數(shù)列的極限知識點(diǎn)方法技巧例題附答案和作業(yè)題

1、例6例6數(shù)列的極限一、知識要點(diǎn)1數(shù)列極限的定義：一般地，如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列a的項(xiàng)a無限趨近于nn某個常數(shù)a（即laal無限地接近于0）,那么就說數(shù)列a以a為極限.記作lima，a.(注:nlima，a.(注:nn82幾個重要極限：lim，0n8n1)3)limann8a不一定是a中的項(xiàng)）n1,不存在,(2)limC，C(C是常數(shù))n81,或a，-14）十a(chǎn)n4）十a(chǎn)nt+ant-1Hban+alim0#=1-n8bns+bns-1hbbn+b01s-10(st)a(s，t)0b0不存在(st)s3.數(shù)列極限的運(yùn)算法則：女口果lim3.數(shù)列極限的運(yùn)算法則：女口果lima，A,lim

2、bnnn8n8lim(a+b)，A+Bnnn8=B,那么lim(an8-bnn例6例6lim(ab)，Alim(ab)，A.Bnnn8lim-n，(B豐0).bBn8un4無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和公比的絕對值小于1的無窮等比數(shù)列前n項(xiàng)的和，當(dāng)n無限增大時的極限，叫做這個無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和，記做S，limSnn8(2)S，limS，-,(0lql1)n8n1-q二、方法與技巧只有無窮數(shù)列才可能有極限,有限數(shù)列無極限運(yùn)用數(shù)列極限的運(yùn)算法則求數(shù)列極限應(yīng)注意法則適應(yīng)的前提條件.（參與運(yùn)算的數(shù)列都有極限，運(yùn)算法則適應(yīng)有限個數(shù)列情形）求數(shù)列極限最后往往轉(zhuǎn)化為丄CmeN）或qn（q|J型的極限.nm例6例6求

3、極限的常用方法：分子、分母同時除以nm或an.求和（或積）的極限一般先求和（或積）再求極限.利用已知數(shù)列極限（如limqn，0q|0);例5已知lim(nTn2F1n+1一an一b）=1，求實(shí)數(shù)a,b的值;例6例6例6例6a1a11Fq-qn）=2,求a1的取值范圍已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q,且有l(wèi)im（n例6例6例7已知數(shù)列a”是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a1=3，且滿足lgan=lgan+lgc,其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式及前n和S；nn2n-1a求lim”的值.nT2n+an,1數(shù)列極限課后檢測1下列極限正確的個數(shù)是（lim=0(a0)limqn=0nTnnT2

4、n3nlim=1nf2n+3nlimC=C(C為常數(shù))nfA2B3C43下列四個命題中正確的是（lim=0(a0)limqn=0nTnnT2n3nlim=1nf2n+3nlimC=C(C為常數(shù))nfA2B3C43下列四個命題中正確的是（D都不正確A若lima2=A2,貝lima=AnnTB若a0,lima=A,nnf則A0C若lima=A,nnf貝lim2nnfD若limnf(ab)=0,n貝limannT=limbnnT5若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是3n,2na=n,(1)n(3n2n)(1)(325=1,2,，則lim(a1+a2+an)等于（）11A-246數(shù)列an中,a的極限存在,n17B-

5、241a1=5，an+an+1CI4nT25D242A-55n,11C4,nN*,貝9lim(a1+a2+an)等于(nT4D-25,27.limnT1+2，nn2,2nlim”t2n23例6例6例6例68已知a、b、c是實(shí)常數(shù)，且limnfan,c=2,bn,climnTbn2-can2+c,=3,則lim的值是(-bncn2+acn2例6例6例6例6，an1）在直線Xy3=0上9，an1）在直線Xy3=0上alim”一nT(n,1)21810等比數(shù)列an公比q=-，且lim(a1+a3+a5+a2n1)=-,則a1=2nT3111111已知數(shù)列a滿足(n1)a.=(n+1)(a1)且a2=

6、6,設(shè)b=a+n(nN*)111+b2b111+b2b2b234n)的值(1)求bn的通項(xiàng)公式；(2)求lim(nfa112已知a”、b”都是無窮等差數(shù)列，其中a1=3,b1=2,b2是a2與a3的等差中項(xiàng)，且lim=,nTb2n求極限limnT+)的值ababab1122nn例題解析答案的分子有界，分可以無限增大，因此極限為0；3n2+2n+1的分子次數(shù)等于分母次數(shù)，極限為兩首項(xiàng)(最高項(xiàng))系數(shù)之比;lim-1的分子次數(shù)小于于分母次數(shù)，極限為0n*n2+1解：lim塵解：lim塵0；nJn3n2+2n+1limlimn2+1nTnT213+-nn231；1+-n21111111122_1_1+

7、limlimlim_n0n2+11nTnTnT1n2點(diǎn)評：分子次數(shù)高于分母次數(shù)，極限不存在；分析:(4)因?yàn)榉肿臃帜付紵o極限，故不能直接運(yùn)用商的極限運(yùn)算法則，可通過變形分子分母同除以n2后再求極限；(5)因n2+n與n都沒有極限，可先分子有理化再求極限;(6)因?yàn)闃O限的運(yùn)算法則只適用于有限個數(shù)列，需先求和再求極限解:(1)limnf2n2解:(1)limnf2n2+n+7=lim5n2+7nTnn2n22)limn2+nn)=lim=limnTnTn2+n+nnT1+1+133例例5(3)原式=lim2+4+6+2n(3)原式=lim2+4+6+2n=lim叢凹=lim(1+1)=1nnTn2

