電磁場與電波課后習(xí)題及答案二章習(xí)題解答

1、二章習(xí)題解答42.1一個平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為P=Ud-43X-23，式中陰極板位于900 x=0，陽極板位于x=d，極間電壓為U。如果U=40V、d=1cm、橫截面s=10cm2,TOC o 1-5 h z00求：（1）X=0和X=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q；（2）X=d2和X=d區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q。解（1）Q=Jpd工（-4Ud-43X-23）sdx=-_4Us=-4.72X10-11C9003d00t0Q=1Pdt=f（-4Ud-43X-23）sdx=-A（1-L）Us=-0.97x10-hC9003d3/200Td22.2一個體密度為p=2.32X10-7C.m3的質(zhì)子束，通過10

2、00V的電壓加速后形成等速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為2mm，束外沒有電荷分布，試求電流密度和電流。解質(zhì)子的質(zhì)量m=1.7x10-27kg、電量q=1.6x10-19C。由9mV22=qU得v=2mqU=1.37x106m.s故J=pv=0.318A/m2I=J冗（d/2）2=10-6a一個半徑為a的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為Q的電荷，球體以勻角速度3繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。解以球心為坐標原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z軸。設(shè)球內(nèi)任一點尸的位置矢量為，且r與z軸的夾角為0，則尸點的線速度為v=3xr=e3rsin00球內(nèi)的電荷體密度為Q3Q3故J=Pv=e3rsin0=ersin

3、004兀a3304兀a3一個半徑為a的導(dǎo)體球帶總電荷量為Q，同樣以勻角速度3繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球表面的面電流密度。解以球心為坐標原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z軸。設(shè)球面上任一點尸的位置矢量為r，且r與z軸的夾角為0,則尸點的線速度為v=3xr=e3asin00球面的上電荷面密度為TOC o 1-5 h zQQ3故J=ov=e3asin0=esin0s04兀a204兀a兩點電荷q=8C位于z軸上z=4處，q=-4C位于y軸上y=4處，求(4,0,0)處的電場強度。12解電荷q在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為1qr解電荷q在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為1qr-rrE=1101電荷q在(4,0,0)處產(chǎn)生的

4、電場為2E二&上4底r-r3022e4-e42e4-e41e4-e4兀e(42)30e+e-e2E=E+E=z232y2成0一個半圓環(huán)上均勻分布線電荷P廣求垂直于圓平面的軸線上z=a處的電場強度E(0,0,a)，設(shè)半圓環(huán)的半徑也為a，如題2.6圖所示。題2.6圖解半圓環(huán)上的電荷元匕dl=PladT在軸線上z=a題2.6圖Par-rdE=l=d。=4兀eQ2a)30d。pe-(ecos。+esin。d。82ke0在半圓環(huán)上對上式積分，得到軸線上z=a處的電場強度為E(0,0,a)=JdE=p%2p(e兀一e2)乙Je-(ecos。+esin。)d。=i-=x-8%2兀eazxy8%，；2兀ea0

5、-兀20三根長度均為均勻帶電荷密度分別為Pl1、Pl2和Pl3地線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)Pl1=2Pl2=2Pl3，計算三角形中心處的電場強度。解建立題2.7圖所示的坐標系。三角形中心到各邊的距離為y題2.7圖TOC o 1-5 h zd=tan30=L26則：E=e匕i(cos30-cos150)=e3匕1y4兀dy2兀L00E=-(ecos30+esin30)3Pl?=-(e3+e)3P.Xy2兀Lxy8kL000E=(ecos30-esin30)3Pl3=(ey；3-e)3p.xy2KLxy8KL故等邊三角形中心處的電場強度為：00E=E+E+E=1233P3p3P3pen(e33+e)

6、n-+(e33e)nen-y2兀Lxy8KLxy8KLy4兀L00002.8一點電荷+q位于(-,0,0)處，另一點電荷-2q位于(a,0,0)處，空間有沒有電場強度E=0的點？解電荷+q在(x,y,z)處產(chǎn)生的電場為qe(x+a)+ey+ezE=xyz4冗(x+a)2+y2+z2320電荷-2q在(x,y,z)處產(chǎn)生的電場為2qe(x-a)+ey+ezE=-y4冗(x-a)2+y2+z2320(x,y,z)處的電場則為E=E+E。令E=0，則有12e(x+a)+ey+ez2e(x-a)+ey+ezTOC o 1-5 h zxyz=xyz(x+a)2+y2+z232(x-a)2+y2+z232

