江蘇省蘇州市第五中學(xué)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第4講 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用課件

1、第4講數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用2021/8/8 星期日1知 識(shí) 梳 理1數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取 時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明 當(dāng) 時(shí)命題也成立只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立nk1 第一個(gè)值n0(n0N*)2021/8/8 星期日22數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示2021/8/8 星期日3辨 析 感 悟1數(shù)學(xué)歸納法原理(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，歸納

2、假設(shè)可以不用()2021/8/8 星期日42021/8/8 星期日5感悟提升1數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題證明時(shí)步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎(chǔ)，步驟(2)是遞推的依據(jù)2在用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第(1)步驗(yàn)算nn0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值，如(4)，檢驗(yàn)n的值從n3開始，因此(1)不正確第(2)步，證明nk1時(shí)命題也成立的過(guò)程，一定要用到歸納假設(shè)，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法，如(3).2021/8/8 星期日6考點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例1】 (2012天津卷改編)已知等差數(shù)列an的公差為3，其前n項(xiàng)和為Sn

3、，等比數(shù)列bn的公比為2，且a1b12.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)記Tnanb1an1b2a1bn，nN*，證明Tn12 2an10bn(nN*)審題路線(1)代入等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求an，bn；(2)注意到所證結(jié)論是關(guān)于“n”的命題，可運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明2021/8/8 星期日7(1)解由a12，公差d3，ana1(n1)d3n1.在等比數(shù)列bn中，公比q2，首項(xiàng)b12，bn22n12n.(2)證明當(dāng)n1時(shí)，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即Tk122ak10bk，當(dāng)nk1時(shí)，Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak

4、1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2021/8/8 星期日82ak14(ak13)10bk1242ak110bk112，即Tk1122ak110bk1.因此nk1時(shí)等式也成立由、可知，對(duì)任意nN*，Tn122an10bn成立規(guī)律方法 (1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少(2)由nk時(shí)等式成立，推出nk1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過(guò)程.2021/8/8 星期日9【訓(xùn)練1】 求證：(n1)(n2)

5、(nn)2n135(2n1)(nN*)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，等式左邊2，右邊2112，等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)當(dāng)nk1時(shí)，左邊(k2)(k3)2k(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)22k135(2k1)(2k1)2k1135(2k1)(2k1)這就是說(shuō)當(dāng)nk1時(shí)，等式成立根據(jù)(1)、(2)知，對(duì)nN*，原等式成立2021/8/8 星期日10考點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式2021/8/8 星期日112021/8/8 星期日12規(guī)律方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)命題成立證nk1時(shí)命題也成立

6、，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化2021/8/8 星期日13【訓(xùn)練2】 若函數(shù)f(x)x22x3，定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過(guò)點(diǎn)P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直線PQn與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，試運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：2xnxn13.2021/8/8 星期日142021/8/8 星期日15考點(diǎn)三歸納猜想證明(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通項(xiàng)公式；(2)證明通項(xiàng)公式的正確性審題路線從特殊入手，正確計(jì)算a1，a2，a3，探求an與n的一般關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法嚴(yán)格證明2021/8/8 星期日

7、162021/8/8 星期日172021/8/8 星期日18規(guī)律方法 “歸納猜想證明”的模式，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合應(yīng)用的解題模式，這種方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題時(shí)起著重要作用，它的模式是先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理證明結(jié)論的正確性.2021/8/8 星期日19解f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函數(shù)g(x)(x1)21x22x在區(qū)間1，)上單調(diào)遞增，于是由a11，得a2(a11)21221，進(jìn)而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想：(1)當(dāng)n1時(shí)，a12111，結(jié)論成立；2021/8/8 星期日202021/8/8 星期日211在數(shù)學(xué)歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可在較復(fù)雜的式子中，注意由nk到nk1時(shí)，式子中項(xiàng)數(shù)的變化應(yīng)仔細(xì)分析，觀察通項(xiàng)同時(shí)還應(yīng)注意，不用假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法2對(duì)于證明等式問(wèn)題，在證nk1等式也成立時(shí)，應(yīng)及時(shí)把結(jié)論和推導(dǎo)過(guò)程對(duì)比，以減少計(jì)算時(shí)的復(fù)雜程度；對(duì)于整除性問(wèn)題，關(guān)鍵是湊假設(shè)；證明不等式時(shí)，一般要運(yùn)用放縮法2021/8/8 星期日223歸納猜想證明屬于探索性問(wèn)題的一種，一般經(jīng)過(guò)計(jì)算、觀察、歸納，然后猜想出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明由于“猜想”是“證明”的前提和“對(duì)象”，務(wù)必保證猜想的正確性，同時(shí)必須嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟書寫 2021/8/