兩體與質(zhì)心精品課件

1、兩體與質(zhì)心第1頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日1 兩體系統(tǒng)概論 兩質(zhì)點系統(tǒng)是最簡單的質(zhì)點系統(tǒng)統(tǒng)稱兩體問題。兩體問題最基本特征就是動量角動量守恒最簡單的雙星和氫原子運動第2頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日2 兩體系統(tǒng)的動力學(xué)問題1 處理方法 （1）聯(lián)立方程法對兩個質(zhì)點分別寫出牛頓動力學(xué)方程，共兩個矢量方程（二維空間中，有四個標(biāo)量方程）。（2）等效一體法寫出兩體的質(zhì)心運動方程和兩質(zhì)點相對運動方程，也有兩個矢量方程。第3頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日 對于兩體問題，用第（2）種方法是明智的，尤其對孤立系統(tǒng)的質(zhì)心不必通過動力學(xué)方

2、程求解，直接由初始條件就可以得到質(zhì)心的速度，如此，只需求解兩體的相對運動方程就可以了。值得指出的是，尤其當(dāng)兩體之間的相互作用內(nèi)力是兩體相對位矢的函數(shù)（例如萬有引力，庫侖力，分子力等）時，用等效一體化方法求解此類問題，尤為便捷和有趣。第4頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日2 兩體系統(tǒng)的質(zhì)心兩體質(zhì)心的平面坐標(biāo) 兩體質(zhì)心的速度 同理可定義兩體質(zhì)心的加速度 第5頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日Om1m2設(shè)質(zhì)點1和質(zhì)點2的質(zhì)量分別為m1和m2，位矢分別為 和 ，由牛頓運動定律，可得令 相對加速度 折合質(zhì)量3 孤立兩體系統(tǒng)的動力學(xué)方程第6頁，共60頁，2022

3、年，5月20日，2點33分，星期日討論：（1）質(zhì)點1所遵循的動力學(xué)方程的形式與質(zhì)點2形式相同，1 2。（1）（2）方程1既是質(zhì)點1在質(zhì)心系中的動力學(xué)方程，又是質(zhì)點2在質(zhì)心系中的方程（證明從略）。質(zhì)點1和2在質(zhì)心系中的動力學(xué)的另一種表達(dá)式為：其中第7頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日水平面上有一輛質(zhì)量為M的小車，車內(nèi)有一平臺，平臺上有一根輕質(zhì)彈簧，彈簧一端與小車的后壁固定，將彈簧壓縮一定線度后鎖定，并將一個質(zhì)量為m的小球靠在壓縮彈簧的自由端，解除鎖定，彈簧可將小球彈出，小球飛出平臺落在地板上。求下面兩種情況下小球在車內(nèi)落地點與平臺邊緣的水平距離之比，（1）小車固定；（2）小

4、車不固定。計算時忽略一切摩擦。第8頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日設(shè)彈簧彈性勢能為E，小車固定，小球彈出時速度為v1，有小車不固定，小球彈出時相對速度為v2，有兩次距離之比等于速度之比，即第9頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日如圖所示，一質(zhì)量為M、長為L的長方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一質(zhì)量為m的小木塊A，m0m分析碰撞過程第一次碰撞用時第k次碰撞用時第45頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日A，B系統(tǒng)的質(zhì)心加速度在tk時間內(nèi)質(zhì)心位移A球的位移電場力對A所做的功第46頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分

5、，星期日FMmm12內(nèi)、外半徑幾乎同為R、質(zhì)量為M的均質(zhì)圓環(huán)，靜止地平放在水平桌面上，環(huán)內(nèi)某直徑的兩端各有一個質(zhì)量同為m的靜止小球。令從t=0開始，用一個恒定的水平外力F拉環(huán)，F(xiàn)方向的反向延長線通過環(huán)心，且與上述直徑垂直，如圖所示。設(shè)系統(tǒng)處處無摩擦，小球是剛性球，小球間的碰撞是完全彈性的。（1）計算碰撞前瞬間兩小球相對速度的大??；（2）計算碰撞前瞬間圓環(huán)相對桌面的加速度大小。第47頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日4 兩體系統(tǒng)能量和動量問題第48頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日3 孤立兩體系統(tǒng)的動量守恒 由于孤立系統(tǒng)不受外力作用，它的基本特征就是系

