初一數(shù)學(xué)春季講義 第11講 三角形三大專題 教師版

1、PAGE 16PAGE 111三角形三大專題11三角形三大專題三角形3級(jí)三角形三大專題三角形4級(jí)三角形3級(jí)三角形三大專題三角形4級(jí)全等三角形的認(rèn)識(shí)三角形5級(jí)全等中的基本模型春季班第十三講春季班第十一講春季班第十講滿分晉級(jí)階梯漫畫釋義漫畫釋義 多邊形的故事知識(shí)互聯(lián)網(wǎng) 知識(shí)互聯(lián)網(wǎng)題型一：整數(shù)邊三角形題型一：整數(shù)邊三角形思路導(dǎo)航 思路導(dǎo)航1、邊長都是整數(shù)的三角形，稱為整數(shù)邊三角形2、若三角形三邊的長為，且，則 三角形的最小的邊滿足：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立； 三角形的最大的邊滿足：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（上述公式建議教師結(jié)合三角形三邊關(guān)系和不等式給學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)）方程（特別是不定方程）和不等式是解決整數(shù)

2、邊三角形或內(nèi)角是整數(shù)的三角形的常用工具運(yùn)用這一工具時(shí)，枚舉法（樹狀圖）則是常用的方法，但要注意對(duì)求得的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)例題精講 例題精講已知等腰三角形的周長是8，邊長是整數(shù)，則腰長是多少？ 假設(shè)最大邊為a，則易知，所以. 即三邊滿足3，3，2.所以腰長為3.典題精練 典題精練若三角形的周長為，求最大邊的范圍. 設(shè)、均為自然數(shù)，且，試問以、為邊長的三角形共有多少個(gè)？設(shè)三角形的三邊為、，其中最大的邊滿足：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立依題意有，即； 三角形三邊關(guān)系定理，知，即， ， 為自然數(shù)，可取、當(dāng)時(shí)，；，；，；，；當(dāng)時(shí)，；，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述,以、為三邊長的三角形共有個(gè). 三角形三邊長、都是整數(shù)，且，若，

3、則有 個(gè)滿足題意的 三角形.三角形三邊長、都是整數(shù)，且，若，則有 個(gè)滿足題意的三角形三角形三邊長、都是整數(shù)，且，若，則有 個(gè)滿足題意的三角形上面都是已知三角形的周長，從三角形的最大的邊出發(fā)用枚舉法而本題提供了另 一種思路： 知道了，的范圍就確定了，對(duì)采用枚舉法就可以把問題算出來，現(xiàn)在對(duì)從 到枚舉滿足不等式的整數(shù)的個(gè)數(shù)為題型二題型二：多邊形及其內(nèi)、外角和思路導(dǎo)航 思路導(dǎo)航多邊形及其內(nèi)、外角和（一）多邊形及其內(nèi)角和1多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形 多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、對(duì)角線內(nèi)角：、 外角： 對(duì)角線：連接不相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)的線段是多邊形的對(duì)角線如.邊形對(duì)角線條數(shù)：

4、條 凸、凹多邊形：多邊形的每一邊都在任何一邊所在直線的同一側(cè)，叫做凸多邊形；反之叫做凹多邊形（如圖）圖（a）為凸多邊形 圖（b）為凹多邊形（a） （b） 正多邊形：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形（如圖正六邊形） AB=BC=CD=DE=EF=AF 2多邊形內(nèi)角和：邊形內(nèi)角和等于 多邊形內(nèi)角和公式推理方法一：過邊形一個(gè)頂點(diǎn)，連對(duì)角線，可以得條對(duì)角線，并且將邊形分成 個(gè)三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角和恰好是多邊形的內(nèi)角和將邊形分成個(gè)三角形 多邊形內(nèi)角和公式推理方法二：在邊形邊上取一點(diǎn)與各頂點(diǎn)相連，得個(gè)三角形，邊形內(nèi)角和等于這 個(gè)三角形內(nèi)角和減去在所取的一點(diǎn)處的一個(gè)平角，即 將邊形分成個(gè)三