7、由上式兩端對應(yīng)分量相等，可得到(x+a)(x-a)2+y2+z232=2(x-a)(x+a)2+y2+z232y(x-a)2+y2+z232=2y(x+a)2+y2+z232z(x-a)2+y2+z232=2z(x+a)2+y2+z232當y豐0或z牛0時，將式或式代入式，得a=0。所以，當y豐0或z牛0時無解；當y=0且z=0時，由式，有(x+a)(x-a)3=2(x-a)(x+a)3解得x-(-3土22)a但x-3a+2v2a不合題意，故僅在(-3a-2五a,0,0)處電場強度E-0。2.9一個很薄的無限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為o。證明：垂直于平面的z軸上z-z0處的電場強度E中，有一半

8、是有平面上半徑為x.3z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。解半徑為r、電荷線密度為Pl=odr的帶電細圓環(huán)在z軸上z-z0處的電場強度為rozdrdE-e0z2s(r2+z2)3200故整個導(dǎo)電帶電面在z軸上z=z0處的電場強度為oz1e0-zoz1e0-z2s(r2+z2)128O-ez2s00E-eJ0z2s(r2+z2)32000而半徑為、回z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在z軸上z=z0處的電場強度為oz1e0-z2soz1e0-z2s(r2+z2)12-eo-1E-ez*20EeJ0z2s(r2+z2)32000一個半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為Q，當球體以均勻角速度3繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心

9、處的磁感應(yīng)強度B。解球面上的電荷面密度為。-24兀a2當球體以均勻角速度3繞一個直徑旋轉(zhuǎn)時，球面上位置矢量r-ea點處的電流面密度為rJ=ov=J=ov=oSxr=oe3xea=e30asin0=e巾1zr怛sin0巾4兀a將球面劃分為無數(shù)個寬度為dl=ad0的細圓環(huán)，則球面上任一個寬度為dl=ad0細圓環(huán)的電流為dI=Jdl=些sin0d0S4兀細圓環(huán)的半徑為b=asin0,圓環(huán)平面到球心的距離d=acos0，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式，則該細圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為日b2dI從3Qa2sin30d0口3Qsin30d0dB二eo二eo二eo-z2(b2+d2)32z8兀(a2sin

10、20+a2cos20)32z8兀a故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為B=eJ叫3Qsin30d0=e里Qz08兀az6兀a兩個半徑為b、同軸的相同線圈，各有N匝，相互隔開距離為d，如題2.11圖所示。電流I以相同的方向流過這兩個線圈。(1)求這兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度B=eB；xx(2)證明：在中點處dB,/dx等于零；兀.(3)求出b與d之間的關(guān)系，使中點處d2B/dx2也等于零。解(1)由細圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強度B=e一爾竺一z2(a2+z2)32一,*liNIb2得到兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度為B=e一匕x(b2+d24)32(2)兩線圈的電流在其軸線上x(0 xd)處的磁

11、感應(yīng)強度為題2.11題2.11圖IlNIb2lNIb2B=ex2(b2+x2)322b2+(dx)232,所以dB3lNIb2x3lNIb2(d一x)x-=-0+0所以dx2(b2+x2)522b2+(d一x)252故在中點x=d：2處，有dB_3lNIb2d23lNIb2d2x-=-0+0=0dx2b2+d24522b2+d2452d2B15日NIb2x23日NIb2(3)x-=o-0+dx22(b2+x2)722(b2+x2)5215日NIb2(dx)23從NIb2002b2+(d-x)2722b2+(d-x)252TOC o 1-5 h z人d2B八-5d2/41八令%=0，有-二0dx

