產(chǎn)銷(xiāo)平衡條件下的產(chǎn)量?jī)?yōu)化問(wèn)題1

1、 產(chǎn)銷(xiāo)平衡條件下的產(chǎn)量?jī)?yōu)化問(wèn)題一個(gè)企業(yè)要在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中立于不敗之地，就必須不斷改善其經(jīng)營(yíng)管理，提高經(jīng)濟(jì)效益。其具體內(nèi)容主要包括：怎樣合理安排生產(chǎn)任務(wù)、合理配置資源，怎樣制定最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃，并對(duì)瞬息萬(wàn)變的市場(chǎng)信息及時(shí)作出反應(yīng)。線(xiàn)性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃與運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支，是運(yùn)籌學(xué)中最常用的一種方法。線(xiàn)性規(guī)劃所處理的問(wèn)題正是怎樣以最佳的方式在各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中分配有限的資源，以便最充分地發(fā)揮資源的效能去獲取最佳經(jīng)濟(jì)效益。企業(yè)在生產(chǎn)過(guò)程中，通常會(huì)同時(shí)生產(chǎn)多種產(chǎn)品。這時(shí)就需要進(jìn)行各種產(chǎn)品產(chǎn)量最優(yōu)組合決策。在實(shí)踐中，可以運(yùn)用線(xiàn)性規(guī)劃的方法來(lái)進(jìn)行產(chǎn)品產(chǎn)量最優(yōu)組合的決策。1線(xiàn)性規(guī)劃產(chǎn)量組合模型的一般形式線(xiàn)性規(guī)劃是一種廣泛

2、用來(lái)解決有約束條件下最優(yōu)化問(wèn)題的方法。其基本定義是：求一組變量值，在滿(mǎn)足一組約束條件下，求得目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。11線(xiàn)性規(guī)劃的模型構(gòu)成要素線(xiàn)性規(guī)劃模型結(jié)構(gòu)通常包括3個(gè)要素：(1)變量。把企業(yè)看作一個(gè)系統(tǒng)，變量是系統(tǒng)中的可控因素，也是指實(shí)際系統(tǒng)中有待確定的求知因素。這些因素對(duì)企業(yè)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)和各項(xiàng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的完成具有決定性影響，故又稱(chēng)為決策變量。(2)目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)是指系統(tǒng)目標(biāo)的數(shù)學(xué)描述。線(xiàn)性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)特征之一是規(guī)劃模型的基本條件和假設(shè)；特征之二是單目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)單目標(biāo)的最優(yōu)值。一般是求效益性指標(biāo)，如產(chǎn)值、利潤(rùn)等的極大值。或者是損耗性指標(biāo)，如原材料消耗、成本、費(fèi)用的極小值。極值的標(biāo)準(zhǔn)要根據(jù)系統(tǒng)的具體

3、情況和決策的要求來(lái)定。(3)約束條件。約束條件是實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)目標(biāo)的限制因素，它涉及到系統(tǒng)的內(nèi)外部條件的各個(gè)方面，如內(nèi)部條件的原材料的儲(chǔ)備量、生產(chǎn)設(shè)備能力、產(chǎn)品質(zhì)量要求；外部環(huán)境的市場(chǎng)需求和上級(jí)的計(jì)劃指標(biāo)等。這些因素對(duì)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)目標(biāo)都起著約束作用，所以稱(chēng)為約束條件。線(xiàn)性規(guī)劃的約束條件有3種形式：大于等于；等于；小于。前兩種形式多屬于效益性指標(biāo)或合同要求，必須按計(jì)劃及合同要求超額或如數(shù)完成；后者多屬于資源供應(yīng)約束，由于數(shù)量有限，一般不允許超出。目標(biāo)函數(shù)：約束條件：12目標(biāo)函數(shù)：約束條件：maxZ=cx+cxHbcx1122nnax+axHHcxb111122nn1ax+axHHcxb2112222nn2