5、角形 多邊形內(nèi)角和公式推理方法三：在邊形內(nèi)部取一點(diǎn)與邊形各頂點(diǎn)相連，得個(gè)三角形：、，這個(gè)三角形所有內(nèi)角之和為 故取多邊形內(nèi)一點(diǎn)，連結(jié)各頂點(diǎn)，將邊形分成個(gè)三角形注：多邊形內(nèi)角和公式可以通過割或補(bǔ)的思想推導(dǎo)得出，教師可以給學(xué)生介紹“補(bǔ)”的思想.（二）多邊形外角和1多邊形外角和等于如圖：，所以+等式右邊共有個(gè)相加，代表邊形的內(nèi)角和，整理得，即 多邊形外角和恒等于2多邊形邊數(shù)與內(nèi)外角和關(guān)系多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)相關(guān)：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加，邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少；每增加一條邊，內(nèi)角和增加，反過來也成立多邊形外角和恒等于，與邊數(shù)多少無關(guān)多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個(gè)

6、鈍角。在運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時(shí)，常與方程思想相結(jié)合，運(yùn)用方程思想是解決本節(jié)問題的常用方法.在解決多邊形的內(nèi)角和問題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來解決. 三角形是一種基本圖形，是研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，同時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.典題精練 典題精練 下列平面圖形 不具有穩(wěn)定性（黑點(diǎn)表示連接點(diǎn)） 如果四邊形四條邊依次為、，則的取值范圍是（ ）A B C D 科技館為某機(jī)器人編制一段程序，如果機(jī)器人在平地上按 照?qǐng)D示中的步驟行走，那么該機(jī)器人所走的總路程為 （ ）A米 B米 C米 D不確定 （西城抽樣測(cè)試）邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有條對(duì)角線，邊形沒有對(duì)角線，邊形對(duì)角線條數(shù)等于邊數(shù)，則 C提

7、示：三角形具有穩(wěn)定性D. 法一：常規(guī)方法，即利用“兩點(diǎn)間線段最短”公理 解得法二：極值法當(dāng)為最短邊時(shí)，為最長邊，當(dāng)為最長邊時(shí)，故 B多邊形的外角和為，每個(gè)外角為，則，故多邊形邊數(shù)為，則周長為 邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有條對(duì)角線，所以，則；沒有對(duì)角線的多邊形顯然是三角形，則；邊形條數(shù)與其邊數(shù)相等，即，所以故若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（ ）A5 B6 C7D （北京中考） 若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）A10 B9 C8D(北京中考) 一個(gè)多邊形內(nèi)角和是外角和的4倍，那么這是（ ）邊形.A10 B22 C15 D （人大附中期中）如果一個(gè)五邊形的個(gè)內(nèi)角都是，則第

8、個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是 一個(gè)凸多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都等于，那么，從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)是 B. B. A設(shè)多邊形的邊數(shù)為，由題意得，解得 每個(gè)外角為，邊數(shù)為，則每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)得到對(duì)角線的條數(shù)： 一個(gè)凸邊形，除一個(gè)內(nèi)角外，其余個(gè)內(nèi)角的和是，則的值為 如圖，試求的值 由凸邊形的內(nèi)角得，解不等式的，故 連接在和中，因（對(duì)頂角相等），所以， 本題解題關(guān)鍵在于添加輔助線構(gòu)造“”字型，將六個(gè)角的和轉(zhuǎn)化到四邊形中，輔助線起到較好的橋梁作用【拓展1】設(shè)一個(gè)凸多邊形的邊數(shù)為奇數(shù)，除去兩個(gè)內(nèi)角外，其余內(nèi)角和為2390，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)和這兩個(gè)內(nèi)角和【解析】設(shè)邊數(shù)為，這兩個(gè)內(nèi)角和為，則 根據(jù)題意得 因?yàn)?所

9、以，所以 【拓展2】一個(gè)多邊形所有的內(nèi)角與它的一個(gè)外角的和是，你知道這個(gè)多邊形的邊數(shù)嗎？說明理由。【解析】設(shè)邊數(shù)為，這個(gè)內(nèi)角為，則，根據(jù)題意得 因?yàn)槭?80的倍數(shù)， 所以必定是180的倍數(shù) 因?yàn)椋?所以題型三題型三：鑲嵌思路導(dǎo)航 思路導(dǎo)航1鑲嵌含義：用一種或多種平面圖形拼在一起，形成完整的，沒有縫隙的平面，這種拼圖方式稱為鑲嵌或密鋪設(shè)正多邊形邊數(shù)為，所以每一個(gè)內(nèi)角等于，鑲嵌時(shí)用塊，即，故2多邊形內(nèi)角的度數(shù)與鑲嵌的關(guān)系 用同一種正多邊形鑲嵌時(shí)，要求這種正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都能夠整除 拼接在同一個(gè)點(diǎn)的各個(gè)角的和等于 任意三角形、任意四邊形一定可以鑲嵌3. 用多邊形不重疊無縫隙地把平面的一部分完全覆蓋

