空間幾何體地表面積與體積公式大全

1、一、全（表）面積（含側(cè)面積）、柱體棱柱圓柱、錐體l圓錐：、臺體棱臺：圓臺：、球體)l球：rl球冠：略下球缺：略二、體積、柱體棱柱Sh下圓柱、錐體圓錐、臺體臺上上下下rrrrl、球體球：r下下說明：棱錐、棱臺計算側(cè)面積時使用側(cè)面的斜高說明：棱錐、棱臺計算側(cè)面積時使用側(cè)面的斜高計算；而圓錐、圓臺的球缺：略側(cè)面積計算時使用母線l計算。三、拓展提高、夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，如果它們在任意高度上的平行截面面積都相等，那么這兩個幾何體的體積相等。最早推導(dǎo)出球體體積的祖沖之父子便是運用這個原理實現(xiàn)的。、r的圓柱形容器內(nèi)裝一個最大的球體，則該球體的全面積等于圓柱的側(cè)面積，體積等于圓柱體積的。分析：圓柱

2、體積：hrrr圓柱側(cè)面積：hrrr因此：球體體積：rr球體表面積：r通過上述分析，我們可以得到一個很重要的關(guān)系（如圖）+=即底面直徑和高相等的圓柱體積等于與它等底等高的圓錐與同直徑的球體積之和、臺體體積公式證明：如圖過臺體的上下兩底面中心連線的縱切面為梯形。延長兩側(cè)棱相交于一點。設(shè)臺體上底面積為高為。，下底面積為易知：，設(shè)PE，則PF由相似三角形的性質(zhì)得：PEPFEFhhh上下h相似比等于面積比的算術(shù)平方根整理得：h又因為臺體的體積=大錐體體積小錐體體積代入：h得：臺h上下上(下)上h下、球體體積公式推導(dǎo)分析：將半球平行分成相同高度的若干層（n），越大，每一層越近似于圓柱，n時，每一層都可以看

3、作是一個圓柱。這些圓柱的高為r，則：n每個圓柱的體積i=riirn半球的體積等于這些圓柱的體積之和。nnnnnnnnrrrrrrrrorrnnnnrrrrrrrnrrnrrrnnn半球體積為：rr.r半球體積為：rr.rrnnnnn=rr.nnn=r.(=rr(r)當(dāng)n時，nr)rr)球體積為：r、球體表面積公式推導(dǎo)分析：球體可以切割成若干（n）近似棱錐，當(dāng)n時，這些棱錐的高nrrnrrnn則所有的小棱錐體積之和為球體體積。即有：nrr，、o正六面體（正方體）與正四面體（）體積關(guān)系如圖：正方體切下四個三棱錐后，剩下的部分為正四面體設(shè)正方體棱長為，則其體積為：四個角上切下的每一個三棱錐體積為：中

4、間剩下的正四面體的體積為：()()(正三棱錐這樣一個正方體可以分成四個三棱錐與中間一個正四面體即：（）外接球以它們共球?；仡櫍簝牲c定線三點定面三點定圓四點定球如圖：正方體的體對角線=球直徑正四面體的外接球半徑=高正四面體的棱長=正方體棱長正方體體積：正四面體體積=3：正方體外接球半徑與正四面體外接球半徑相等（）正方體的內(nèi)切球與正四面體的關(guān)系（）正方體內(nèi)切球直徑=正方體棱長（b）正方體內(nèi)切球與正四面體的四條棱相切。（）與正四面體四條棱相切的球半徑=正方體棱長的一半（d）設(shè)正四面體棱長為，則與其棱都相切的球半徑為r有：有：r、利用祖暅原理推導(dǎo)球體體積。構(gòu)造一個幾何體，使其截面與半球截面處處相等，根

5、據(jù)祖暅原理可得兩物體體積相等。r的圓柱內(nèi)挖去一個與圓柱等底等高的圓錐。如圖：rr在半球和挖去圓錐后的組合體的相同截面上作研究，設(shè)圓柱和半球底面半徑均為，截面高度均為，倒圓錐的截面半徑為r，半球截面半徑為錐r，則：挖去圓錐后的組合體的截面為：r半球截面面積為：r倒圓錐的底面半徑與高相等，由相似三角形易得：r在半球內(nèi)，由勾股定理易得：h即：，也就是說：半球與挖去倒圓錐后有圓柱在相同的高度上有相同的截面。由祖暅原理可得：所以半球體積：即，球體體積：、正方體與球（）正方體的內(nèi)切球正方體的棱長球體的直徑ddr球6:（）正方體的外接球正方體的體對角線dr球:（）規(guī)律：正方體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點；

6、正方體的內(nèi)切球與外接球的球心在體對角線上；正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之比為：1:正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為：正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為：正方體外接球半徑、正方體棱長、內(nèi)切球半徑比為：正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為：:正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為：:、正四面體與球（）正四面體的內(nèi)切球解題關(guān)鍵：利用體積關(guān)系思考內(nèi)切球的球心到各個面的距離相等，球心與各頂點的連線恰好把一個正四面體分成四個三棱錐，每個三棱錐的底面為原正四面體的底面，高為內(nèi)切球的半徑r。利用體積關(guān)系得：r所以：r，其中為正四面體的高。r即：r：:（）正四面體的外接球外接球的半徑=外接球的半徑=

