教師資格證考試初中數(shù)學要點

1、教師資格證筆試要點(初中數(shù)學)考點一：函數(shù)的性質這一知識點考察的難度不大，但是函數(shù)是數(shù)學學科的基礎知識，建議考生打好基礎。比如2013年下半年考了1道選擇題，考察函數(shù)的奇偶性。也會出現(xiàn)在論述題目中請描述函數(shù)單調性的定義及說明判斷方法。1.函數(shù)的單調性對于復合函數(shù)y=f,g(x),令u=g(x),f(x)與g(x)同增函數(shù)或減函數(shù)時，復合函數(shù)為增函數(shù)，若一個為增函數(shù)，一個為減函數(shù)時，復合函數(shù)為減函數(shù)，即“同增異減”。函數(shù)奇偶性若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且在X=0處有定義，則f(0)=0。周期性周期性：設f(X)在X上有定義，如果存在常數(shù)T主0，使得任意xX，x+TgX，都有f(x+T)=f(x)，

2、則稱f(x)是周期函數(shù)，稱T為f(x)的周期。由此可見，周期函數(shù)有無窮多個周期，如果在所有正周期中有一個最小的，則稱它是函f(x)的最小正周期。有界性有界性：設函數(shù)y=f(x)在X內有定義，若存在正數(shù)M，使xgX都有f(x)0,m,ngN,且n1)0的正分數(shù)指數(shù)幕等于0。+m1mI1(2)正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)幕的意義是：a-n=()n=n()m(a0,m,ngN,且n1)o0的負分數(shù)指數(shù)幕沒aVa+有意義。注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)。分數(shù)指數(shù)幕的運算性質：(1)ar-a-ar+s(a0,r,seR)(2)(ar)$=ars(a0,r,seR)3)(ab)r=arbr(a0,b0,reR)對

3、數(shù)的定義：若ax=N(a0,且a豐1)，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=logN,其中a叫做底數(shù),a負數(shù)和零沒有對數(shù)。對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x=logNoax=N(a0,a豐1,N0)。a幾個重要的對數(shù)恒等式N叫做真數(shù)。log1=0,loga=1,logab=baaa對數(shù)的運算性質：如果a0,a豐1,M0,N0，那么加法：logM+logN=logaa減法：數(shù)乘：(MN)MaNnlogM=logMn(neR)aalogM-logN=logaaalogaN=NlOglOgMn=ab:lOgaM(b豐0,neR)換底公式：logN=(b0,b豐1)alogab負數(shù)和零沒有對數(shù)。對數(shù)式與指數(shù)式的互

4、化：x=logNoax=N(a0,a主1,N0)。a例題1.若函數(shù)f(x)=x2+a(aeR)，則下列結論正確的是()xAVaeR，f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)BVaeR，f(x)在(0,+8)上是減函數(shù)C3aeR，f(x)是偶函數(shù)D3aeR，f(x)是奇函數(shù)參考答案：c考點二：導數(shù)及微分中值定理對于這一知識點，一般考導數(shù)的應用，要求求出導函數(shù)，并根據(jù)導函數(shù)的符號判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性，進而求極值和最值。比如2013年下半年考了1道選擇題，根據(jù)導函數(shù)的圖像，來判斷某點是不是極值點;2014年下半年的第1道選擇題考察的內容是根據(jù)導函數(shù)的符號判斷單調性。如果函數(shù)y=f(x)在點xo處導數(shù)

5、廣(x0)存在，則在幾何上廣(x0)表示曲線y=f(x)在點00切線的斜率。切線方程：y一f(xo)=f(xo爪一X0)單調性：設函數(shù)f(x)在(a,b)內可導，如果恒有廣(x)0(0)，則f(x)在(a,b)內單調增加(單調減少)；如果恒有f(x)n0(0)，則f(x)在(a,b)內單調不減(單調不增)極值點：設函數(shù)f(x)在(a,b)內有定義，x是(a,b)內的某一點，則如果點X存在一個鄰域，使得對此鄰域內的00任一點x(x豐x)，總有f(x)f(x)，則稱f(x)為函數(shù)f(x)0000的一個極小值，稱x為函數(shù)f(x)的一個極小值點。0高次函數(shù)的零點個數(shù)綜合應用了函數(shù)的單調性和極值。羅爾中

