數(shù)學(xué)分析課本(華師大三版)習(xí)題及答案第十三章

1、第十三章函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一、證明題1.討論下列函數(shù)列或函數(shù)項級數(shù)在所示區(qū)間D上是否一致收斂，并說明理由：1fn(x)=x2口2n=12.：D=(-l，l)；x侶話寸1，2，-）；(3)fn(x)=-(n+1)x+1,0 x(n=1，2）；n1(n=1，2）；0,0),若對每個自然數(shù)n.有l(wèi)fn(x)-f(x)IWan,xWD,則fn在D上一致收斂于f.設(shè)fn為定義在a,b上的函數(shù)列，且對每一個n,fn在點a右連續(xù)，但fn(an)是發(fā)散的，證明在任何開區(qū)間(a,a+5)這里(a+8b)內(nèi)fn都不一致收斂.設(shè)函數(shù)項級數(shù)u(x)在D上一致收斂于S(x),函數(shù)g(x)n在D上有界，證明級數(shù)g(x)u

2、(x)在D上一致收斂于ng(x)S(x).5.若在區(qū)間I上,對任何自然數(shù)n,lun(x)IWVn(x),證明當(dāng)v(x)在I上一致收斂時，級數(shù)u(x)在I也一致收斂.nnun(a)n6.設(shè)un(x)(n=l,2，)是a,b上的單調(diào)函數(shù)，證明un(a)nu(b)都絕對收斂,則級數(shù)n收斂.7.在0,1上定義函數(shù)列u(x)=n0,1x=n1u(b)都絕對收斂,則級數(shù)n收斂.7.在0,1上定義函數(shù)列u(x)=n0,1x=n1XHnn=1,2證明：級數(shù)u(x)在0,1上一致收斂，但它不存在優(yōu)級n數(shù).8.證明:級數(shù)(-1)nxn(1-x)在0,1上絕對并一致收斂,n，0但由其各項絕對值組成的級數(shù)在0,1上卻

3、不一致收斂.9.設(shè)f為定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任一函數(shù),記fn(x)=mx),n=1,2,，證明函數(shù)列fn在(a,b)內(nèi)一致收斂于f.設(shè)un(x)為a,b上正的遞減且收斂于零的函數(shù)列，每一個un(x)都是a,b上的單調(diào)函數(shù).則級數(shù)Ui(x)-U2(x)+U3(x)-U4(x)+在a,b上一致收斂.證明：若函數(shù)列fn在a,b上滿足定理13.10的條件，則fn在a,b上一致收斂.sinnx在(-8,+)上連續(xù)，且有連n3續(xù)的導(dǎo)函數(shù).13.證明：定義在0,2n上的函數(shù)項級數(shù)rncosnxn，0(0r0);15.證明函數(shù)E(x)=丄在(1,+g)內(nèi)連續(xù)，且有連續(xù)的各nx階導(dǎo)數(shù).nxTx0在且相等,即l

4、imlimf(x)=limnnTgxTxxTx00 xTx016證明:若函數(shù)列fn在x0nxTx0在且相等,即limlimf(x)=limnnTgxTxxTx00 xTx0limf(x)nnTg17.設(shè)f在(-8,+)上有任何階導(dǎo)數(shù)，記Fn=f(n),且在任何有限區(qū)間內(nèi),FnP(ng),試證P(x)=cex(c為常數(shù)).、計算題1.判別下列函數(shù)項級數(shù)在所示區(qū)間上的一致收斂性.(1)xn(1)xn(n-1)!,xG-r,r；(2)(2)嘗1：,XG-g,+g;(1+x2)n(3)工上,丨(3)工上,丨x|0;xn(4)xn(4),xG0,1.n24.4.設(shè)S(x)=n-n,xW(-b,+b),計

5、算積分0S(t)dt.2.討論下列函數(shù)列或函數(shù)英級數(shù)在所示區(qū)間D上的斂散性:(1)f(x)-1,n-1,2,D-(0,1n1+nxsinnx,D-0,2tt;n,1-2n,D=-1,1;(X2+n2)x2+(n-1)2n-2,2nsin,D=(0,+b)3nD=(O,+b)(5)1+(n一(5)1+(n一l)x2(l+nx2)(6),D=-l,0;(7)(1)nX2n+1(7)(1)nX2n+12n+1D=-l,l3.設(shè)S(x)=Xn1n2,x-1,1,計算積分J0S(t)dt.4.4.設(shè)S(x)=n-n,xW(-b,+b),計算積分0S(t)dt.4.4.設(shè)S(x)=n-n,xW(-b,+b

6、),計算積分0S(t)dt.cosnx5.設(shè)S(x)=ne-nx(xo),計算積分,憐側(cè)ln2三、考研復(fù)習(xí)題1.試問K為何值時，下列函數(shù)列fn致收斂:(1)fn(x)=xnke-nx,0Wxv+8；xnk，nnnn(2)f(x)=n(2-xnk,5丿0,x1n2證明:若fn(x)ff(x)(n-g)(x丘I),且f在I上有界，則fn至多除有限項外，在I上是一致有界的;(2)若fn(x)=f(x)(n-)(xGI),且對每一個自然數(shù)n,fn在I上有界，則fn在I上一致有界.3.設(shè)f為上的連續(xù)函數(shù)，證明：1(1)xnf(x)在2,1上收斂;xnxnf(x)在2，1致收斂的充要條件是f在I2，1上有界且f(1)=04.若把定理13.9中一致收斂函數(shù)列fn的每一項在a,b上連續(xù)改為在a,b上可積，試證fn在a,b上的極限函數(shù)在a,b上也可積.5.證明：由二重極限lim(limcos