任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)(3)【原創(chuàng)精品】

1、任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)內(nèi)容解析三角函數(shù)是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在其它學(xué)科領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.任意角的三角函數(shù)是函數(shù)的下位概念，它建立在數(shù)學(xué)1中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，是對(duì)銳角三角函數(shù)概念的擴(kuò)張.引入銳角三角函數(shù)的概念，目的是為了研究三角形中的邊角關(guān)系，定義側(cè)重于從幾何的角度，在直角三角形中得到角與邊的比值之間的確定關(guān)系.而引入任意角三角函數(shù)的概念，是為了研究周期變化現(xiàn)象，定義側(cè)重于從代數(shù)的角度，以單位圓為工具，得到角和其終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的確定關(guān)系.在弧度制下，是數(shù)集到數(shù)集的映射.本節(jié)課是在學(xué)習(xí)完“任意角和弧度制”后的第一節(jié)新授課，教材中對(duì)任意角的三角函數(shù)的定義有

2、兩種單位圓定義法和終邊定義法.從研究任意角的三角函數(shù)作用看，單位圓定義法顯得更為簡(jiǎn)單直觀，為后續(xù)研究三角函數(shù)性質(zhì)埋下伏筆；從數(shù)學(xué)史發(fā)展看，單位圓定義法對(duì)描述周期性變化規(guī)律模型起到推動(dòng)作用.因此，本教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)生已有的反映周期現(xiàn)象變化的日常經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用為線索，完成任意角的三角函數(shù)的建構(gòu)過(guò)程.二、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能：理解任意角三角函數(shù)的定義，樹(shù)立映射觀點(diǎn)，正確理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).過(guò)程與方法：經(jīng)歷單位圓定義法，培養(yǎng)合情猜測(cè)的能力，體會(huì)函數(shù)模型的作用.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)學(xué)生積極參與知識(shí)“發(fā)現(xiàn)”與“形成”的過(guò)程，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，感悟數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性.重

3、點(diǎn): 任意角三角函數(shù)的定義.難點(diǎn)：任意角三角函數(shù)概念的建構(gòu)過(guò)程.三、教學(xué)流程1復(fù)習(xí)通過(guò)對(duì)任意角的概念的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為它與初中角的概念有什么區(qū)別？設(shè)計(jì)意圖 對(duì)任意角概念的理解是學(xué)習(xí)本節(jié)課的基礎(chǔ).2創(chuàng)設(shè)情境、引出主題問(wèn)題：已知摩天輪的中心離地面的高度為,它的直徑為，逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)一周需要秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置點(diǎn)出發(fā)，求相對(duì)于地面的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式. 師：讓我們一起分析一下，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，高度是怎樣變化的?師生：開(kāi)始高度先漸漸增高至最高點(diǎn)，再漸漸降低至最低點(diǎn)，再漸漸升高，最后回到初始位置；第二周，第三周，周而復(fù)始，呈現(xiàn)周期現(xiàn)象.設(shè)計(jì)意圖 以解決實(shí)際問(wèn)題為背景，引入任意

4、角三角函數(shù)概念，突出研究問(wèn)題的“周期性”特點(diǎn).師：我們?cè)撚迷鯓拥暮瘮?shù)模型來(lái)刻畫(huà)這種運(yùn)動(dòng)呢？讓我們先從特殊情形入手.例如，過(guò)了20s后，人距離地面的高度是多少？生：.師：你能對(duì)這個(gè)式子做一解釋嗎？生：表示水平位置距離地面的高度，表示距離水平位置的高度，即.師：如果過(guò)了s呢？對(duì)上面式子做怎樣修改？師生：將換成，即：.一般地，過(guò)了秒呢？猜想: 師：這樣猜想合情，但合理嗎？隨著摩天輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，從最初的銳角被推廣到了任意角.對(duì)任意角，該如何定義呢？這就是這節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，任意角的三角函數(shù).設(shè)計(jì)意圖 為引出任意角的三角函數(shù)做準(zhǔn)備，按照從特殊到一般地策略來(lái)探究，讓學(xué)生感受到接下來(lái)學(xué)習(xí)新知識(shí)的必要性.3概