6、值定理：設函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內可導；f(a)=f(b).則存在gw(a,b)，使得廣(g)=0設函數(shù)f（x）滿足（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a,b）內可導。則存在gw（a,b）,使得f(b)-f(a)=f,(g)b-a=fJ例題1：與直線x+3y+1=C.3xy10答案：C考點三：概率與統(tǒng)計考察的是高中的知識,題目難度較小，但立事件的概率2球顏色相同和顏色不同的概率例題1：與直線x+3y+1=C.3xy10答案：C考點三：概率與統(tǒng)計考察的是高中的知識,題目難度較小，但立事件的概率2球顏色相同和顏色不同的概率;2015年下半在區(qū)間

7、上均勻分布的兩個獨影響以及求簡單隨機事件的概率。古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生古典概型的使用條件:P（A）=A包含的基本y=f(x)0垂直且與曲線y=x4x相切的直線的方程為（B.3xy30下半年考察了1道解答題，考察題，在放回的條件下，分別求兩次摸出的限性和所有結果的等可能性。事件數(shù)/總的基本事件個數(shù)試驗結果的察的頻率非常高。比如2口1道解答題，分別考察的是樣本容量對平均數(shù)的幾何概型P（A）=構成事件（的區(qū)域長度（面積或體積）/試龍全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）條件概率對任意事件A和事件B，在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率。記作P（BA），讀作A發(fā)生的條件下B的概率。P

8、(BA)=PP(AAB),P(A)0獨立事件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。P獨立事件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。P(A-B)=P(A)P(B)正態(tài)分布：若概率密度曲線就是或近似地是函數(shù)1_(X-卩)2f(X)=e-2o2,xG(X,+x)2noer-0.5的圖象，其中解析式中的實數(shù)卩、o(o0)是參數(shù)，分別表示總體的平均數(shù)與標準差.則其分布叫態(tài)分態(tài)分布記作：NSq)，f(x)的圖象(T=2稱為正態(tài)曲線。基本性質：一1-2-IO曲線在X軸的上方，與X軸不相交。曲線關于直線X=

9、卩對稱，且在X=PI2Xl時位于最高點。當時X卩，曲線下降.并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向它無限靠近。當O相同時，正態(tài)分布曲線的位置由期望值卩來決定。正態(tài)曲線下的總面積等于1。例題1：考察正方體6個面的中心，從中任意選3個點連成三角形，再把剩下的3個點也連成三角形，則所得的兩個三角形全等的概率等于()。11A.1B.2C.3D.0乙O參考答案：A考點四：數(shù)列特殊數(shù)列考的比較多，比如求滿足一定條件的數(shù)列的通項公式以及前n項和。要掌握恰當?shù)姆椒?，如錯位相減、裂項相消等。(一)求數(shù)列a的通項nSn=11公式法：當已知S=f(n)時，直接運用公式a=L12求解。nn,SSn2nn

10、12累加法：當已知a=a+f(n)時，運用累加法。n+1n3累乘法：當已知+1=f(n)時，運用累乘法。an4待定系數(shù)構造法：當已知a=pa+f(n)(p為常數(shù))時，運用構造法。構造成等差數(shù)列或者等比數(shù)列來n+1n求解。5倒數(shù)法：當已知a=An時運用倒數(shù)法。n+1Ba+Cn(二)求數(shù)列前n項的和1公式法：主要用于等差或者等比數(shù)列，直接套用公式。2錯位相消法：用于求ab型的數(shù)列，其中a為等差數(shù)列，是公比為q的等比數(shù)列，只需用S-qSnnnnnn便可轉化為等比數(shù)列的求和，但要注意討論q=1和qH1兩種情況。3分組化歸法：主要用于無法整體求和的數(shù)列，可將其通項寫成等比、等差等我們熟悉的數(shù)列分別進行求

11、和,再綜合求出所有項的和。14裂相消項法：此方法主要針對+aaaa14裂相消項法：此方法主要針對+aaaa12231+.+這樣的求和，其中a是等差數(shù)列。aann-1n22，3成等差數(shù)列。若月，則S4=(B22，3成等差數(shù)列。若月，則S4=(B81A7C15CC15【參考答案】C考點五：圓錐曲線及曲面方程圓錐曲線包括橢圓、雙曲線以及拋物線，希望廣大考試要學會類比，掌握其標準方程，離心率以及準線等概念。這一塊考解答題的時候，計算量往往會比較大，需要聯(lián)立方程，并結合韋達定理去計算。曲面方程是將二維平面拓展到三維的空間，在空間中求曲面的方程。如2014年和2015年下半年都考了1道解答題，考察的是在一