7、高()=r:（）規(guī)律：正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心為同一點；正四面體的內(nèi)切球與外接球的球心在高線上；正四面體的內(nèi)切球與外接球的的半徑之和等于高；正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比等于：正四面體內(nèi)切球與外接球體積之比為：正四面體內(nèi)切球與外接球表面積之比為：正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球體積比為：:正四面體外接球、正四面體、內(nèi)切球表面積比為：:、圓柱與球（）圓柱容球（阿基米德圓柱容球模型）圓柱高=底面直徑=球的直徑球體體積=圓柱體積球面面積=圓柱側(cè)面積（）球容圓柱球體直徑、圓柱的高、圓柱底面直徑構(gòu)成直角三角形。設(shè)球體半徑為，圓柱高為，底面半徑為r則有：則有：r即：r四、方法總結(jié)下面舉例說明立體

8、幾何的學(xué)習(xí)方法例：已知正四面體的棱長為，求它的內(nèi)切球和外接球的半徑思路：先分析球心的位置。因為正四面體是特殊的四面體，顯然內(nèi)切球與外接球的球心是重合的。且是正四面體的高線交點。再分析球心與一些特殊的點、線、面的位置、數(shù)量關(guān)系。在內(nèi)切球這種情況下，球心垂直于每一個面，且到每一個面的距離相等；在外接球這種情況下，球心到每個頂點的距離相等。方法如圖：取立體圖形中的關(guān)鍵平面圖形進行分析！連接并延長交平面ABC于點，連接連接并延長交BC于點E，則A、E三點共線。在平面AED中，由相似知識可得：AEGEG/BEeqoac(,GO)即：方法如圖：設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為，連接、，則正四面體被分成四個

9、完全一樣的三棱錐。設(shè)內(nèi)切球半徑為r，正四面體的棱長為則正面四體的高為：則正面四體的高為：()則：個完全一樣的三棱錐體積=正四面體體積有：rrArBr如圖：顯然、是外接球半徑，是內(nèi)切球半徑。在eqoac(,DO)中，由勾股寫得可得以下方程：A其中：BA代入方程解得：、方法：補形分析（最巧妙的思考）把正四面體補成正方體進行分析。如圖：此時，正四面體與正方體有共同的外接球。正四面體的棱長為，則正方體棱長為：正方體的外接球直徑為其體對角線)正四面體的外接球半徑為：內(nèi)切球半徑為：ArB方法：坐標(biāo)分析（最意外的解法）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則A（，），B（，），（，），（，（，）由得：即：即：=解得

10、：，即：r，r主要方法：一、統(tǒng)一思想、公式的統(tǒng)一對于每個幾何形體的面積與體積公式，我們很想找出一個萬能公式全部適用于所有形體，但是這只是一個理想狀況，實際上不可能，最多只可能適用于一部分而已。即使是這樣，也只減小我們對公式的記憶難度，增強學(xué)習(xí)的靈活性。（）梯形的面積公式：bh，同樣適用于三角形、平行四邊形、長方形、正方形、扇形的面積計算。只是在使用時作微調(diào)而已。在分析三角形時，上底變?yōu)?；分析長方形、正方形、，下底變成弧長，高為半徑。（）臺體的側(cè)面積公式：圓錐、棱錐、球的側(cè)面積計算。只是在使用時作微調(diào)而已。在分析圓柱、棱柱時，上下底周長變成一樣；在分析棱錐時，上底周長變?yōu)?；在分析圓錐時，上底周長

11、變?yōu)椋备咦兂赡妇€；在分析球體的面積時，上下底都取最大圓的周長，高取直徑，即：rrrr（）臺體的體積公式：，同樣適用于圓、柱、棱柱、圓錐、棱錐、球的體積計算。只是在使用時作微調(diào)而已。在分析圓柱、棱柱時，上下底面積變成一樣；在分析棱錐時，上底面積變?yōu)?；在分析圓錐時，上底面積變?yōu)?；在倍，高取直徑，即：rrr字母的統(tǒng)一在進行分析時，一般要把字母統(tǒng)一，這樣便于進行比較！關(guān)系的統(tǒng)一注意相似的關(guān)系：面積比等于相似比的平方，體積比等于相似比的立方。球體、正方體、正多面體相似！二、轉(zhuǎn)換思想、平面與立體的轉(zhuǎn)換決。但是要在特殊的面中進行，有時還要把面與面的關(guān)系交給線與線來分析。如二面角的大小研究，通常會作垂直于兩面的究。在立體與平面的轉(zhuǎn)換中平移是一種很實用的手段。通過平垂直來分析！位置的轉(zhuǎn)換、形體的轉(zhuǎn)換三、特殊思想、