模型之二：復(fù)利計算的數(shù)學(xué)模型

1、模型之二：復(fù)利計算的數(shù)學(xué)模型一、單利和復(fù)利單利在貸款過程中，本期利息不轉(zhuǎn)入下期本金的計算利息方法稱為單利法。利息與本 金之比稱為利率。以P表示本金，I表示利息，利率記為 R,則有R = - oP若貸款時間為n期，則單利計算公式為：I = P n R例150000元存了 5個月得利息1400元，單利計算，求月利率。解 已知I=1400, n=5, P =50000。 從上式解出 R,得I 1400R0.0056 -0.56%P n 50000 5即月利率為5厘6。復(fù)利在貸款一期之末結(jié)息一次，并將利息轉(zhuǎn)入本金，即該利息與本金一起作為下 一期本金產(chǎn)生利息，這種計息方法稱為 復(fù)利。記本利和為S, S=

2、P + I。第2期末的本利和為S = P(1 + R)2 ,第3期末的本利和為：S = P(1 + R)3 , ，第n期末的本利和為：S = P(1 +R)n。貸款n期的利息為：I =S P = P(1 + R)n 1。例2 若本金為700元，年利率為10%,復(fù)利計算。為得本利和1240元， 求存期。解 在等式S = P(1+R)n兩邊取常用對數(shù)得lgS = lgP(1 + R)n = lgP+nlg1+R),已知 S=1240, R = 10%, P=700,從上式解出 n,得lgS lgPlg(i R)lgS lgPlg(i R)lg1240 - lg 700lgi.i0.0 4 1 4即

3、為得本利和1240兀，需存6年二、貨幣的時間價值(現(xiàn)值和終值)貨幣用來投資，隨著時間的推移會產(chǎn)生收益，從而使貨幣增值，這就是貨 幣的時間價值。由于銀行利率由經(jīng)濟發(fā)展的各種因素綜合確定，因此，通常用 銀行利率來計算貨幣的時間價值。 終值和現(xiàn)值是刻畫貨幣時間價值的兩個概念。在復(fù)利計算公式 S 在復(fù)利計算公式 S = P(1+R)n中, P元到n期末將變?yōu)?P(1 + R)n元。 元，Q和S的關(guān)系為S稱為n期末P的終值，表示現(xiàn)在的反過來，n期末的S元相等于現(xiàn)在的QSn 0(1 R)Q稱為S的現(xiàn)值。例3公司欲進行廠房投資，廠房價格為 21萬元。據(jù)預(yù)測，廠房3年后的 價格將為27萬元，銀行年利率為9.8

4、%,試問此項投資是否合算。解法一 計算3年后S= 27萬元的現(xiàn)值，S(1 R)S(1 R)n27(1 0.098)3為20.397(萬元)，Q27萬元，即存銀行收益率超過房屋投資的收益，該房屋投資是不可行的 兩種解法的結(jié)論一致。、周期支付和償還問題按終值計算法：設(shè)在每期初支付(或償還)的金額為一固定數(shù)A,每期的利率為 R,記第n期末時總共支付(或償還)的總金額的終值為Sn,則有：Sn =A(1 R)n A(1 R)n 1 - -A(1 R) = A(1 R)n (1 R)n(1 R)利用等比級數(shù)求和公式，o A(1 R)(1 R)n -1A(1 R)(1 R)n -1Sn(1 R) -1R若支

5、付(或償還)發(fā)生在每期的 期末，記第n期末時總共支付(或償還)的 總金額的終值為 sn。因為每期的支付(或償還)都要少記一期的利息，應(yīng)有Sn = A(1 +R)n,+A(1 + R)n/ + A = A(1 +R)n，+(1 + R)T + +(1+ R) + 1,利用等比級數(shù)求和公式，A(1 R)n -1 A(1 R)n -1Sn =。(1 R) -1RA按現(xiàn)值計算法：由于在第n期末數(shù)量為 A的貨幣相當于現(xiàn)值為 一J 的貨(1 R)幣，把上述相應(yīng)的終值公式改變后可以得到相應(yīng)的現(xiàn)值公式。在每期初支付(或償還)金額為一固定數(shù) A,到第n期末時總共支付(或償 還)的總金額的現(xiàn)值記為 Qn ,則有Q