4、ax+axHFcx012n這個(gè)模型由目標(biāo)函數(shù)和約束條件兩部分構(gòu)成，即要求所確定的產(chǎn)品產(chǎn)量在能滿(mǎn)足企業(yè)資源數(shù)量的條件下，使利潤(rùn)最大。其中，z為總利潤(rùn)；x,x，x為企業(yè)生產(chǎn)的各種產(chǎn)品；c，c，c為每種產(chǎn)品能提供的利潤(rùn)貢獻(xiàn)；b2，b，n12n12，b為可供使用的各種投人要素的數(shù)量；a.(i=1,2,，m；j=1,2,，n)為第mj種產(chǎn)品每生產(chǎn)1個(gè)單位所需要的第刑投入要素的數(shù)量;非負(fù)值約束條件表示各種產(chǎn)品的產(chǎn)量必須是正值,不可能為負(fù)值。2線(xiàn)性規(guī)劃產(chǎn)量組合模型的特點(diǎn)及應(yīng)用條件21線(xiàn)性規(guī)劃模型的特點(diǎn)(1)線(xiàn)性函數(shù)。線(xiàn)性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)與約束條件均為線(xiàn)性函數(shù),這是線(xiàn)性規(guī)劃建模的前提。(2)單目標(biāo)。這與企業(yè)實(shí)際

5、經(jīng)濟(jì)管理中多指標(biāo)的要求是矛盾的。一般的處理方法是抓主要矛盾,確定個(gè)目標(biāo)最優(yōu),帶動(dòng)其他目標(biāo)的實(shí)現(xiàn),或者單目標(biāo)多方案擇優(yōu)。(3)連續(xù)函數(shù)。線(xiàn)性規(guī)劃的最優(yōu)解值是連續(xù)的,可以是整數(shù),也可以是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。(4)靜態(tài)確定值。線(xiàn)性規(guī)劃模型參數(shù)一般要求是確定型的,參數(shù)均應(yīng)是已知的,所以它只是一種實(shí)際活動(dòng)的靜態(tài)描述。22線(xiàn)性規(guī)劃模型的應(yīng)用條件為了能用線(xiàn)性規(guī)劃方法來(lái)確定產(chǎn)品產(chǎn)量的最優(yōu)組合,需要對(duì)有關(guān)的因素做一些假設(shè)。(1)每種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品利潤(rùn)是已知的常數(shù)。(2)每種產(chǎn)品所使用的生產(chǎn)方法為已知,而且它們的規(guī)模收益不變,即如果投入要素增加1倍,產(chǎn)量也增加1倍。(3)企業(yè)能夠得到的投入要素有限,而且已知。(4)企業(yè)的

6、目標(biāo)是謀求利潤(rùn)最大。以上的假設(shè)是基本符合實(shí)際情況的。例如,如果產(chǎn)品的價(jià)格不變,企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品的平均成本不變,那么單位產(chǎn)品的利潤(rùn)也就不變,這樣利潤(rùn)就成為產(chǎn)量的線(xiàn)性函數(shù)。在實(shí)際生活巾,生產(chǎn)方法一旦確定,就不會(huì)輕易變動(dòng),這時(shí)要增加產(chǎn)量就必須按比例增加投人要素。所以產(chǎn)量是投入要素的線(xiàn)性函數(shù)。在短期內(nèi),企業(yè)可以利用的投入要素的數(shù)量是固定的,因此,企業(yè)擴(kuò)大產(chǎn)量要受到投人資源條件的約束。3線(xiàn)性規(guī)劃產(chǎn)量模型在產(chǎn)銷(xiāo)平衡條件下的應(yīng)用假定一家企業(yè)同時(shí)生產(chǎn)兩種產(chǎn)品吊燈(x)和木質(zhì)臺(tái)燈(X)，生產(chǎn)每單位吊燈的利潤(rùn)貢獻(xiàn)為400元，生產(chǎn)每單位木質(zhì)臺(tái)燈的1利潤(rùn)貢獻(xiàn)為6002元。生產(chǎn)中可使用3種投人要素勞動(dòng)力(A)、材料甲(B)