12、定條件下，求曲面方程。廣大考生要掌握求曲面方程的基本方法，如代入法和參數(shù)法。橢圓：平面內與兩個定點F，F(xiàn)的距離之和等于常數(shù)2a(2aFF=2c)的點的軌跡稱為橢圓。1212x2y2x=acos甲,標準方程：焦點在X軸上，+：=l(ab0)，參數(shù)方程：.(e為參數(shù))a2b2,y=bsine,雙曲線:平面內與兩個定點F，F(xiàn)的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a(02a0,b0)a2b2拋物線：平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線。標準方程：焦點在x軸正半軸，y2=2px(p0)二次曲面類型：x2y2橢圓錐面+；=z2a2b2x2y2z2TOC o 1-5 h z橢球面+=1a2b

13、2c2x2+y2z2旋轉單葉雙曲面一=1a2c2x2y2+z2旋轉雙葉雙曲面一=1a2c2x2+y2橢圓拋物面=za2x2y2雙面拋物面一=z又稱馬鞍面a2b2x2y2x2y2+：=1,-：=1,x2=ay依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面.a2b2a2b2旋轉曲面：設母線r在yOz平面上，它的平面直角坐標方程為F(y,z)=0r繞z軸旋轉所成的旋轉曲面的方程為F(土；x2+y2,z)=0y2z2x2+y2z2如在yOz平面內的橢圓:+=1繞z軸旋轉所得到的旋轉曲面的方程為7丿+=1。該曲面稱為旋b2c2b2c2轉橢球面。例題1：方程x2-y2-z2=1表示的二次曲面是()A.橢球面B.旋轉

14、雙曲面C.旋轉拋物面D.圓柱面88答案：Bz2y2+=1例題2:將橢圓r:r4繞z軸旋轉一周，所得旋轉曲面的方程為（叩叮x=0AzAz2x2+y2+4=1B.z2x2-y2+=148888Cx2+yCx2+y2+z2=144+y2+=1D.44答案：A考點六：函數(shù)極限與函數(shù)連續(xù)（一致連續(xù)）?？嫉闹R點有級數(shù)的收斂性和函數(shù)列的一致收斂性。2014年下半年考了1道選擇題，考察的是函數(shù)列收斂于函數(shù)的充要條件;2015年下半年考了一道選擇題，考察的是冪級數(shù)的收斂區(qū)間。對于正項級數(shù)的收斂性，要掌握的方法有比式判別法、根式判別法、積分判別法和拉貝判別法。1、常用求極限的方法1）兩個重要極限公式sinxsi

15、nxlim=188lim(1+XT81)lim(1+XT81)x=e1或lim(1+x)x=ext01方法：遇到18形式的極限，通常都需要將其化為（1+a）a的形式；或者利用對數(shù)恒等式，再利用洛必達法則;也可以先取對數(shù)，再利用洛必達法則真數(shù)部分大于0。2）代入法3）約公因式法4）最高次冪法當函數(shù)是分式形式，且分子、分母都是多項式時，可以通過這種方法。主要是比較分子與分母次數(shù)的高低：1.axm+1.axm+axm-i+alimoim=，bxn+bxn-1+b01nxt8a0b00m=nmnx-1例題1：極限lim()x=()x*x+1A.lBaC.e-2D.e2【參考答案】C考點七：積分(求積分

16、，積分的應用)包括積分的計算和積分的相關應用兩個方面。首先，廣大考生要掌握積分計算的兩種方法，換元積分法和分部積分法，然后再多做練習。2013年下半年考察了1道選擇題，讓我們求定積分的值。其次，在應用方面，要掌握定積分的幾何意義，能根據(jù)定積分來求面積、用二重積分求體積。積分部分的考查主要以定積分為主。定積分常與函數(shù)綜合在一起考察，具體考的是定積分函數(shù)的導函數(shù)，以及定積分的幾何意義。如13年上半年1道選擇題是求定積分函數(shù)導函數(shù)零點的個數(shù)；又如13年上半年解答題考的是利用定積分求橢圓所圍成圖形的面積。17下半年簡答題考查定積分的意義定積分的幾何意義：1.設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，定積分fbf(

17、x)dx在幾何上表示曲線y=f(x)和直線x=a,x=b以及x軸圍a2.設函數(shù)f(x)2.設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),y=f(x)兩直線x=a,x=b以及x軸圍成曲邊梯形繞x軸旋轉一周所成的旋轉體的體積為V=nfbf(x)2dxay=f(x)兩直線y=a,y=b以及y軸圍成曲邊梯形繞y軸旋轉一周所成的3.設函數(shù)f(x)在y=f(x)兩直線y=a,y=b以及y軸圍成曲邊梯形繞y軸旋轉一周所成的旋轉體的體積為V=nfd他(y)2dyc定積分中值定理：設f設f(x)在a,b上連續(xù)，貝ij存在gwa,b，使fbf(x)dx=f(g)(b-a)例題1：已知f例題1：已知f(x)=f(x+ex1/x，則

