工程力學(xué) 彎曲精品課件

1、工程力學(xué) 彎曲第1頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 橫力彎曲 (bending by transverse force) 梁的橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)地，橫截面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。第2頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三. 純彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力計算公式的推導(dǎo) (1) 幾何方面 藉以找出與橫截面上正應(yīng)力相對應(yīng)的縱向線應(yīng)變在該橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律。表面變形情況 在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁(圖a)：(a)第3頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 1. 彎曲前畫在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb

2、(圖b)，在梁彎曲后成為弧線(圖a)，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；第4頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 2. 相鄰橫向線mm和nn(圖b)在梁彎曲后仍為直線(圖a)，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個角度，且與弧線aa和bb保持正交。第5頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 根據(jù)表面變形情況，并設(shè)想梁的側(cè)面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側(cè)表面的交線，可作出如下推論(假設(shè))：平面假設(shè) 梁在純彎曲時，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設(shè)已為彈性力學(xué)

3、的理論分析結(jié)果所證實。第6頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 橫截面的轉(zhuǎn)動使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層 ，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時橫截面繞著它轉(zhuǎn)動的軸 中性軸 (neutral axis)。（f)第7頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三令中性層的曲率半徑為r(如圖c)，則根據(jù)曲率的定義 有縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律 圖c為由相距d x的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個原來平行的橫截面繞中性軸相對轉(zhuǎn)動了角dq。梁的橫截面上距中性軸 z為

4、任意距離 y 處的縱向線應(yīng)變由圖c可知為(c)第8頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 即梁在純彎曲時，其橫截面上任一點處的縱向線應(yīng)變e與該點至中性軸的距離 y 成正比。(c)第9頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 小變形時純彎曲情況下可假設(shè)梁的各縱向線之間無擠壓，認為梁內(nèi)各點均處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。 (2) 物理方面 藉以由縱向線應(yīng)變在橫截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律 找出橫截面上正應(yīng)力的變化規(guī)律。 梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉、壓彈性模量相同時，有 這表明，直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按直線規(guī)律變化(如圖)。M第10頁，共65頁，2022年

5、，5月20日，19點49分，星期三 (3) 靜力學(xué)方面 藉以找出確定中性軸位置的條件以及橫截面上正應(yīng)力的計算公式。 梁的橫截面上與正應(yīng)力相應(yīng)的法向內(nèi)力元素sdA(圖d )不可能組成軸力( )，也不可能組成對于與中性軸垂直的y 軸(彎曲平面內(nèi)的軸)的內(nèi)力偶矩( )，只能組成對于中性軸 z 的內(nèi)力偶矩，即(d)第11頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 其中 為截面對于z軸的靜矩(static moment of an area)或一次矩，其單位為m3。 為截面對于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。 為截面對于z軸的慣性矩(moment of inerita of an ar

6、ea)或二次軸矩，其單位為m4。第12頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三將 代入上述三個靜力學(xué)條件，有(a)(b)(c) 以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關(guān)的幾何量，統(tǒng)稱為截面的幾何性質(zhì)，而第13頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而該兩式要求： 1. 橫截面對于中性軸 z 的靜矩等于零， ；顯然這是要求中性軸 z 通過橫截面的形心； 2. 橫截面對于 y 軸和 z 軸的慣性積等于零， ；在對稱彎曲情況下，y 軸為橫截面的對稱軸，因而這一條件自動滿足。(a)(b)(c)第14頁，共

7、65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三由式(c)可知，直梁純彎曲時中性層的曲率為 上式中的EIz稱為梁的彎曲剛度。顯然，由于純彎曲時，梁的橫截面上的彎矩M 不隨截面位置變化，故知對于等截面的直梁包含在中性層內(nèi)的那根軸線將彎成圓弧。 將上式代入得出的式子 即得彎曲正應(yīng)力計算公式：(c)第15頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 中性軸 z 為橫截面對稱軸的梁 (圖a，b) 其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸 z 不是橫截面對稱軸的梁 (圖c) ，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。dzyo(b) yc,max yt,maxyz bd1