5、念生成師：當(dāng)在水平但位置上方時(shí)，；當(dāng)在水平位置下方時(shí)，即：與相比較，要想兩者和諧統(tǒng)一，必須有：，即：.師生小結(jié)：當(dāng)點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨之變化，任一個(gè)，對(duì)應(yīng)著唯一點(diǎn)，進(jìn)而有唯一，得到：.師：不過(guò)這樣表述時(shí)，還是不夠簡(jiǎn)潔,何時(shí)取正值，何時(shí)取負(fù)值？能否用一個(gè)量去代替，使上述表示形式更簡(jiǎn)單？它的絕對(duì)值與的長(zhǎng)度相等，符號(hào)在上方表示正的，下方表示負(fù)的.生:引入直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)的縱坐標(biāo)來(lái)替代或.設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生感受到任意角三角函數(shù)定義中，坐標(biāo)系的引入是自然的，有必要的.師：接下來(lái)，我們把角放在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，半徑為做圓，與角的終邊交于點(diǎn)，假設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，利用我們剛才對(duì)上述問(wèn)題的分析，這里，.師

6、：當(dāng)是銳角時(shí)，此規(guī)定與初中規(guī)定是否吻合？生：吻合，利用初中對(duì)銳角三角函數(shù)定義，即，即.師：三角函數(shù)只有這一個(gè)嗎？生：還有余弦，正切.師：你能仿照正弦給出它們的類(lèi)似定義嗎？生：，師：從高中函數(shù)定義來(lái)看，他們是真正意義上的函數(shù)嗎？生：是的，任意給定角，其終邊唯一確定，終邊與圓的交點(diǎn)就唯一確定，比值隨之唯一確定.師：比值會(huì)隨著點(diǎn)在終邊上的變化而變化嗎？生：不會(huì)，由相似三角形知識(shí)，比值是唯一確定的.師：很好，任意給定唯一確定比值.那如果是任意角呢，我們不妨假設(shè)此時(shí)終邊落在第二象限，終邊與圓的交點(diǎn)仍然是，坐標(biāo)為，顯然，我們已經(jīng)不能把放在一個(gè)銳角三角形內(nèi)，但是我們同樣可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)給定后，終邊唯一確定，其與

7、圓的交點(diǎn)唯一確定，仍然符合函數(shù)的定義.師：這種比值形式能進(jìn)一步簡(jiǎn)化嗎？生：另，則，師：此時(shí)點(diǎn)具有什么特點(diǎn)？生：點(diǎn)即是角終邊與單位圓的交點(diǎn).師：它們是函數(shù)嗎？生：是的，當(dāng)給定時(shí)，點(diǎn)即定，函數(shù)值唯一確定.師：既然是函數(shù)，則有三要素，它們的定義域是什么？生：，的定義域均為，的定義域是師：很好，我們就把上面這三個(gè)函數(shù)稱為任意角的三角函數(shù).其實(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)，任意角的三角函數(shù)是以角作為自變量，以坐標(biāo)或者坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，即從角的集合到實(shí)數(shù)集的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.設(shè)計(jì)意圖 這里采用概念同化的學(xué)習(xí)方式，讓學(xué)生理解定義的合理性，理解概念的背景和生成過(guò)程.4概念運(yùn)用例1.（口算）求下列三角函數(shù)值：(1); (

8、2); (3).變式：若已知,你能寫(xiě)出的一個(gè)角嗎？例2.角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求它的三角函數(shù)值.設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生熟悉定義，從中概括出用定義解題的步驟.例3.設(shè)且,確定是第幾象限的角.設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)定義的應(yīng)用，讓學(xué)生了解三種定義域及函數(shù)值在各象限的符號(hào)的變化規(guī)律，并從中進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.例4.不求值，判斷下列三角函數(shù)值的符號(hào).(1) ; (2) ; (3).設(shè)計(jì)意圖 引出公式一，突出函數(shù)周期變化的特點(diǎn)，以及數(shù)形結(jié)合的思想.5探究發(fā)現(xiàn)在如圖所示的單位圓中，角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊為，則有向線段分別稱為角的正弦線，余弦線，正切線，余切線，正割線和余割線.圖中的正弦線，余弦線均為圓上的弦的一段.如是圓的弦上的一段，是圓的弦上的一段.圖中正切線,余切線均為圓上的切線段.圖中正割線,余割線均為圓上的割線段.你能否據(jù)此給出三角函數(shù)名稱的一種幾何解釋，并說(shuō)明理由？設(shè)計(jì)意圖 針對(duì)學(xué)生素質(zhì)差異，設(shè)計(jì)有層次的思考題，留給學(xué)生課后自主探究，也為即將介紹“三角函數(shù)線”埋下伏筆.6小結(jié)反思通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀?/p>