專(zhuān)題11：背靠背型解三角形（老師版）

1、專(zhuān)題11：背靠背型解三角形-2022年中考數(shù)學(xué)解題方法終極訓(xùn)練一、單選題1如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東方向，距離燈塔60海里的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的南偏東方向上的B處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是()A海里B海里C120海里D60海里【答案】B【解析】過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，先解RtACD，求出AD，CD，再根據(jù)BD=CD，即可解出AB【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D，則ACD=30，BCD=45，在RtACD中，AD=CA=60=30（海里），CD=CAcosACD=60=（海里），BCD=45，BDC=90，在RtBCD中，BD=CD，AB=AD+B

2、D=AD+CD=（30+）海里，故選：B【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)題，解一般三角形的問(wèn)題，一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是作高線(xiàn)2如圖所示，從一熱氣球的探測(cè)器A點(diǎn)，看一棟高樓頂部B點(diǎn)的仰角為30，看這棟高樓底部C點(diǎn)的俯角為60，若熱氣球與高樓的水平距離為30m，則這棟高樓高度是（）A60mB40mC30mD60m【答案】B【解析】作ADBC于D，由俯仰角得出ADB、CAD的值，則由AD的長(zhǎng)及俯仰角的正切值得出BD、CD的長(zhǎng)，BC的長(zhǎng)即可求出【詳解】過(guò)A作ADBC，垂足為D在RtABD中，BAD30，AD30m，BDADtan303010（m），在RtACD中

3、，CAD60，AD30m，CDADtan603030（m），BCBD+CD103040（m），即這棟高樓高度是40m故選擇：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查俯角與仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角與仰角構(gòu)造直角三角形并會(huì)解直角三角形3如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角度數(shù)為，看這棟樓底部C處的俯角度數(shù)為，熱氣球A處與樓的水平距離為100m，則這棟樓的高度表示為（）A100(tan+tan)mB100(sin+sin)mCD【答案】A【解析】過(guò)點(diǎn)A作AHBC于點(diǎn)H，利用解直角三角形分別求出BH，CH的長(zhǎng)，再根據(jù)BC=BH+CH，代入計(jì)算可求出BC的長(zhǎng).【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AHBC于點(diǎn)H， A

4、HB=AHC=90， 在RtABH中， BH=AHtanBAH=100tan； 在RtACH中， CH=AHtanCAH=100tan； BC=BH+CH=100tan+100tan=100（tan+tan）m. 故選：A.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，正確確定直角三角形是解題的關(guān)鍵.4如圖，港口在觀(guān)測(cè)站的正東方向，某船西東從港口出發(fā)，沿北偏東方向航行一段距離后到達(dá)處，此時(shí)從觀(guān)測(cè)站處測(cè)得該船位于北偏東的方向，則該船航行的距離（即的長(zhǎng)）為（）ABCD【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)A作ADOB于D先解RtAOD，得出AD=OA=1，再由ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=1，則AB

5、=AD=2【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)A作ADOB于D在RtAOD中，ADO=90，AOD=30，OA=2，AD=OA=1在RtABD中，ADB=90，B=CAB-AOB=75-30=45，BD=AD=1，AB=AD=即該船航行的距離（即AB的長(zhǎng)）為km故選：C【點(diǎn)評(píng)】此題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，作出輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵5如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角為30，看這棟樓底部C的俯角為60，熱氣球A與樓的水平距離為120米，這棟樓的高度BC為（）A160米B（60+160）C160米D360米【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D.根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系求出BD

6、、CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BC的長(zhǎng).【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D.在RtABD中，BAD30，AD120m，BDADtan30120m； 在RtADC中，DAC60，CDADtan60120m.BCBDDCm.故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，并牢記特殊角的三角函數(shù)值.二、填空題6如圖，小明與小華利用三角板測(cè)量教學(xué)樓前雕塑AB的高度小明在二樓找到一點(diǎn)C，利用三角板測(cè)得雕塑頂端A點(diǎn)的仰角為30，底部B點(diǎn)的俯角為45；小華在五樓找到一點(diǎn)D，利用三角板測(cè)得A點(diǎn)的俯角為60已知CD為10米，則雕塑AB的高度是_（，結(jié)果精確到0.1米）【答案】6.