7、和材料乙(C)。生產(chǎn)每單位吊燈要消耗勞動(dòng)力5個(gè)單位。材料甲8個(gè)單位(生產(chǎn)吊燈不需要消耗材料乙)。生產(chǎn)每單位木質(zhì)燈要消耗勞動(dòng)力10個(gè)單位，材料甲6個(gè)單位和材料乙2個(gè)單位。企業(yè)年擁有勞動(dòng)力如個(gè)單位。材料甲48個(gè)單位和材料乙40個(gè)單位。這樣可列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件如下：目標(biāo)函數(shù)：z=4x+6x(使總利潤(rùn)最大)12約束條件：5x+10 x50128x+6x48122x0用幾何圖解法1解2之，具體步驟如下：第一步，確定滿(mǎn)足約束條件的可行域。圖1滿(mǎn)足約束條件的可行域第二步，確定目標(biāo)函數(shù)變化的最優(yōu)方向。目標(biāo)函數(shù)：z=4x+6x是變量x，121x的線(xiàn)性函數(shù)，其中Z是待定值。將其改寫(xiě)為x=-2x+z由解析幾何知

8、，這是22316參數(shù)為z、斜率為-3的一族平行線(xiàn)。由于位于同一直線(xiàn)上的點(diǎn)具有相同的目標(biāo)函數(shù)值，因而稱(chēng)它為“等值線(xiàn)”，如圖。圖2日標(biāo)函數(shù)變化的最優(yōu)方向%2當(dāng)z由小變大時(shí)，直線(xiàn),2丁、-當(dāng)z由小變大時(shí)，直線(xiàn),2.2%十三其法線(xiàn)方向向右上方移動(dòng)。這樣，就確316定了目標(biāo)函數(shù)變化的最優(yōu)方向。，應(yīng)用線(xiàn)性規(guī)劃產(chǎn)量模第三步，確定最優(yōu)解及最優(yōu)值。上一步中，已確定了目標(biāo)函數(shù)變化的最優(yōu)方向。但由于約束條件的限制，目標(biāo)函數(shù)的等值線(xiàn)不能無(wú)限制地遠(yuǎn)離原點(diǎn)。為了得到所需的答案，需要在目標(biāo)函數(shù)的平行線(xiàn)中，沿其變化的最優(yōu)方向，找出一條等值線(xiàn)，使該等值線(xiàn)與線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題可行域的多邊形ABCD至少有一點(diǎn)相交。從圖3中可以看出，B點(diǎn)

9、是符合上述要求的唯一點(diǎn)，即B點(diǎn)坐標(biāo)既能滿(mǎn)足約束條件，又能使目標(biāo)函數(shù)取得最大值。B點(diǎn)坐標(biāo)可由求解直線(xiàn)方程5%+10%=50和8%+6%=48的聯(lián)立方程組得到，為(%，%)=(3.6,3.2)，即該企業(yè)生產(chǎn)吊燈3.6個(gè)1單位、生產(chǎn)木質(zhì)臺(tái)燈3.2個(gè)單位，將其代人目標(biāo)函數(shù)得z=33.6百元，這時(shí)企業(yè)的3種投入要素充分利用，并使利潤(rùn)達(dá)到最大值。，應(yīng)用線(xiàn)性規(guī)劃產(chǎn)量模型計(jì)算最優(yōu)產(chǎn)量需要考慮市場(chǎng)需求，這樣就會(huì)有兩種情況。第一種情況：市場(chǎng)需求量大于線(xiàn)性產(chǎn)量模型計(jì)算出的產(chǎn)量時(shí)，假設(shè)其他條件不變，當(dāng)根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，吊燈的年需求量為4個(gè)單位，木質(zhì)臺(tái)燈的年需求量為5個(gè)單位，我們可以得到如下圖的可行域多邊形ABCDE，等值