18、f,(x)=()。Ax+exBx2+exCx2Cx22+ex+CDx+ex+C參考答案：!考點八：行列式和逆矩陣及特征值特征向量這一知識點考察的難度不大，要求廣大考生會根據(jù)行列式的性質求行列式，以及初等變換求逆矩陣即可。1）矩陣的加法A+BA+Bmxnmxna+ba+ba+b111112121n1na+ba+ba+b212122222n2na+ba+ba+bm1m1m2m2mnmn(a+b)jjmxn2）矩陣的數(shù)乘ZA=A九=mnmn(a.)ijmxn入a21入a22ZA=A九=mnmn(a.)ijmxn入a21入a22LZa1nLZa2nm12Zamn(3)矩陣的乘法C=C)=AxBijmx

19、nmxsxn(a)x(b)ijmxsijsxn其中，cij工ab=ab+ab+abikkji11ji22jissjk=1AB豐BAAE=EA=A(A)k=14-314243k4）矩陣的轉置At=A=a11a12a21a22an1an2a2manmaa2manm1m(AT)T=A(AB)T=BTAT(A+B)T=AT+BT(ZA)T=ZAT5）矩陣的特征向量特征值設A是n階矩陣，如果九和n維非零向量x使關系式Ax=Ax（1）成立，那么，這樣的數(shù)九稱為矩陣A的特征值，非零向量x稱為A的對應于特征值九的特征向量。1）式也可以寫成（A九E）x=0這是n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分

20、必要條件是系數(shù)行列式A九E=0a一九aa11aa尢a1nM122MMn=0aaa一九n1n2nn上式是以九為未知數(shù)的一元n次方程，稱為矩陣A的特征方程。其左端A-九E是九的n次多項式，記作f（九）,稱為矩陣A的特征多項式。顯然，A的特征值就是特征方程的解。特征方程在復數(shù)范圍內恒有解，其個數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重數(shù)計算），因此，n階矩陣A在復數(shù)范圍內有n個特征值。設n階矩陣A=（a）的特征值為九，九，,九，不難證明ij12n（i）九+九+九=a+a+a;12n1122nn（ii）尢尢尢=A12n設九=九為矩陣n的一個特征值，則由方程（A一九E）x=01ii可求得非零解x=p，那么p便是A的對應于

21、特征值九的特征向量。（若九為實數(shù)，則P可取實向量；若九iiiiii為復數(shù)，則p為復向量。）i例題1：求矩陣A例題1：求矩陣A=一002130的特征值和特征向量。一一001參考答案：A的特征值為入=2,入=入=1123當九=2時，解（A一2E）x=0得基礎解系p=11所以切i（k豐0）是對應于2的全部特征向量。當九2巳=1時解(A-E)X=0得基礎解系p2=-1-21所以kp(k豐0)是對應于九-1-21223考點九：整除性理論教師資格證筆試考察的不再是簡單的數(shù)的除法，而是考察多項式除法，考生需掌握因式分解這一知識點，建議廣大考生掌握方法即可。比如2015年考察了1道選擇題，關于兩個多項式相除的

22、商和余式?？键c十：數(shù)學課程標準考的比較多的有課程內容、課程目標、課程基本理念。課程內容包括數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、概率與統(tǒng)計、綜合與實踐四個方面，這是需要大家去識記的，這一知識點基本上每年都以解答題的形式出現(xiàn)，所以是非常重要的。2013年下半年考察了1道解答題，讓我們簡述“綜合與實踐”的教學特點。2014年下半年考察了1道選擇題，2015年下半年也出了1道解答題，考察的是確定數(shù)學課程內容的依據(jù)。關于課程目標，2013年下半年考察了1道解答題，關于數(shù)學中“四基”的含義。課程基本理念，著重掌握其中的教學活動和學習評價。2013年下半年考察了1道解答題，讓我們解釋教學活動中，教師的引導作用體現(xiàn)在哪些方面。考點十一：數(shù)學史在數(shù)學史方面，數(shù)學家是?？嫉膬热?。需要考生去識記，在平?？磿倪^程中，留意有哪些數(shù)學家，都做了哪些貢獻。如2013年下半年考察了1道選擇題，考察祖沖之、秦九韶、孫思邈、楊輝中哪個是數(shù)學家;2014年下半年也考察了1道選擇題，讓我們選創(chuàng)始解析幾何的數(shù)學家。在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學