7、8米【解析】利用題目中的仰俯角將其轉(zhuǎn)化為題目直角三角形的內(nèi)角，分別在RtACE中和RtBCE中求得AC和BE的長(zhǎng)，兩者相加即為雕塑的高【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作CEAB于EFDA=60，ACE=30ADC=90-60=30，ACD=90-30=60，CAD=180-30-60=90，CD=10，AC=CD=5在RtACE中，AEC=90，ACE=30，AE=AC=，cosACE=，CE=ACcosACE=5cos30=，在RtBCE中，BCE=45，CBE=90-BCE=45，BCE=CBE，BE=CE=，AB=AE+BE=（+）6.8（米）所以，雕塑AB的高度約為6.8米，故答案為6.8米【點(diǎn)評(píng)】

8、本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是正確的將仰俯角轉(zhuǎn)化為直角三角形的內(nèi)角并用解直角三角形的知識(shí)解答問(wèn)題7如圖，河寬CD為100米，在C處測(cè)得對(duì)岸A點(diǎn)在C點(diǎn)南偏西30方向、對(duì)岸B點(diǎn)在C點(diǎn)南偏東45方向，則A、B兩點(diǎn)間的距離是_米（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】100+100【解析】根據(jù)正切的定義求出AD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BD，進(jìn)而得到AB的長(zhǎng)【詳解】在RtACD中，tanACD，則ADCDtanACD100100（米），在RtCDB中，BCD45，BDCD100（米），ABAD+BD（100+100）米，故答案為：（100+100）【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用方向角問(wèn)

9、題，掌握方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵8如圖，航拍無(wú)人機(jī)從A處測(cè)得一幢建筑物頂部C的仰角是30，測(cè)得底部B的俯角是60 ，此時(shí)無(wú)人機(jī)與該建筑物的水平距離AD是9米，那么該建筑物的高度BC為_(kāi)米（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【解析】由題意可得CAD=30，BAD=60，然后分別解RtADC 和RtADB，求出CD和BD的長(zhǎng)，進(jìn)一步即可求得結(jié)果【詳解】解：由題意，得CAD=30，BAD=60，則在RtADC中，米，在RtADB中，米，米故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，屬于常考題型，正確理解題意、熟練掌握解直角三角形的知識(shí)是解題關(guān)鍵9某攔水壩的橫截面為梯形， 迎水坡的坡角

10、為，且， 背水坡的坡度為是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比，壩面寬，壩高則壩底寬_【答案】【解析】添一條輔助線(xiàn)，作BFCD，AE=12m，根據(jù)，可得CF的長(zhǎng)，根據(jù)背水坡AD的坡度，可得DE的長(zhǎng)，且AB=EF，壩底CD=DE+EF+FC，可得出答案【詳解】解：如圖所示，添一條輔助線(xiàn)，作BFCD，AE=12m，且，而，m，又背水坡AD的坡度，故DE=30m，且EF=AB=3m，壩底CD=DE+EF+FC=30+3+16=49m，故答案為：49m【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察了用正切值求邊長(zhǎng)，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值為對(duì)邊斜邊，掌握定義就不會(huì)算錯(cuò)10如圖，海上有一燈塔P，位于小島A北偏東60方向

11、上，一艘輪船從北小島A出發(fā)，由西向東航行到達(dá)B處，這時(shí)測(cè)得燈塔P在北偏東30方向上，如果輪船不改變航向繼續(xù)向東航行，當(dāng)輪船到達(dá)燈塔P的正南方，此時(shí)輪船與燈塔P的距離是_（結(jié)果保留一位小數(shù)，）【答案】20.8【解析】證明ABP是等腰三角形，過(guò)P作PDAB，從而求得PD的長(zhǎng)即可【詳解】解：過(guò)P作PDAB于D，AB=24，PAB=90-60=30，PBD=90-30=60，BPD=30，APB=30，即PAB=APB，AB=BP=24，在直角PBD中，PD=BPsinPBD=24=20.8.故答案為：20.8.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出垂線(xiàn)，轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算是解決本題的

12、關(guān)鍵三、解答題11如圖，我市計(jì)劃在某工業(yè)園區(qū)內(nèi)，為相距4千米的彩印公司、包裝公司修一條筆直的公路點(diǎn)P表示住宅小區(qū)，在彩印公司北偏東方向與包裝公司北偏西方向的交點(diǎn)，住宅小區(qū)在以P為圓心，0.8千米為半徑的范圍內(nèi)，問(wèn)這條公路是否會(huì)穿越這個(gè)住宅小區(qū)？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】不會(huì)【解析】過(guò)點(diǎn)P作于D，根據(jù)角的正切值表示出MD和ND的長(zhǎng)，然后列方程求解PD的長(zhǎng)度，從而做出判斷【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作于D由題意得在RtPMD中，即在RtPND中，即，即，答：這條公路不會(huì)穿越這個(gè)住宅小區(qū)【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，正確標(biāo)注方向角、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵12如圖，為了測(cè)量

13、河寬，在河的一邊沿岸選取B、C兩點(diǎn)，對(duì)岸岸邊有一塊石頭A，在中，測(cè)得，米，求河寬（即點(diǎn)A到邊的距離）（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】河寬約為33.6米【解析】過(guò)A作ADBC于D，并設(shè)AD=x米，則由已知條件可以得到關(guān)于x的方程，解方程即可得到河的寬度 【詳解】解：如圖，過(guò)A作ADBC于D，并設(shè)AD=x米， C=45，DAC=90-45=45，CD=AD=x，B=64，BD=，BC=50 米，解之得：x33.6，答：河寬約33.6米【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義并結(jié)合方程思想求解是解題關(guān)鍵13第十一屆全國(guó)少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運(yùn)動(dòng)會(huì)于2019年9月8日至1