6、 _&_ A(1+R)(1 + R)n _1 _ A(1 + R)1(1 + R)/n - (1 R)n -R(1 R)n -R在每期末支付(或償還)金額為一固定數(shù)A,到n期期末時總共支付(或償還)的總金額的現(xiàn)值記為Qn,則有一 Sn - A(1 R)n -1 A1-(1 R)f(1 R)n R(1 R)nR例4商店用分期付款的方式吸引顧客購買電視機。 一種售價為3000元的電 視機，若購買時首次付 500元，以后每隔一個月付款一次，每次付款數(shù)一樣， 一年內(nèi)付清全部款項，每月應(yīng)定為付款多少？銀行貸款月利率為1.2%設(shè)為不變。分析和求解分析 首次付款后的12次付款可以看作發(fā)生在期末、付款數(shù)相同的

7、12次周期 付款。支付的總金額的現(xiàn)值應(yīng)該等于首次支付后的貨款余額 Q = 3000 -500 =2500元。求解 按上述q;公式計算，應(yīng)有2500 二A1 -(1 2500 二A1 -(1 0.012),20.012解得 A = 224.94 % 225元，即每月應(yīng)支付 225元。例5諾貝爾獎金金額A,諾貝爾(Alfred Bernhard Nobel-(1833-1896)把他留下的大部分財產(chǎn) 投資于安全證券構(gòu)成基金，其利息以獎金方式獎給對人類作出了最有益貢獻的 人?，F(xiàn)在諾貝爾獎分為 6項：物理學(xué)、化學(xué)、文學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、生理學(xué)和醫(yī)學(xué)以 及和平獎。諾貝爾留作基金的總額為 850萬美元，隨著物價的

8、上漲，頒發(fā)給受 獎人的獎金金額正逐步提高。1998年諾貝爾獎每項獎金金額為 98.7萬美元。 問諾貝爾獎基金的利率是多少？分析和求解分析諾貝爾基金會開始時的投資總額為850萬美元，為了增加資金總額應(yīng)以復(fù)利形式投資，才能支付日益增加的獎金金額。為了簡化問題，作以下假 設(shè)：假設(shè)一每年平均復(fù)利率不變?yōu)長。假設(shè)二 每年發(fā)放獎金的總額是該年所獲利息的一半，另一半利息用于增加基 金資金總額。假設(shè)三 1896年記作0年，1897年起作為獎金頒發(fā)的第一年，以后每年頒發(fā) 獎金一次。由假設(shè)三，1998年為第102年建立模型 設(shè)yk表示第k年資金的總額。第k+1年的本金和按利率 L計算 應(yīng)為yk+ykL=yk (1

9、 + L)，其中利息yk L的一半作為第k+1年頒發(fā)的獎金， 余下的總金額歸入第 k+1年的基金總額 yk書，因而得jYkr =(1 jYkr =(1 +L)yLyk k 2y0 =850= 98.7 6 = 98.7 6 =592.2由1998年(k =102)的獎金數(shù)，得 -Ly1022求解 可通過疊代法解yk = j +L yo。有1L . L =1.3934 ,2L = f(L)102lnd L 1 1.3934102ln1 - = In,2 L1.3934L 1nIn 11 =L = z2102L =2(ez -1)L = 0.0620I 1、102我們用編寫下面Matlab程序來求