10、線(xiàn)z與多邊ABCDE的最優(yōu)交點(diǎn)是B(3.6,3.2),即該企業(yè)生產(chǎn)吊燈3.6個(gè)單位、生產(chǎn)木質(zhì)臺(tái)3.2個(gè)單位將其代入耳標(biāo)函數(shù)得z=33.6百元，這時(shí)企業(yè)的3種投入要素充分利用，并使利潤(rùn)達(dá)到最大值。另一種情況：市場(chǎng)需求量小于用線(xiàn)性產(chǎn)量模型計(jì)算的產(chǎn)量時(shí)，假設(shè)其他條件不變，當(dāng)根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，吊燈的年需求量為4個(gè)單位，木質(zhì)臺(tái)燈的年需求量為3個(gè)單位，由模型得到的木質(zhì)臺(tái)燈的年需求量3.2個(gè)單位大于預(yù)測(cè)的年需求量3個(gè)單位，顯然生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品不能夠全部銷(xiāo)售出去?？紤]到產(chǎn)銷(xiāo)平衡的問(wèn)題，我們可以得到如下圖的可行域多邊形ABCDE，等值線(xiàn)z與多邊形ABCDE的最優(yōu)交點(diǎn)是曰8(3.75，3)，即該企業(yè)生產(chǎn)吊燈3.75個(gè)單

11、位、生產(chǎn)木質(zhì)臺(tái)燈3個(gè)單位。將其代入目標(biāo)函數(shù)得：z=33百元，若按原方案，企業(yè)利潤(rùn)Z=4義3,6+6*3=32,4，可見(jiàn)這時(shí)企業(yè)的3種投入要素充分利圖5第二種情況在此所列舉的例子是較為簡(jiǎn)單的，只是借以說(shuō)明線(xiàn)性最優(yōu)化模型的應(yīng)用，尤其是在產(chǎn)銷(xiāo)平衡下的應(yīng)用。實(shí)際問(wèn)題比較龐大，也較復(fù)雜，但是它們用的都是同樣的原理。當(dāng)變量比較多時(shí)，可以用單純形法或用計(jì)算機(jī)軟件輔助求解。都是比較簡(jiǎn)便可行的。4應(yīng)用線(xiàn)性規(guī)劃產(chǎn)量組合模型應(yīng)注意的問(wèn)題41應(yīng)注意的問(wèn)題一在企業(yè)管理中，應(yīng)用模型分析是“理性思考”的過(guò)程，但必須認(rèn)識(shí)到理性思考不等于簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)求解過(guò)程，而是提供有關(guān)決策制定過(guò)程的思維框架。提高企業(yè)利潤(rùn)的關(guān)鍵在于現(xiàn)有資源的合理配置，而不是哪種產(chǎn)品的單件利潤(rùn)高就多生產(chǎn)。理性思考的重點(diǎn)不是比較單件利潤(rùn)。而是從企業(yè)整體出發(fā)安排生產(chǎn)。使投人要素配置產(chǎn)出結(jié)果最優(yōu)。42應(yīng)注意的問(wèn)題二建立線(xiàn)性規(guī)劃模型，并不涉及高深的數(shù)學(xué)問(wèn)題和財(cái)務(wù)投資的業(yè)務(wù)知識(shí)，只需要把管理常識(shí)問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式加以表達(dá)。線(xiàn)性規(guī)劃模型過(guò)程比較復(fù)雜，但用電腦求解比較方便，要購(gòu)買(mǎi)相應(yīng)的應(yīng)用軟件，進(jìn)行輔助決策。管理決策人員在破除對(duì)數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的畏難情緒的同時(shí)，要努力提高理論思考水平，利用電腦幫助企業(yè)“挖掘數(shù)據(jù)潛力”，提高企業(yè)資源優(yōu)化配置的科學(xué)水平，實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)最大化的目標(biāo)。參考文獻(xiàn)：【1】王