經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(上)導(dǎo)數(shù)與微分筆記整理

1、10/1310/13經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（上）數(shù)學(xué)筆記整理第二章導(dǎo)數(shù)與微分（P49）目錄一、導(dǎo)數(shù)的符號(hào)要清楚1二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義1三、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系1四、導(dǎo)數(shù)的基本公式與練習(xí)題1五、切線方程問題4六、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)5七、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)9八、高階導(dǎo)數(shù)10九、微分11十、可微、可導(dǎo)和連續(xù)、極限的關(guān)系12導(dǎo)數(shù)的符號(hào)要清楚（P51,52都有），最簡(jiǎn)單的就是y導(dǎo)數(shù)的幾何意義P55)函數(shù)y=f（X）在點(diǎn)九處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f（X）在點(diǎn)（“兒）處切線的斜率，k=f心，切線的方程為ymEd可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系P56，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系P56，2.1.)5定理2.1和注意可導(dǎo)=連續(xù)（充分條件）y=f（x）的圖像在點(diǎn)處出尖，

2、則f（x）在口處不可導(dǎo)。例：y=圖像如下,此時(shí),四、導(dǎo)數(shù)的基本公式與練習(xí)題(P6566,2.2.6的四、導(dǎo)數(shù)的基本公式與練習(xí)題(P6566,2.2.6的1.，2.，3.，）就記書上的前8個(gè)就行了，其他的不用記再多記2個(gè)：笫）再多記2個(gè)：笫）1【練習(xí)1:求導(dǎo)】y=5x2+-2X4-4cosx+ln7丿x解：有分式，商的導(dǎo)數(shù)不好算，可以先化簡(jiǎn)丫二打丄一S.v-2-Iuosx1117=個(gè)-9.-2皿+4（-曲）+（）【注意山7為常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0哦！】10 x-2xln2-4sinx%y=(1+2x)(血-戀+1)解決此題有2種方法，方法一是直接求。方法二是先打開，再求。你覺得怎么簡(jiǎn)單就怎么來。一

3、般情況是先打開再做比較容易，有時(shí)是怎么做都一樣的。方法一：直接求。要用到乘積的導(dǎo)數(shù)。(先打開再做就用不著乘積的導(dǎo)數(shù)，看過程就知道哪個(gè)方法簡(jiǎn)單了。)y=(1+2x)(5x2-3x+1)+(1+2x)(5%2-3x4-1)=2(5,_3x+1)+(1+2x)(10 x3)=10T2-6x+2+10 x-3+20 x2-6x=30-_2乂_1方法二：先打開，再求導(dǎo)。y=(1+2x)(5%2-3x4-1)二5,-3x+1+10 x3-6x2+2x=10X3-%2-X+1y=3Ox2-2x-1【練習(xí)2:求導(dǎo)】y-.S.v-5x+In(j解：丫=12丁-；5【注意：應(yīng)為常數(shù)，導(dǎo)數(shù)也為0哦！】y-4c+.i

4、sinx-Su(is解.丫二I:+r)UC：SX+.sillX2y二解:y=2x-2+x2-2ln2y=:xsixInx解：y=sinx+xcosx+解：容易能看出來二題必須要化簡(jiǎn)了。你要是想用商的導(dǎo)數(shù)來求的話，是夠麻煩的了4X+1y解：丁4x-x+)x1這題就不能化簡(jiǎn)了,怎么著都是麻煩。商的導(dǎo)數(shù)會(huì)背嗎？要用了。注意所有公式都必須要會(huì)背哦！,(%2-2x)(x+1)-(%2-2x)(x+1)(x+1)2解：y(x+1)2(2x-2)(x+1)-(/一2x)(x+1)22%+2%-2【書上的題P75,3,4】P75,3.求導(dǎo)但是為了簡(jiǎn)單，我們的習(xí)慣就這題就是怎么做都行,你想用乘積的方法做就直接挑

5、戰(zhàn)吧。是先打開,再求導(dǎo)。但是為了簡(jiǎn)單，我們的習(xí)慣就y=x(2+Q=22+x24)此題也可以直接，前提是你必須會(huì)背兩個(gè)公式。4)此題也可以直接，前提是你必須會(huì)背兩個(gè)公式。如果這兩個(gè)公式知道的話，就直接求導(dǎo)。若不知道，就要化成指數(shù)的形式。方法一：直接求導(dǎo)ii解：+x若并不會(huì)背那兩個(gè)公式，你也可以解題的。先把它化成指數(shù)的形式再求導(dǎo)就行了。y=2u=sinvw子+1分別求導(dǎo)：y=yCu）-u分別求導(dǎo)：y=yCu）-u3將導(dǎo)數(shù)相乘：(x)=cosv-2xIt4把中間變量（u、v）代回來:【如果不知道余切公式，可以不用化成余切】中級(jí)：省掉了分解函數(shù)的步驟，一步一步的求導(dǎo)解：解：-cos(x2+1)-2x=

6、sinx+1)6/136/13=2x-cotx2+1高級(jí)：你懂的rCOS（X2+1）解：y=n，2xsin（x+1）=2x-cotx2+1例2:y=sin（2.J+x）你應(yīng)該知道初級(jí)你應(yīng)該知道初級(jí):一切從分解復(fù)合函數(shù)開始解：1分解：=/n=siiiv,v=2“+xF2解：1分解：=/n=siiiv,v=2“+xF22分別求導(dǎo).（=2u,u（v）=cosv,v（x）=6x+1rrr23將導(dǎo)數(shù)相乘:y=4把中間變量（u、v）代回來:y=2sin（2%3+x）-cos（2x3+x）（6x2+1）=sin2（zJ+x）-（6疋+1）【如果不會(huì)二倍角公式，這步可以不寫】=訕（4護(hù)+2x）-（6x2+1）