10、在做鑲嵌問題時(shí)經(jīng)常要和不定方程結(jié)合典題精練典題精練 幼兒園的小朋友們打算選擇一種形狀、大小都相同的多邊形塑膠板鋪活動(dòng)室的地面， 為了保證鋪地時(shí)既無縫隙又不重疊，請(qǐng)你告訴他們下面形狀的塑膠板可以選擇的是（ ）三角形 四邊形 正五邊形 正六邊形 正八邊形A B C D 如果用一種正多邊形作平面鑲嵌，而且每一個(gè)正多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)周圍都有六個(gè)正多邊形，則該正多邊形的邊數(shù)為（ ）A B C D6 B總結(jié)：能否平鋪的關(guān)鍵是看能否圍繞某一點(diǎn)拼成一個(gè)周角任意的同一種三角形、 同一種四邊形和正六邊形都能平鋪A提示：由正多邊形的每個(gè)內(nèi)角相等得，則，得，正多邊形為正三角形 我們常用各種多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案，

11、也就是說，使用給定的某些多邊形，能夠拼成一個(gè)平面圖形，既不留一絲空白，又不互相重疊，這在幾何里叫作平面密鋪（鑲嵌）我們知道，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角的和為時(shí)，就能夠拼成一個(gè)平面圖形，某校研究性學(xué)習(xí)小組研究平面密鋪的問題，其中在探究用兩種邊長相等的正多邊形做平面密鋪的情形時(shí)用了以下方法：如果用個(gè)正三角形、個(gè)正六邊形進(jìn)行平面密鋪，可得，化簡因?yàn)椤⒍际钦麛?shù)，所以只有當(dāng)，或，時(shí)上式才成立，即個(gè)正三角形和個(gè)正六邊形或個(gè)正三角形和個(gè)正六邊形可以拼成一個(gè)無縫隙、不重疊的平面圖形，如圖、圖、圖 請(qǐng)你仿照上面的方法研究用邊長相等的個(gè)正三角形和個(gè)正方形進(jìn)行平面密鋪的情形，并按圖中給出的正方形和正三角

12、形的大小大致畫出密鋪后圖形的示意圖（只要畫出一種圖形即可） 如果用形狀、大小相同的如圖方格紙中的三角形，能進(jìn)行平面密鋪嗎？若能，請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉挟嫵雒茕伒脑O(shè)計(jì)圖本題主要研究兩個(gè)問題如何限用一種正多邊形鑲嵌，可選哪些正多邊形；選用兩種正多邊形鑲嵌，既具有開放性，又具有探索性假定正邊形，滿足鋪砌要求，那么在它的頂點(diǎn)接合的地方，個(gè)內(nèi)角的和為，這樣將問題的討論轉(zhuǎn)化為求不定方程的正整數(shù)解用個(gè)正三角形，個(gè)正方形進(jìn)行鑲嵌，可得，即，因?yàn)?、都是正整?shù)，所以只有當(dāng)，時(shí)，上式才成立，即用三個(gè)正三角形和兩個(gè)正方形可以進(jìn)行平面密鋪拼法如圖正確圖如圖所示【探究對(duì)象】與多邊形有關(guān)的習(xí)題總結(jié)【探究目的】今年來的初中數(shù)學(xué)經(jīng)常對(duì)多

13、邊形的角度、長度、面積等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查，以下列舉幾例，通過割補(bǔ)的基本思路，將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形予以解決。【探究一】多邊形與角度例1、如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊ABCF，CDAE. 按規(guī)定AB、CD的延長線相交成80角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測(cè)量. 這時(shí)師傅告訴徒弟只需測(cè)一個(gè)角，便知道AB、CD的延長線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測(cè)哪一個(gè)角嗎？說明理由. 【解析】本題中將AB、CD延長后會(huì)得到一個(gè)五邊形，根據(jù)五邊形內(nèi)角和為540，又由ABCF，CDAE，可知BAE+AEF+EFC=360，從540中減去80再減去360，剩下C的度數(shù)為100，所以只需測(cè)C的度數(shù)即可，同理

