之比較淺談部分導(dǎo)數(shù)壓軸題的解法在高考導(dǎo)數(shù)壓軸題中，不斷出現(xiàn)極值點偏移問題，那么，什么是極值點偏移 問題？參考XX寬宏、XX、賴淑明等老師的文章，極值點偏移問題的表述是： 已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)有且只有一個極值點，且，若極值點左右的 “增減速度”相同，常常有極值點，我們稱這種狀態(tài)為極值點不偏移；若極值 點左右的“增減速度”不同，函數(shù)的圖象不具有對稱性，常常有極值點的情 況，我們稱這種狀態(tài)為“極值點偏移”.極值點偏移問題常用兩種方法證明：一是函數(shù)的單調(diào)性，若函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)單 調(diào)遞增，則對區(qū)間內(nèi)的任意兩個變量，；若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則對區(qū)間 內(nèi)的任意兩個變量，.

2、二是利用“對數(shù)平均不等 式”證明，什么是“對數(shù)平 均”？什么又是“對數(shù)平均不等式”？兩個正數(shù)和的對數(shù)平均數(shù)定義：對數(shù)平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)的大小關(guān)系是：，（此式 記為對數(shù)平 均不等式）下面給出對數(shù)平均不等式的證明：i）當(dāng)時，顯然等號成立ii）當(dāng)時，不妨設(shè)，極值點偏移問題的兩種常見解法之比較先證，要證，只須證：，令，只須證：設(shè)，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，故再證：要證：，只須證：令，則只須證：，只須證設(shè)，則所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即，故綜上述，當(dāng)時，例1 （2016年高考數(shù)學(xué)全國I理科第21題）已知函數(shù)有兩個零點. 八、.（【）求的取值范圍；（H）設(shè)是的兩個零點，證明：.解：（D

3、函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，得，只有一個零點，不合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，由得，由得，由得，故，是的極小值點，也是的最小值點，所以又，故在區(qū)間內(nèi)存在一個零點，即由又，所以，在區(qū)間存在唯一零點，即，故時，存在兩個零點；當(dāng)時，由得，若，即時，故在上單調(diào)遞增，與題意不符若，即時，易證故在上只有一個零點，若，即時，易證，故在上只有一個零點綜上述，（H）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明由知，且令，則因為，所以，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞增所以，即，所以，所以，因為，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即 解法二、利用對數(shù)平均不等式證明由（D知，又所以，當(dāng)時，且，故當(dāng)時，又因為即所以所以所以所以F面用反證法證明不等式成立因為，所以，所以假

4、設(shè)，當(dāng)，與矛盾；當(dāng)時，與矛盾，故假設(shè)不成立所以例2 （2011年高考數(shù)學(xué)xx卷理科第21題）已知函數(shù)（D討論函數(shù)的單調(diào)性；（H）若曲線與軸交于兩點，中點的橫坐標(biāo)為，證明：解：（D函數(shù)的定義域是f （x）=- - 2ax （2 a）目）*ax）xx當(dāng)時，在區(qū)間xx成立，即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增當(dāng)時，由0,得函數(shù)的遞增區(qū)間，由0,得函數(shù)的遞減區(qū)間（H）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解設(shè)點的橫坐標(biāo)分別為，貝打且由（D知，當(dāng)時，因為函數(shù)有兩個不同的零點，所以，所以要證，只須證，即證貝U,所以在內(nèi)單調(diào)遞增所以，即因為，所以，所以又，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減所以，即，故解法二、利用對數(shù)平均不等式求解 設(shè)點的坐標(biāo)分別為，則

5、由(D知，當(dāng)時，因為函數(shù)有兩個不同的零點，所以，所以因為，所以所以，即所以，所以所以，所以.例3 ( 2014年高考數(shù)學(xué)xx卷文科第21題)已知函數(shù)(I)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(H)當(dāng)時，求證：解：(I)函數(shù)的定義域為Rf (x)(jxz) -2x(i-x) ex.je-Fx-+ ex(1+x )1 +x(1 + x )由，得，由，得函數(shù)的遞增區(qū)間，由，得函數(shù)的遞減區(qū)間，所以(H)解法一、利用函數(shù)的單調(diào)性求解令，則令則，則由得，故在內(nèi)單調(diào)遞增故，故在內(nèi)單調(diào)遞增故，故，故在上單調(diào)遞減所以，由(1)及知，故所以，所以，又在上單調(diào)遞增所以，即解法二、利用對數(shù)平均不等式求解因為時，時，因為時，時，極值點偏

6、移問題的兩種常見解法之比較所以，所以，所以，所以，所以，所以，因為，所以下面用反證法證明，假設(shè)當(dāng)時，與不等式矛盾當(dāng)時，所以，與不等式矛盾.所以假設(shè)不成立，所以例4（ 2014年xxxx二模第20題）設(shè)函數(shù)其圖象與軸交于兩點，且.（I）求實數(shù)的取值范圍；（H）證明：為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）；（皿）略.解：（1），當(dāng)時，在R上恒成立，不合題意當(dāng)時，xx，為函數(shù)的極值點，且是唯一極值點，故，當(dāng)，即時，至多有一個零點，不合題意，故舍去；當(dāng)，即時，由，且在內(nèi)單調(diào)遞減，故在有且只有一個零點；由令，則，故所以，即在有且只有一個零點.（H）解法一、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解由（I）知，在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，且所以，要證，只須證，即證又，故只須證令則，所以在區(qū)間內(nèi)遞增所以，即所以，所以因為，且在區(qū)間內(nèi)遞增所以，即，故解法二、利用對數(shù)平均不等式求解由（D 知，在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，且所以，因為，即，所以所以，要證：，只須證，即故，所以，所以因為，所以，而所以成立，所以從以上四個例題可以看出，兩種方法解決的問題相同，即若是函 數(shù)的兩個零 點，而是函數(shù)的極值點，證明（或），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解的步驟是：一、構(gòu) 建函數(shù)，二、判斷函數(shù)的單調(diào)性，三、證明（或）即（或），四、故函數(shù)的 單調(diào)性證（或）.根據(jù)對數(shù)平均不等式求解的步驟是： 一、通過等式兩邊同取自