大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)第一章多項(xiàng)式第五節(jié)課件(課堂講解)

1、主要內(nèi)容引入不可約多項(xiàng)式第五節(jié) 因式分解定理因式分解及唯一性定理二、不可約多項(xiàng)式在下面的討論中，仍然選定一個(gè)數(shù)域 P 作為系數(shù)域，我們考慮數(shù)域 P 上的多項(xiàng)式環(huán) Px 中多項(xiàng)式的因式分解.1. 定義定義 8 數(shù)域 P 上次數(shù) 1 的多項(xiàng)式 p(x) 稱為域 P 上的不可約多項(xiàng)式，如果它不能表成數(shù)域 P上兩個(gè)次數(shù)比 p(x) 的次數(shù)低的多項(xiàng)式的乘積.按照定義，一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式.正如上面指出的，x2 + 2 是實(shí)數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式，但是它在復(fù)數(shù)域上可以分解成兩個(gè)一次多項(xiàng)式的乘積，因而不是不可約的這就說(shuō)明了，一個(gè)多項(xiàng)式是否不可約是依賴于系數(shù)域的.顯然，不可約多項(xiàng)式 p(x) 的因式只有非

2、零常數(shù)與它自身的非零常數(shù)倍 cp(x) (c 0) 這兩種，此外就沒(méi)有了.反過(guò)來(lái)，具有這個(gè)性質(zhì)的次數(shù) 1 的多項(xiàng)式一定是不可約的.由此可知，不可約多項(xiàng)式p(x) 與任一多項(xiàng)式 f (x) 之間只可能有兩種關(guān)系，或者 p(x) | f (x) 或者 ( p(x) , f (x) ) = 1 .事實(shí)上，如果( p(x) , f (x) ) = d(x) ，那么 d(x) 或者是 1 或者是cp(x) (c 0) .當(dāng) d(x) = cp(x) 時(shí)，就有 p(x) | f (x) .不可約多項(xiàng)式有下述的重要性質(zhì).2. 性質(zhì)定理 5 如果 p(x) 是不可約多項(xiàng)式，那么對(duì)于任意的兩個(gè)多項(xiàng)式 f (x)

3、 , g(x) ，由 p(x) | f (x) g(x) 一定推出 p(x) | f (x) 或者 p(x) | g(x) .證明如果 p(x) | f (x) ，那么結(jié)論已經(jīng)成立.如果 p(x) | f (x) ，那么由以上的說(shuō)明可知( p(x) , f (x) ) = 1 .于是由即得 p(x) | g(x) .證畢利用數(shù)學(xué)歸納法，這個(gè)定理可以推廣為：如果不可約多項(xiàng)式 p(x) 整除一些多項(xiàng)式 f1(x) , f2(x) , ,fs(x) 的乘積 f1(x) f2(x) fs(x) ，那么 p(x) 一定整除這些多項(xiàng)式之中的一個(gè).下面來(lái)證明這一章的主要定理.三、因式分解及唯一性定理因式分解

4、及唯一性定理次數(shù) 1 的多項(xiàng)式 f (x) 都可以唯一地分解成數(shù)域 P上一些不可約多項(xiàng)式的乘積.所謂唯一性是說(shuō) , 如果有兩個(gè)分解式f (x) = p1(x) p2(x) ps(x) = q1(x) q2(x) qt(x) ,那么必有 s = t , 并且適當(dāng)排列因式的次序后有pi(x) = ci qi(x) , i = 1 , 2 , , s , 其中ci (i = 1 , 2 , , s ) 是一些非零常數(shù).數(shù)域 P 上每一個(gè)證明先證分解式的存在性.我們對(duì) f (x) 的次數(shù)作歸納法.因?yàn)橐淮味囗?xiàng)式都是不可約的，所以 n = 1 時(shí)結(jié)論成立.設(shè) ( f (x) ) = n , 并設(shè)結(jié)論對(duì)于