8、nTn2nTlim(2n2+n+7)點(diǎn)評：對于(1)要避免下面兩種錯誤：原式=n十lim(5n2+7)n=1,lim(2nnT2+n+7),lim(5n2+7)不存在，：原式無極限nT對于(2)要避免出現(xiàn)下面兩種錯誤：lim(n2+nn)=limn2+nlimn=nTnTnT88=0；原式=limn2+nlimn=不存在nTnT242n對于(3)要避免出現(xiàn)原式=lim+lim+-+lim=0+0+0=0這樣的錯誤nTn2nTn2nTn2a例3數(shù)列a例3數(shù)列a和b都是公差不為0的等差數(shù)列，且訕尸nnbnnT=3,求limnTa,a,a12nb2n33例例533例例5值為a解：由lim亍=3d1=

9、3d2,nTUnna+d121十a(chǎn),a,a十:lim2n=limn*nna+d121十a(chǎn),a,a十:lim2n=limn*nb+(2n-1)d2nTnb2ndu4d23點(diǎn)評:4化歸思想例4anan求limn*an+a-na0);1丄a2nr1nT1+一a2nlim(a1),解：Tana-nlim二vn*an+an(a1),點(diǎn)評：注意分類討論a2n-11limnTa2n+1(0a1).33例例533例例5zn2,1八”、已知lim(-an-b)1，求實(shí)數(shù)a,b的值;n,1nT(1-a)n2-(a,b)n-b,1解:lim=1,nT1a二0-(ab)二1I例6已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為Q，公比為q,

10、且有l(wèi)im(影-qn(影-qn)=2,求a1的取值范圍解:limnfga1京-qn)=2,33例例533例例5limqn定存在OVIqlVl或q=1nfg當(dāng)q=1當(dāng)q=1時，a1才t=2，W=333例例533例例5a1a1當(dāng)OVIqlVl時，由lim(1qn)=得1=,A2a11=qnfg1+q21+q211A0I2a1-1I1A0a11且a嚴(yán)一1112綜上，得0a11且a嚴(yán)或a1=31121例7已知數(shù)列a是由正數(shù)構(gòu)成的數(shù)列，a1=3,且滿足lga”=lgan-1+lgc,其中n是大于1的整數(shù)，c是正數(shù)求數(shù)列a的通項(xiàng)公式及前n和S；nn2n1a求limn的值.nfg2nan1解：(1)由已知得

11、a=ca1,-1a是以a1=3,公比為c的等比數(shù)列，則a=3cn-11(c=(c=1)(c當(dāng)c2時，原式=limnfg(2)n-1-3c2-(2)n-1+3cc當(dāng)0VCV當(dāng)0VCV2時，原式=limnfc23C-(2)n，1點(diǎn)評：求數(shù)列極限時要注意分類討論思想的應(yīng)用試卷解析1答案:B3解析:排除法，取an=（l）n，排除A；取a=1，排除B；取a=b=n，排除D.答案:Cnnnn33例例533例例55解析:a=n3-n2-n，(3-n24（n為奇數(shù)）,（n為偶數(shù)）,（n為奇數(shù)）,（n為偶數(shù)）.a1+a2+an=(2-1+2-3+2-5+)+(3-2+3-4+3-6+)lim(a+ac+a)=n

12、_1123n1，2，21，3，219一一19答案C,1,1=24-口案11496解析1+an)+an=5+52+53+611251/13+a原式=L+lima_|=(+lima)5nn25,1n2510”15nnfnnfa+ann+15n1，.lima+lima+1=:liman=nTnTnn+1nT1答案:C7解析:原式=limnfn2n(n1)=limnTnn2T=0n+-233例例5n22nlimnT2n23=lim解析:limnnfn2）=limnXnT=limnT卷=2答案:C33例例533例例588解析：答案:D由lim=2,得a=2bnbn+c33例例5bn2c1a十由lim=3

13、，得b=3c,.c=b=6limnTcn2ban2Hc=limnTcn2+anTcaHn2a廠=6acc+n29析:由題意得an，1(n三2).a是公差為n3的等差數(shù)列，3+(n1)3=3n.*.an=3n23n2annT(n+1)2nTn2+2n+1lim=lim=lim21=3n1+-nn21./a10析：.q=，:lim(a+a.+a：+a)=1352n11nT411解：(1)n=1時，由(n1)a,=(n+1)(a一1)n+1nn=2時，nT8a1=231，得a1=1a2=6代入得a3=15同理a4=28,再代入b”=a”+n,有b1=2,b2=8,b3=18,b4=32,由此猜想b=

14、2n2要證b=2n2，只需證a=2n2一nnnn當(dāng)n=1時，a1=2X12一1=1成立假設(shè)當(dāng)n=k時，ak=2k2一k成立k+1那么當(dāng)n=k+1時，由(k一1)ak+1=(k+1)(ak一1)，得ak+1=k1n+1ak1)k+1一.當(dāng)n=k+1時,k+1(2k2k一1)=k-1a=2n2n正確,n2k+1)(k1)=(k+1)(2k+1)=2(k+1)2(k+1)從而bn=2n22)limnflimnf+b2b22311+1324+)=lim(”1nT16+)2n22+一(n一1)(n+1)=1=412解:a“、b“的公差分別為dd2?2b2=a2+a3，即2(2+d2)=(3+d1)+(3+2