6、統(tǒng)的動量守恒，系統(tǒng)對某一參考系（姑且稱為實驗室系）的總動量等于該系統(tǒng)在質(zhì)心的質(zhì)心動量，因此，對于動量守恒的系統(tǒng)，以質(zhì)心為系有極大的優(yōu)越性，故在高能物理和核物理中，研究粒子散射問題時，科學(xué)家經(jīng)常利用質(zhì)心坐標(biāo)系是非常方便的。第49頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日質(zhì)心系是系統(tǒng)動量為零的坐標(biāo)系，也就是說各質(zhì)點相對于質(zhì)心的動量的矢量和（不是速度的矢量和）等于零，對于在原子核物理高能物理中的兩體散射（碰撞）問題或粒子衰變問題中，反應(yīng)前后的產(chǎn)物的動量大小一定相等，方向相反，對分析和計算此類問題非常簡便。實驗室系質(zhì)心系第50頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日13.

7、兩個具有相同能量和相同質(zhì)量的粒子1和2在實驗室系中作如圖所示的碰撞，在實驗室系中粒子的速度大小為u，碰撞角為。在質(zhì)心系看來，這兩個粒子作對心正碰撞。（1）求質(zhì)心系的速度；（2）將碰撞前質(zhì)心系中的總動能和實驗室系中的總動能作比較，將結(jié)果用速度u和碰撞角表示出來。）xymuum12第51頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日第52頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日對于孤立的兩體系統(tǒng)，其動能定理可表述為：兩體孤立系統(tǒng)的動能定理無論是質(zhì)心系還是實驗室系，相對動能都可表示為第53頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日核反應(yīng)中的資用能第54頁，共6

8、0頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日14.粒子物理中的夸克碎裂可用下面力學(xué)模型模擬。有三個質(zhì)量相等的質(zhì)點，質(zhì)點1與質(zhì)點2中間夾置一個被充分壓縮了的輕質(zhì)極短彈簧，并用輕質(zhì)細(xì)線束縛在一起（此時兩個質(zhì)點可以當(dāng)成是一個整體），靜止地放在光滑水平面上，另一個質(zhì)點3沿該平面射向它們，質(zhì)點1和質(zhì)點3相碰撞并粘在一起運動（由于彈簧極短，此時只考慮整體的平動），在運動過程中用遙控使輕質(zhì)細(xì)線繃斷，彈簧釋放，三個質(zhì)點分成兩部分：一部分是質(zhì)點2，另一部分是粘在一起的質(zhì)點1和質(zhì)點3。已知彈簧被壓縮時的彈性勢能是EP。第55頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日為了使被釋放的質(zhì)點2的散射角保

9、持在30之內(nèi)，求質(zhì)點3入射時的動能應(yīng)滿足什么條件？注：此處散射角是指質(zhì)點2射出后的運動方向與質(zhì)點3入射時的運動方向之間的夾角。第56頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日解：質(zhì)點1、2、3的共同速度為v，有（1）下面在質(zhì)心系中討論：設(shè)質(zhì)點散射后，質(zhì)點2的速率為 ，1、3的速率為 ，由動量守恒和能量守恒，得（2）（3）解的（4）第57頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日質(zhì)點2在實驗室系中的速度 滿足（5）由矢量示意圖，可以看出（6）故質(zhì)點2的入射動能（7）第58頁，共60頁，2022年，5月20日，2點33分，星期日質(zhì)心系問題小結(jié)對于復(fù)雜的質(zhì)點系的動力學(xué)問題，應(yīng)有質(zhì)心系的動量定理和功能關(guān)系會使問題變得簡單，因為質(zhì)心的運動加速度決定于系統(tǒng)的外力，而對于孤立系統(tǒng)，應(yīng)用質(zhì)心系處理顯得尤為簡明。這是因為： （1）孤立系統(tǒng)的質(zhì)心速度不變，質(zhì)心的總動能不變，在質(zhì)心系中討論能量問題時，只研究不同狀態(tài)下各質(zhì)點相對于質(zhì)心的動能變化，或質(zhì)點間的相對動能變化（主要對兩體問題）第59頁