14、還可直接測(cè)A的度數(shù).測(cè)A或C的度數(shù)，只需A=100或C=100，即知模板中AB、CD的延長線的夾角是否符合規(guī)定.理由如下：連接AF，ABCF，BAF+AFC=180.又EAF+E+AFE=180，BAE+E+EFC=360.若C=100，則AB、CD的延長線的夾角=540360100= 80，即符合規(guī)定. 同理：若連接CE，可得AEF+F+DCF=360.若A=100，則也符合規(guī)定.總結(jié)：本題實(shí)際上是多邊形內(nèi)角和的逆運(yùn)算，關(guān)鍵在于正確添加輔助線. 例2、下圖所示是一個(gè)星型角度的求和問題，試計(jì)算的度數(shù)之和【解析】圖中存在兩個(gè)“飛鏢”模型，可得 也可連接AD，DE，利用“8”字模型【探究二】閱讀理

15、解題：網(wǎng)格紙上畫著縱、橫兩組平行線，相鄰平行線之間的距離都相等，這兩組平行線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，由多條線段首位順次相接而組成的圖形叫多邊形，如果一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，那么這種多邊形叫格點(diǎn)多邊形，有趣的是：這種多邊形的面積可根據(jù)圖形內(nèi)部及它的邊上的格點(diǎn)數(shù)目來計(jì)算，算法十分簡捷設(shè)格點(diǎn)多邊形的面積為S，多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)為N，它邊上的格點(diǎn)數(shù)為L，下面我們來探究S與N、L三者之間的數(shù)量關(guān)系，問題研究應(yīng)從簡單的圖形入手當(dāng)N=0時(shí)的格點(diǎn)多邊形，根據(jù)圖1觀察下表，填空： 圖形序號(hào)SNL104206308觀察圖1、可以發(fā)現(xiàn)S與L之間的數(shù)量關(guān)系式是：_ ；根據(jù)圖2，填寫下表：圖形序號(hào)SNL2.552.5263

16、43請(qǐng)你在圖2的位置上再畫一個(gè)N=2的格點(diǎn)多邊形（不同于圖2）；綜上分析與歸納，格點(diǎn)多邊形的面積S與多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)N，它邊上的格點(diǎn)數(shù)L之間的數(shù)量關(guān)系式是：_ 【解析】由題可以直接得到 由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有2格點(diǎn)時(shí)，的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5，面積為2.5，的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6，面積為4，的各邊上格點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，面積為4，進(jìn)而求出即可；圖形序號(hào)SNL2.5152.542634342畫圖答案不唯一 由圖可知多邊形內(nèi)部都有而且只有N格點(diǎn)時(shí)，利用圖形得出面積為：【探究三】多邊形面積 在邊長為4的正方形ABCD中，E、F分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且AE=BF=1，過線段EF上的點(diǎn)P分別作DC

17、，AD的垂線，垂足為M，N，延長NP交BC于Q，試寫出矩形PMDN的面積y與FQ的長x之間的關(guān)系【解析】 思維拓展訓(xùn)練（選講）思維拓展訓(xùn)練（選講） 如果一個(gè)凸多邊形恰有三個(gè)內(nèi)角是鈍角，求這個(gè)多邊形最多可以有多少條邊設(shè)這樣的多邊形最多邊數(shù)為因?yàn)橛腥齻€(gè)內(nèi)角是鈍角，所以這三個(gè)內(nèi)角之和小于且大于因?yàn)橛嘞碌膫€(gè)角應(yīng)是直角或銳角，所以這個(gè)內(nèi)角之和應(yīng)在和之間，所以，解得，所以最多有6條邊 在平面內(nèi)，分別用根、根、根火柴首尾依次相接，能搭成什么形狀的三角形呢？通 過嘗試，列表如下所示：根火柴能搭成三角形嗎？根、根火柴能搭成幾種不同形狀的三角形？ 根火柴不能搭成三角形； 根火柴能搭成一種三角形；根火柴能搭成種不同