10、方程1 1; 一解9340的根。 12 J方法一：用for循環(huán)(缺點是循環(huán)次數(shù)自己要先估計)clearformat shortyy(1)=0.95for i=1:50z=Iog(1.3934/yy(i)/102;yy(i+1)=2*(exp(z)-1);if abs(yy(i+1)-yy(i)=0.000001i=i+1;z=log(1.3934/yy(i)/102;yy(i+1)=2*(exp(z)-1);endyyy=yy(i+1);yyy驗證 利用求得的z可算出各年份的諾貝爾獎的金額，這樣的計算結(jié)果與實際基本相符合。以下程序可再現(xiàn) P28頁的表格：clearformat short gy

11、yy =0.0620year=zeros(102,1);bj=zeros(102,1);jj=zeros(102,1);year(1)=1896;bj(1)=850;for i=1:102year(i+1)=year(i)+ 1;bj(i+1)=(1+yyy)*bj(i)-yyy/2*bj(i);jj(i+1)=yyy/2*bj(i+1)/6;endyear,bj,jj年份資金總額估計值（萬美兀）每項諾貝爾獎的金額（萬美兀）1960599331.01970813242.019801103357.019901497177.319981911098.7200020339105.1201027600

12、142.6201229338151.6注：2012年諾貝爾獎每項獎金為1000萬瑞典克朗（包括我國莫言的文學(xué)獎：約 合937萬人民幣，約合148萬美元，非常接近表格內(nèi)的數(shù)字）。例6房屋貸款償還問題為了促進個人住房商品化的進程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率如下表所示。貸款期限（年數(shù)）公積金貸款月利率（%）13.5423.6333.7243.7853.87763.9674.0584.1494.2075104.275114.365124.455134.545144.635154.725王先生家要購買一套商品房，需要貸款公積金貸款10萬元，分12年還清，貸款按月等額償還。問：王先生每

13、月應(yīng)還款多少？用列表方式給出每年年底王先生尚欠的款項。分析和求解假設(shè)假設(shè)一 王先生有足夠的支付能力，可以及時按月等額償還；假設(shè)二 在還款期間貸款利率不變。建立模型以yk表示第k個月王先生尚欠的公積金金額(公積金貸款余額)，每月的還 款數(shù)記為B。第k+1個月王先生的公積金貸款余額 yk書與第k個月的公積 金貸款余額yk的關(guān)系為yk十=(1 +Li)yk -Bo(1)每月的公積金 還款數(shù)可以按周期性還款公式計算。公積金 貸款總額y =100000元,月利率L =0.004455 ,還款次數(shù) 門=12父12 = 144,還款可視 為發(fā)生在每期期末。由還款現(xiàn)值公式，應(yīng)有,B1-(1 L1)-144解彳

14、導(dǎo) B =Ll解彳導(dǎo) B =Lly0 144 = 942.34求解 方程(1)是一個差分方程，求解簡單差分方程的一般方法可參考教材的第十 四章，這里可用迭代法歸納出解為yk =(1Li)kyo-(1L1) -1BL1完全類似地可以計算出王先生的 商業(yè)貸款余額(書P31):k (1Lo) -1Zk =(1L2)kzo -( CL2由此可計算出王先生各月的公積金貸款余額如教材中第32頁的表格第二列所示。完全類似地可計算出王先生各月的商業(yè)貸款余額如教材中第32頁的表格第三列所示。我們可以用Matlab編程求解本問題，程序如下：clearformat short gyy1=0.004455; yy2=

15、0.005025;B=942.34; C=1268.20;y0=100000; z0=150000;yr=zeros(15,1);y=zeros(15,1);z=zeros(15,1);for i=1:15k=12*i;yr(i)=i;y(i)=(1+yy1)Ak*y0-(1+yy1)Ak-1)/yy1*B;if y(i)10y(i)=0;endz(i)=(1+yy2)Ak*z0-(1+yy2)Ak-1)/yy2*C;if z(i)10z(i)=0；endendyr,y,z,y+z卜面是上述程序執(zhí)行的結(jié)果，可以看到它與教材中第32頁的表格十分吻合:第幾年公積金貸款余額商業(yè)貸款余額總的貸款余額1938901.4365e+0052.3754e+0052874451.3691e+0052.2436e+0053806461.2975e+005