7、中級(jí)：解：=2sin（2J解：=2sin（2J+x_2sin（2丁+xcos2sin（2sin（2+xcos（2x3+x）（6x2+1）=sin2（=sin2（2%3+x）（6x2+1）高級(jí)：高級(jí)：_sin+2x）+1）解：=2sin（2J+x）cos解：=2sin（2J+x）cos（2x3+x）（6x2+1）=sin2（2%3+x）（6x2+1）=訕（4%3+2x）-（6x2+1）10/1310/13復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)會(huì)了沒？現(xiàn)在自己來做幾道吧！下邊的解題步驟有點(diǎn)高手級(jí)別了，不過基本上都是用公式做的，你應(yīng)該能看懂吧?？床欢脑捴荒苷f你公式不會(huì)背哦，先把公式背會(huì)吧?？荚嚂r(shí)可是閉卷哦?！緯系念}，

8、P76,7(3)(21)(6)(12)(20)(22)。前2道是課堂練習(xí)，后4道為作業(yè)題】P76,7.求導(dǎo)(3)y=(2x-1)J1一J(2x-l)J_/+(2x-l)2(2x-l)J_/+(2x-l)2(1-x2)-x(2x-1)cos-(21)y=3“哦，天吶，最難打的一個(gè)公式了，好小的格哦看看是有多復(fù)雜的題吧。呵呵，看的懂嗎？y=3：u=cosv,v=x2TOC o 1-5 h z解：xy=31113-f-sin(-2x3).兇cos7-313ln3-2x-sin二cs4i2-3ln3-sinx二下邊4道題，凡是抄過我作業(yè)的同學(xué)，你們寫的過程都至少有4、5步，看不懂下邊過程的，看作業(yè)上的

9、去。如果還不會(huì)的話，問我。(6)二-2x+!52.1y=x-sin(12廠乂解：解：(20)y=eLosSx解.解.(-1)-cos3x+(-3sin3x)-=(cos3x+3sin3x)rxlnx(22)=：解.y=5dllxln!5-(xlnx)i-xlrixln5-(lnx+1)i-xlrixln5-(lnx+1)練習(xí)：求導(dǎo)數(shù)(復(fù)合函數(shù))練習(xí)：求導(dǎo)數(shù)(復(fù)合函數(shù))O2()(2%+1)解：y=u2u=2x+120TJ：小廠解：y=u2u=2x+120TJ：小廠y=sin3(%2+4x)=sin3(乂$十現(xiàn)在都應(yīng)該知道y二卜m(十+仇)了吧，不解釋。解：yu3,u=sinv,v=x2+4x3s

10、in2(x2+4x)cosX+4x)(2x+4).cos2xy=4解：y=41J,u=v2,V=cosx4COSXln4-2cosx-(-sinx)-x.ny=解:y=ex-(一1)-sin3x+t?X3cos3x解：-sin3x+3cos3x)y=x-cos-y=2x-cos-+%2解：-sin3x+3cos3x)y=x-cos-y=2x-cos-+%2-(一sin-jX112x-cos-+sin-XX解：y=cosu,u=lnv,v=&,t=x2+4解：y=cosu,u=lnv,v=&,t=x2+4-sin(inJ,+4)=2x丫二ru(js2x解.y=ecos2x+(-2sin2x)e2

11、=(cos2x-2sin2x)七、（P62）隱函數(shù)求導(dǎo)的方法：（書上有P62）直接來例題試試看：例1：已知方程確定了函數(shù)y二$（X）求解：y解：y=x+i例2：已知方程+1呵=）/確定了（X）,求y；解：/+|*y=2y-y解：，1，=2y-y-y例3：已知方程/”確定了函數(shù)y=y（0,求y；解:勺/y+2x=y+_r2yy3y2-y-x-2y-y=y2-2x例4：已知方程亦+si呵二/確定了函數(shù)y=y3，求W。解：8x+8xey-y-cosy-y，8%y=e-cosy八、P66)八、Uy階導(dǎo)數(shù):y収二階導(dǎo)數(shù)：y=V）三階導(dǎo)數(shù)：y=（廠）二階導(dǎo)數(shù)及二階以上的導(dǎo)數(shù)，都叫高階導(dǎo)數(shù)。n階導(dǎo)數(shù)：丫例1

12、:y=+Xy=例1:y=+Xy=12x3+10%,y=36%2+10,y=y=_=y(n)=o【丫=Cy=72x,aQ-n!ny（n1）=72=y011力=】y=x2-cosx,求y“例2：7T解.丫二解.丫二Jy、：-siiixy=2cosx-2xsinx-2xsinx-%2cosx-Iin：-;：、：九、P68)九、個(gè)必須要y=f(x)在點(diǎn)x處，將dy記作y的微分。弱二八衣。dx記作x的微分,帶著的符號(hào)。個(gè)必須要如何判斷方程的左邊與右邊呢？有dx的就是方程的右邊。求微分：求導(dǎo)，后邊再加上dx就可以了。如下：y=sin(J+2)解.丫二2?uc：s:.廠二:.dy=.dy=2x-cosy=In(3x4