8、hOd2(c) hbzyo(a)第16頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 中性軸z為橫截面的對稱軸時，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值smax為式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為抗彎截面系數(shù)，其單位為m3。hbzyodzyo第17頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 中性軸 z 不是橫截面的對稱軸時(參見圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為第18頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三最大正應(yīng)力： 當(dāng) 時， ， DdDd=aDz Wz 梁的抗彎截面系數(shù)。第19頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三BHbBhH

9、z z 矩形截面：箱形截面：第20頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三A.1 靜矩（面積）矩一、靜矩：(與力矩類似，面積與它到軸的距離之積)dAyzyz常用截面的慣性矩 平行移軸公式第21頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三設(shè)任意形狀截面如圖所示。1.極慣性矩（或截面二次極矩）2.慣性矩（或截面二次軸矩）（為正值，單位m4 或 mm4)所以（即截面對一點的極慣性矩，等于截面對以該點為原點的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。） OxyyxrdAA.2 慣性矩、極慣性矩第22頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三例 試計算圖a所示矩形截面

10、對于其對稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。 解：取平行于x軸的狹長條，則 dA=b dy同理yhCx dyyb(a)第23頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 若截面是高度為h的平行四邊形（圖b），則其對形心軸x 的慣性矩同樣為hxyb(b)C第24頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三例 試計算圖示圓截面對于其形心軸（即直徑軸）的慣性矩。 xdyyx解：由于圓截面有極對稱性，所以所以第25頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三簡單圖形的二次矩圓形yzOd矩形bh/2h/2yzO討論： 慣性矩大于零第26頁，共65頁，2022年，5月

11、20日，19點49分，星期三A.3 慣性矩的平行移軸公式組合截面的慣性矩1.慣性矩的平行移軸公式 設(shè)有面積為A的任意形狀的截面。C為其形心，Cxcyc為形心坐標(biāo)系。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)系為Oxy ,形心C在Oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a , b) 任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：aycyxcxCObdAxcycyx第27頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三同理，有：（此為平行移軸公式 ）注意：式中的a、b代表坐標(biāo)值，有時可能取負值。等號右邊各首項為相對于形心軸的量。第28頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三2.組合截面的慣性矩 根據(jù)慣

12、性矩和慣性積的定義易得組合截面對于某軸的慣性矩等于其各組成部分對于同一軸的慣性矩之和：第29頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三10014020 20C2yzC1CyC例 求“T”型截面對形心軸zc的靜矩，慣性矩。建立參考坐標(biāo)系oyz解 ： 組合圖形計算形心坐標(biāo)第30頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三計算靜矩Sz()和SzC()計算慣性矩IzC， IyC第31頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三92 橫力彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力強度條件 一、橫力彎曲（梁橫截面上既有FS又有M的情況 ）時，平面假設(shè)不成立。但 對于（L

13、/h5）長梁，可用純彎曲推導(dǎo)的正應(yīng)力公式計算橫力彎曲時的正應(yīng)力，由此引起的誤差能夠滿足工程上的精度要求。 二、彎曲正應(yīng)力強度條件： 彎曲應(yīng)力（1） （2） 第32頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三校核強度：設(shè)計截面尺寸：設(shè)計載荷：彎曲正應(yīng)力強度計算的三類問題。 第33頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三例1 受均布載荷作用的簡支梁如圖所示，試求：（1）11截面上1、2兩點的正應(yīng)力；（2）11截面上的最大正應(yīng)力；（3）全梁的最大正應(yīng)力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半徑。q=60kN/mAB1m2m11xM + M1Mmax121201

14、80zy解：畫M圖，求截面彎矩30第34頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三q=60kN/mAB1m2m1112120zy（1）求11截面上1、2兩點的正應(yīng)力18030（壓應(yīng)力）第35頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三求曲率半徑q=60kN/mAB1m2m11M1MmaxxM + （2）求11截面上的最大正應(yīng)力（3）求全梁的最大正應(yīng)力第36頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三例2 求圖示梁外壁和內(nèi)壁處的最大正應(yīng)力。 解：（1）畫彎矩圖， 求最大彎矩 （2）計算應(yīng)力 梁內(nèi)、外壁處的最大正應(yīng)力分別為： 60 30 120 80 z