12、2x=d：2b2+d2/472b2+d2/452即5d2,；4=b2+d2/4故解得d=b2.12一條扁平的直導(dǎo)體帶，寬為2a，中心線與z軸重合，通過的電流為I。證明在第一IlI一uI.r象限內(nèi)的磁感應(yīng)強度為B=-a，B=f-lnT式中a、r和r如題2.12圖所示。x4兀ay4兀ar121解將導(dǎo)體帶劃分為無數(shù)個寬度為dx的細條帶，每一細條帶的電流dI=d解將導(dǎo)體帶劃分為無數(shù)個寬度為dx環(huán)路定理，可得位于x,處的細條帶的電流dI在點P(x,y)處的磁場為ldI11dx11dxdB二一0二0二0：2兀R4兀aR4兀a(x-x)2+y212dB=-ddB=-dBsin0=xdB=dBcos0=y1I

13、ydx-04兀a(x-x)2+y211(x-x)dx04兀a(x-x)2+y2所以1Iy所以1Iydx04兀a(x-x)2+y21I-0arctan4兀aarctan一arctan11arctan一arctan1104兀aarctan一arctanNINI!o(a-a)=-0a4兀a214兀aaNI(xaNI(x-x)dxxB=J0y4兀a(x-x)2+y2一a2.13電偶極子NIaNI、(x+a)2+y2o-ln(x-x)2+y2=ln-8兀aa8兀a(x-a)2+y2NI1r0ln-4兀ar1如題2.13圖所示，有一個電矩為p1的電偶極子，位于坐標原點上，另一個電矩為p2的位于矢徑為r的某

14、一點上。試證明兩偶極子之間相互作用力為33ppF=r4兀r40，式中33ppF=r4兀r40，式中。1=5p1所以p與P2之間的相互作用能為1W=-pe2因為。=1E=14rt03(P叔Pr)PP2，。=，則22Fr=prcos。I111pr=prcos。222又因為O是兩個平面(r，p)和(r，pJ間的夾角，所以有(rxp)(rxp)=r2ppsin。sin。cos。21212(sin。sin。cos4一2cos0cos0)121212。2=，0是兩個平面(r,p)和(r,pJ間的夾角。并問兩個偶極子在怎樣的相對取向下這個力值最大？解電偶極子在矢徑為r的點上產(chǎn)生的電場為E=，迎2-p14兀r

15、5r30另一方面，利用矢量恒等式可得(r*P1)(r*p)=(r*p)*rp=r2p-(rp)rp=r2(pp)-(rp)(rp)(p1、1/、/、/(p1、1/、/、/、/P)=一口ArXp)+(r)(rp2)=p1P2sin11cos+ppcos。212:于是得到ppW二一1Ae4兀r30(sin0于是得到ppW二一1Ae4兀r30121故兩偶極子之間的相互作用力為F二-絲rdrq=const，i2(sin0sin。cos。F二-絲rdrq=const4兀i2i2drr301-（sin。sin。cos。-2cos。cos。）TOC o 1-5 h z4kr412120由上式可見，當。1=。

16、2=0時，即兩個偶極子共線時，相互作用力值最大。2.14兩平行無限長直線電流I和J，相距為d，求每根導(dǎo)線單位長度受到的安培力F。i2mrnNI解無限長直線電流I產(chǎn)生的磁場為B=ei。2兀riNII直線電流4每單位長度受到的安培力為JIe*Bd-e獷m122z1122兀d0式中e。是由電流I指向電流I的單位矢量。1212NII同理可得，直線電流I每單位長度受到的安培力為F=-F=e-1m21m12122兀d2.15一根通電流I的無限長直導(dǎo)線和一個通電流I的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導(dǎo)線的距12離為d，如題2.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為F=nII（seca-1）JiZI1IJiZI1Idl、22題2.15圖這里a是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點所張的角。解無限長直線電流4產(chǎn)生的磁場為NIB=e一1。2兀r圓環(huán)上的電流元12d12受到的安培力為NIIdF=Id1*B=d1義e012m2212y2兀X由題2.15圖可知d1=（-esin。+ecos。）ad。2xzx=d+acos。所以F=T0-i2(-esin0-ecos0)d9=m2兀(d+acos0)zx0日alI平cos0從alI,2兀d2兀-e0-2.Jd0=-e0ir(-+)=-e從11(seca-1)x2兀(d+acos0)x2兀aadd2-a2x01202.16證明在不均勻的電場中，某一電偶極子P繞