5、次數(shù)低于 n 的多項(xiàng)式已經(jīng)成立.如果 f (x) 是不可約多項(xiàng)式，結(jié)論是顯然的 , 不妨設(shè) f (x) 不是不可約的，即有f (x) = f1(x) f2(x) ，其中 f1(x)， f2(x) 的次數(shù)都低于 n .由歸納法假設(shè) f1(x) 和 f2(x) 都可以分解成數(shù)域 P 上一些不可約多項(xiàng)式的乘積.把 f1(x)， f2(x) 的分解式合起來(lái)就得到f (x) 的一個(gè)分解式.由歸納法原理，結(jié)論普遍成立.再證唯一性.設(shè) f (x) 可以分解成不可約多項(xiàng)式的乘積f (x) = p1(x) p2(x) ps(x) .如果 f (x) 還有另一個(gè)分解式f (x) = q1(x) q2(x) qt(

6、x) ,其中 qi(x) ( i = 1 , 2 , , t ) 都是不可約多項(xiàng)式, 于是f (x) = p1(x) p2(x) ps(x) = q1(x) q2(x) qt(x) . (1)我們對(duì) s 作歸納法.當(dāng) s = 1 ， f (x) 是不可約多項(xiàng)式，由定義必有s = t = 1 ,且f (x) = p1(x) = q1(x) .現(xiàn)在設(shè)不可約因式的個(gè)數(shù)為 s - 1 時(shí)唯一性已證.由f (x) = p1(x) p2(x) ps(x) = q1(x) q2(x) qt(x)得p1(x) | q1(x) q2(x) qt(x)，因此， p1(x) 必能除盡其中的一個(gè)，無(wú)妨設(shè)p1(x) |

7、 q1(x) .因?yàn)?q1(x) 也是不可約多項(xiàng)式，所以有p1(x) = c1q1(x) , (2)p1(x) p2(x) ps(x) = q1(x) q2(x) qt(x)p1(x) = c1q1(x) 由得p2(x) ps(x) = c1-1q2(x) qt(x) .由歸納法假定，有s - 1 = t - 1 , 即 s = t , (3) 并且適當(dāng)排列次序之后有p2(x) = c2c1-1q2(x) ，即 p2(x) = c2q2(x) ，pi (x) = ci qi (x) ( i = 3, , s ) . (4)(2) , (3) , (4) 合起來(lái)就是所要證的結(jié)論.證畢應(yīng)該指出，因

8、式分解定理雖然在理論上有其基本重要性，但是它并沒(méi)有給出一個(gè)具體的分解多項(xiàng)式的方法.實(shí)際上，對(duì)于一般的情形，普遍可行的分解多項(xiàng)式的方法是不存在的.在多項(xiàng)式 f (x) 的分解中，可以把每一個(gè)不可約因式的首項(xiàng)系數(shù)提出來(lái)，使它們成為首項(xiàng)系數(shù)為 1的多項(xiàng)式，再把相同的不可約因式合并.于是 f (x)的分解式為其中 c 是 f (x) 的首項(xiàng)系數(shù)， p1(x) , p2(x) , , ps(x) 是不同的首項(xiàng)系數(shù)為 1 的不可約多項(xiàng)式，而 r1 , r2 , , rs 是正整數(shù).這種分解式稱為標(biāo)準(zhǔn)分解式.如果已經(jīng)有了兩個(gè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式，我們就可以直接寫(xiě)出兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式.多項(xiàng)式f (x) 與

9、g(x) 的最大公因式 d(x) 就是那些同時(shí)在f (x)與 g(x) 的標(biāo)準(zhǔn)分解式中出現(xiàn)的不可約多項(xiàng)式方冪的乘積，所帶的方冪的指數(shù)等于它在 f (x) 與 g(x)中所帶的方冪中的較小的一個(gè).由以上討論可以看出，帶余除法是一元多項(xiàng)式因式分解理論的基礎(chǔ).我們知道，整數(shù)也有帶余除法，即對(duì)于任意整數(shù) a , b, b 0 , 都存在唯一的整數(shù)q , r , 使 a = qb + r , 其中 0 r | b | .本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂課, 請(qǐng)單擊返回按鈕.本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 !若想結(jié)束本堂

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