15、 ()第37頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三例3 求圖示梁中央截面上的最大拉應(yīng)力和 最大壓應(yīng)力以及G點的正應(yīng)力，梁由10號槽鋼制成。 解：（1）畫M圖，求 （2）查型鋼表，求截面有 關(guān)幾何量 () （壓應(yīng)力） 第38頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三解：畫彎矩圖1m1m1mABCDx3.5kNm4kNmM（+） （） 例4 倒形截面鑄鐵梁，已知 ， ， ， ， 試校核該梁的強度。 截面：B截面： 第39頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三討論：采取什么措施，使梁滿足強度要求？彎曲應(yīng)力將梁截面倒置x3.5kNm4kNmMy1

16、y2（） （） 截面：B截面： 第40頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三93 梁橫截面上的切應(yīng)力一、 矩形截面梁橫截面上的切應(yīng)力1、兩個假設(shè)： 切應(yīng)力與剪力平行；距中性軸等距離的各點切應(yīng)力相等。2、研究方法：分離體平衡。在梁上取微段如(圖b)；dxxFS(x)+d FS(x)M(x)M(x)+d M(x)FS(x)dxxyztb(圖a)（圖b）（圖c）y在微段上取一塊如圖c，平衡 第41頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三由切應(yīng)力互等FS(x)+d FS(x)M(x)M(x)+d M(x)FS(x)dxxyztb（圖b）(圖c)y 第42頁，共65

17、頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三FSt方向：與橫截面上剪力方向相同；t大?。貉亟孛鎸挾染鶆蚍植迹馗叨萮分布為拋物線。最大切應(yīng)力在中性軸上，為平均切應(yīng)力的1.5倍。二、其它形狀截面梁橫截面上的切應(yīng)力1、研究方法與矩形截面同;切應(yīng)力的計算公式亦為：其中FS為截面剪力；Sz 為y點橫線以下的面積對中性軸之靜矩；Iz為整個截面對z軸之慣性矩；b 為y點處截面寬度。第43頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三2、幾種常見截面的最大彎曲切應(yīng)力 工字鋼截面：結(jié)論： 翼緣部分tmax腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。 鉛垂切應(yīng)力主要由腹板承受（9597%），且tm

18、ax tmin ， 故工字鋼最大切應(yīng)力Af 腹板的面積。;maxA FStf第44頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三圓截面： 第45頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三一般來說，最大切應(yīng)力發(fā)生在剪力絕對值最大的截面的中性軸處。tsMt三、梁的切應(yīng)力強度條件 中性軸以上（或以下）部分截面對中性軸的靜矩。 （絕對值）第46頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三四、需要校核切應(yīng)力的幾種特殊情況： 鉚接或焊接的工字形截面梁，其腹板的厚度與高度比小于型鋼的相應(yīng)比值時，要校核切應(yīng)力。 梁的跨度較短，M 較小，而FS較大時，要校核切應(yīng)力。 焊

19、接、鉚接或膠合的組合梁，對焊縫、鉚釘或膠合面，一般要進行剪切計算。 各向異性材料（如木材）的抗剪能力較差，要校核切應(yīng)力。第47頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三解：畫內(nèi)力圖求危險截面內(nèi)力例5 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖， =7MPa， =1M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比,并校核梁的強度。q=3.6kN/mxMABL=3m+x（+） 第48頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三求最大應(yīng)力并校核強度應(yīng)力之比第49頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三若將上述梁改為10號工字鋼，試計算其最大切應(yīng)力。 表中：

20、 表中：d=4.5mm 第50頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 94 提高梁彎曲強度的措施一、合理安排梁的受力情況 合理布置載荷 降低 （） （） 第51頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三（） qP/l（） （） 第52頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三合理布置支座位置 （） qq（+） （-） （-） 第53頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三二、梁的合理截面合理截面： 矩形截面bhz hz 第54頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三空心圓截面比實心圓截面合理Dz DdDd=a第55頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三 工字形截面是由矩形演變而成 的材料（例鑄鐵），宜采用截面不對稱于中性軸。zz第56頁，共65頁，2022年，5月20日，19點49分，星期三. 合理選取截面形狀 (1) 盡可能使橫截面上的面積分布在距中性軸較遠處，以使彎曲截面系數(shù)Wz增大。 由四根100 mm80 mm10 mm不等邊角鋼按四種不同方式焊成的梁(角鋼的長肢均平放，故四種截面的高度均為1