14、6日在鄭州舉行，據(jù)了解，該賽事每四年舉辦一屆，是我國(guó)規(guī)格最高、規(guī)模最大的綜合性民族體育盛會(huì)，其中，花炮、押加、民族式摔跤三個(gè)項(xiàng)目的比賽在鄭州大學(xué)主校區(qū)進(jìn)行如圖，鐘樓是鄭州大學(xué)主校區(qū)標(biāo)志性建筑物之一，是鄭大的“第一高度”，寓意來(lái)自五湖四海的鄭大人的團(tuán)結(jié)和凝聚小剛站在鐘樓前C處測(cè)得鐘樓頂A的仰角為53，小強(qiáng)站在對(duì)面的教學(xué)樓三樓上的D處測(cè)得鐘樓頂A的仰角為45，此時(shí)，兩人的水平距離EC為4m，已知教學(xué)樓三樓所在的高度為10m，根據(jù)測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算鐘樓AB的高度（參考數(shù)據(jù)：sin53，cos53，tan53）【答案】鐘樓AB的高度約為56m【解析】作DFAB于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到FBDE10，DFB

15、E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、正切的定義計(jì)算，得到答案【詳解】解：作DFAB于F，設(shè)ABxm，F(xiàn)BEB，DEEB，DFAB，四邊形FBED為矩形，F(xiàn)BDE10，DFBE，AF10 x，在RtAFD中，ADF45，DFAFx10，在RtABC中，ACB53，tanACB，BC，由題意得，BEBCCE，即x10 x4，解得，x56，答：鐘樓AB的高度約為56m【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵14為進(jìn)一步加強(qiáng)疫情防控工作，避免在測(cè)溫過(guò)程中出現(xiàn)人員聚集現(xiàn)象，某學(xué)校決定安裝紅外線(xiàn)體溫監(jiān)測(cè)儀，該設(shè)備通過(guò)探測(cè)人體紅外輻射能量對(duì)進(jìn)入測(cè)溫

16、區(qū)域的人員進(jìn)行快速測(cè)溫，無(wú)需人員停留和接觸，安裝說(shuō)明書(shū)的部分內(nèi)容如表名稱(chēng)紅外線(xiàn)體溫檢測(cè)儀安裝示意圖技術(shù)參數(shù)探測(cè)最大角：OBC=73.14探測(cè)最小角：OAC=30.97安裝要求本設(shè)備需安裝在垂直于水平地面AC的支架CP上根據(jù)以上內(nèi)容，解決問(wèn)題：學(xué)校要求測(cè)溫區(qū)域的寬度AB為4m，請(qǐng)你幫助學(xué)校確定該設(shè)備的安裝高度OC（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin73.140.957，cos73.140.290，tan73.143.300，sin30.970.515，cos30.970.857，tan30.970.600）【答案】該設(shè)備的安裝高度OC約為2.9m【解析】根據(jù)題意可得OCAC，OBC=73.14

17、，OAC=30.97，AB=4m，所以得AC=AB+BC=4+BC，根據(jù)直角三角形銳角三角函數(shù)列式計(jì)算即可【詳解】根據(jù)題意可知：OCAC，OBC=73.14，OAC=30.97，AB=4m，AC=AB+BC=4+BC，在RtOBC中，BC=，在RtOAC中，OC=ACtanOAC(4+BC)0.6，OC=0.6(4+)，解得OC2.9（m）答：該設(shè)備的安裝高度OC約為2.9m【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)得到關(guān)于OC的方程是解題的關(guān)鍵15熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為，看這棟高樓底部的俯角為，熱氣球與高樓的水平距離為66m，這棟高樓有多高？（結(jié)果精確到0

18、.1m，參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)仰角和俯角的定義得到和的度數(shù)，利用特殊角的正切值求出BD和CD的長(zhǎng)，加起來(lái)得到BC的長(zhǎng)【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，根據(jù)題意，【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握利用特殊角的三角形函數(shù)值解直角三角形的方法16如圖，C地在A(yíng)地的正東方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要繞行B地，已知B位于A(yíng)地北偏東67方向，距離A地520 km，C地位于B地南偏東30方向，若打通穿山隧道，建成兩地直達(dá)高鐵，求A地到C地之間高鐵線(xiàn)路的長(zhǎng)（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：（sin67；cos67；tan67；1.73）【答案】地到地之間高鐵線(xiàn)路的長(zhǎng)約為【解析】過(guò)點(diǎn)B作BDAC于點(diǎn)D，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD及CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論【詳解】解：如解圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，地位于地北偏東方向，距離地， 地位于地南偏東方向，答：地到地之間高鐵線(xiàn)路的長(zhǎng)約為【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，解題關(guān)鍵是添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形17如圖，平臺(tái)AB高為12m