中考數(shù)學復習微專題：梯形中常見輔助線的添加方法

1、梯形中常見輔助線的添加方法本文就求解梯形問題時輔助線的作法進行歸類探究，供參考 一、連結對角線，構造三角形 連結對角線的本質(zhì)是將梯形轉(zhuǎn)化為基本三角形，再利用三角形的一些性質(zhì)與規(guī)律去解決問題 例1 求證： 梯形面積（上底下底）高2二、添加平行線，構造平行四邊形 證明 如圖l，梯形ABCD，連結對角線AC，則S梯形ABCD=SABC+SACD 設ABC的高為h，顯然ACD的高也為h S梯形ABCD=SABC+SACD BChADh （BCAD）h 故梯形面積（上底+下底）高2，得證 二、添加平行線，構造平行四邊形添加平行線的核心是將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，再運用平行四邊形的一些性質(zhì)與規(guī)律去解決問題，

2、添加方法有過頂點向形內(nèi)或向形外作平行線兩種情形 1、向形內(nèi)作平行線 例2 如圖2，在梯形ABCD中，ABCD，D80，C50，DC9，AB5，求AD的長 解 過點B作BEAD，交DC于點E 由題可知四邊形ADEB為平行四邊形， ADBEABDE5， DBEC80 C50 EBC180508050， 即BEECDCDE4， 故AD4 2、向形外作平行線例3如圖3，在梯形ABCD中，ADBC，對角線ACBD若AD3，BC7，則梯形ABCD面積的最大值為_解 過點D作DEAC，與BC的延長線交于點E，易知DEBD四邊形ACED為平行四邊形， 即ADCE，所以SABDSCED 由圖3知， S梯形ABC

3、DSABDSBCDSBEDBDDE 兩邊同時平方，得 S2梯形ABCDS2BDEBD2DE2， 在RtBDE中，由勾股定理，得 BD2BE2DE2100DE2， S2梯形ABCD（100DE2）DE2DE425DE2 配方得 S2梯形ABCD(DE250)2625 即當DE250時， S2梯形ABCD max625， S梯形ABCDmax25 故梯形ABCD面積的最大值為25 三、添加垂線，構造直角三角形或矩形作垂線一般是將梯形轉(zhuǎn)化為矩形與直角三角形，再運用二者的規(guī)律去解決問題， 例4 如圖4，在等腰梯形ABCD中，上底為10，下底為18，腰長為5求梯形的面積解 過點A、D作BC垂線，垂足分別

4、為E、F，AEDF，四邊形AEFD為平行四邊形，即EF=AD=10根據(jù)對稱性可知，BECF4 在直角ABE中， 由勾股定理，得 AE2AB2BE2， AE3 故梯形的面積為： S（ADBC）AE(1018)342 四、反向延長腰，構造特殊三角形 若梯形是等腰梯形，底角特殊，通常反向延長腰將梯形轉(zhuǎn)化成特殊三角形，達到簡化問題的目的 例5 如圖5，已知梯形ABCD中，ABCD，ADBC，B60，AD2，BC8，求此梯形的周長 解 反向延長AB，DC交于點E， 由題意可知，EBC為等邊三角形 又EADEDA60 EAD為等邊三角形， ABBEAEBCAD826 故梯形的周長為 ABBCCDDA686

5、222 五、添加中位線 作中位線的目的是利用中位線定理去解決問題 例6 如圖6，已知AEDH，B、C分別是AD的四等分點，F(xiàn)、G分別是EH的四等分點，AE28DH36，求BF和CG的長度 解 分別取AD、EH的中點M、N，連結MN， MN是梯形ADHE的中位線， 即MN（AEDH）(2836)32 又BF、CG分別是梯形AMNE、MDHN的中位線，BF(AEMN)(2832)30， CG(MNDH)(3236)34 六、作過頂點和腰中點的連線，構造全等三角形 添加該輔助線后，通常是將梯形轉(zhuǎn)化為多個三角形與四邊形，再尋找其中的全等三角形解決問題 例7 如圖7，梯形ABCD中，M為腰AD的中點，MHBC于點H求證：S梯形ABCDBCMH 證明 連結CM，并延長交AB的反向延長線于點N，連結BM根據(jù)題意，由“角邊角”可知DMCAMN， 七、添加對稱軸，利用對稱性 具備對稱性質(zhì)的圖形十分優(yōu)美，梯形中添加對稱軸后，對應的線段、角度等均相等 例8 如圖8，在梯形ABCD中，ADBC，ABCD請在梯形內(nèi)部求作一點O，使OAOBOCOD 作法 (1)作梯形ABCD的對稱軸分別交AD、BC于點M、N (2)作腰AB的垂直平分線交MN于點