18、的三角形：、 將長度為（為自然數(shù)且）的一根鉛絲折成各邊長均為整數(shù)的三角形，記 為三邊的長分別為，且滿足的一個(gè)三角形 就、的情況，分別寫出所有滿足題意的； 有人根據(jù)中的結(jié)論，便猜想：當(dāng)鉛絲的長度為（為自然數(shù)且）時(shí)，對(duì)應(yīng)的的個(gè)數(shù)一定是事實(shí)上，這是一個(gè)不正確的猜想；請(qǐng)寫出時(shí)的所有，并回答的個(gè)數(shù)； 試將時(shí)所有滿足題意的，按照至少兩種不同的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類 當(dāng)時(shí)，鉛絲長度為則滿足題意的只有一組：；當(dāng)時(shí)，鉛絲長度為則滿足題意的有兩組：，；當(dāng)時(shí)，鉛絲長度為則滿足題意的有三組：， 當(dāng)時(shí)，鉛絲長度為由題意，且，由此得，即，滿足題意的共組：； 不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，決定不同的分類現(xiàn)舉例如下： 按最大的邊的值分類，共有四類：

19、 ，有、五個(gè)； ，有、四個(gè)； ， 有、兩個(gè)； ， 只有一個(gè) 根據(jù)“有幾條邊相等”分類： 等邊三角形：只有一個(gè)； 等腰但不等邊三角形：有、四個(gè)；不等邊三角形：、七個(gè)根據(jù)最大角分類：（學(xué)生未學(xué)勾股定理）銳角三角形：有、六個(gè)； 直角三角形：只有一個(gè)；鈍角三角形：有、五個(gè)我們常見到如圖那樣圖案的地面，它們分別是全用正方形或全用正六邊形形狀的瓷磚鋪 設(shè)成的，這樣形狀的瓷磚能鋪成平整、無隙的地面請(qǐng)問： 像上面那樣鋪設(shè)地面，能否全用正五邊形瓷磚，為什么？ 你能不能另外設(shè)計(jì)出一種用同樣多邊形（不一定是正多邊形）的瓷磚鋪地的方案？把你想到的方案畫出來 你能再設(shè)計(jì)出一個(gè)用兩種不同的正多邊形的瓷磚鋪地的方案來嗎？如

20、能，請(qǐng)畫出草圖 因?yàn)檎暹呅未纱u的每一個(gè)內(nèi)角為，而不能整除，所以不能全用正五邊形的瓷磚鋪設(shè)地面 同學(xué)們自然想到正三角形瓷磚及工人砌墻用的磚頭矩形（非正多邊形）等，如圖： 事實(shí)上不規(guī)則的同一種三角形或同一種四邊形瓷磚都能鋪設(shè)地面 用兩種正多邊形瓷磚鋪設(shè)地面的方案也是很多，下面給兩種，如圖： 復(fù)習(xí)鞏固復(fù)習(xí)鞏固題型一 整數(shù)邊三角形 鞏固練習(xí) 【練習(xí)1】一個(gè)三角形的周長為偶數(shù)，其中的兩條邊長分別為4和2003，則滿足上述條件的三角形的個(gè)數(shù)為( )A1個(gè) B3個(gè) C5個(gè) D7個(gè)選B，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，可求出三角形的第三邊的取值范圍是：大于1999而小于2007，再依其周長為偶數(shù)，可知第三邊應(yīng)為20

21、00，2001，2002，2003，2004，2005，2006，這七個(gè)數(shù)中選出，而周長為偶數(shù)，已知一邊長為偶數(shù)，一邊長為奇數(shù)，由此可知，可第三邊邊長應(yīng)為奇數(shù)所以第三邊邊長為2001，或2003或2005選B題型二 多邊形及其內(nèi)、外角和 鞏固練習(xí)【練習(xí)2】已知一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為（ ）A B C D 一個(gè)多邊形內(nèi)角和為，且每個(gè)內(nèi)角相等，那么這個(gè)多邊形的一個(gè)外角為（ ）A B C DB設(shè)邊數(shù)為，得，則由于每個(gè)內(nèi)角相等，則每個(gè)外角相等，故每個(gè)外角為，故選C【練習(xí)3】如圖，求的值 恰當(dāng)連線構(gòu)造“”字型或角的轉(zhuǎn)換將凹多邊形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為凸多邊形內(nèi)角和連接，則，于是原式五邊形的內(nèi)角和，故點(diǎn)