常微分方程初值問題數(shù)值解法

1、常微分方程初值問題數(shù)值解法第1頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三第九章 常微分方程初值問題數(shù)值解法/*Numerical Method for Ordinary Differential Equations*/ 許多實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型是微分方程或微分方程的初值問題,如物體運(yùn)動(dòng),電路震蕩,化學(xué)反映及生物群體的變化等。 能用解析方法求出精確解的微分方程為數(shù)不多,而且有的方程即使有解析解,也可能由于解的表達(dá)式非常復(fù)雜而不易計(jì)算,因此有必要研究微分方程的數(shù)值解法。第2頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三常微分方程中介紹的微分方程主要有: (1)變量可分離的方程

2、 (2)一階線性微分方程(貝努利方程) (3)可降階的一類高階方程 (4)二階常系數(shù)齊次微分方程 (5)二階常系數(shù)非齊次微分方程 (6)全微分方程本章主要介紹一階常微分方程初值問題的數(shù)值解法。第3頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三圖形解 xyo簡(jiǎn)單的微分方程復(fù)雜、大型的微分方程解析解 y = f(x)數(shù)值解 (xi, yi)歐拉方法改進(jìn)歐拉方法 梯形法龍格-庫塔法第4頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三初值問題及其數(shù)值解的概念1 引言常用的一些解析解法：常數(shù)變易法、Lapalace變換等分離變量法、變量代換、一階常微分方程初值問題：第5頁，共69頁，2

3、022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三對(duì)于初值問題 ，如果 在下列區(qū)域內(nèi)連續(xù)：（解的存在唯一性）且關(guān)于 滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù) ，使則初值問題 存在唯一解，且解是連續(xù)可微的。所謂數(shù)值解是指：在解的存在區(qū)間上取一系列點(diǎn)逐個(gè)求出 的近似值等距節(jié)點(diǎn)：步長(zhǎng)第6頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三初值問題 的解析解及其數(shù)值解的幾何意義：初值問題 的解表示過點(diǎn) 的一條曲線初值問題 的數(shù)值解表示一組離散點(diǎn)列可用擬合方法求該組數(shù)據(jù) 的近似曲線積分曲線第7頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三建立微分方程數(shù)值解法,首先要將微分方程離散化.一般采用以下幾種方

4、法:(1) 用差商近似導(dǎo)數(shù)建立數(shù)值解法的常用方法第8頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三(2) 用數(shù)值積分近似積分實(shí)際上是矩形法寬高第9頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三(3) 用Taylor多項(xiàng)式近似并可估計(jì)誤差第10頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三2 簡(jiǎn)單的數(shù)值方法Euler方法的基本原理將 在點(diǎn) 處進(jìn)行Taylor展開略去 項(xiàng)：然后用 代替 ，即得稱上述公式為向前Euler 公式。一、 Euler方法第11頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三若將 在點(diǎn) 處進(jìn)行Taylor展開略去 項(xiàng)：然后用 代替 ，即

5、得稱上述公式為向后Euler 公式。向后Euler 公式為隱式格式，需要利用迭代法求解第12頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三Euler方法的幾何意義第13頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三Y=y(x)ab第14頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三解：向前Euler公式：例1：分別利用向前和向后Euler方法求解初值問題的數(shù)值解（取步長(zhǎng)為 ）向后Euler公式：第15頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三具體計(jì)算結(jié)果:第16頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三第17頁，共69頁，2022年，5

6、月20日，5點(diǎn)20分，星期三利用數(shù)值積分將微分方程離散化得梯形公式:解決方法：有的可化為顯格式，但有的不行梯形方法為隱式算法二、 改進(jìn)的Euler方法第18頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三梯形公式比Euler法精度高一些,但計(jì)算量較大 實(shí)際計(jì)算中只迭代一次，這樣建立的預(yù)測(cè)校正系統(tǒng)稱作改進(jìn)的Euler公式。第19頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三第20頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三例解第21頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三Euler近似解精確解0 1.0.1 1.10.2 1.191820.3 1.2

7、77440.4 1.358210.5 1.435130.6 1.50897y0 - 1y0.1 - 1.09545y0.2 - 1.18322y0.3 - 1.26491y0.4 - 1.34164y0.5 - 1.41421y0.6 - 1.483240 1.0.1 1.097740.2 1.187570.3 1.271290.4 1.350130.5 1.424990.6 1.49657改進(jìn)Euler近似解結(jié)果比較第22頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三三、常微分方程數(shù)值解法的穩(wěn)定性設(shè)一個(gè)數(shù)值方法以定步長(zhǎng) 求解實(shí)驗(yàn)方程得到線性差分方程的解 。當(dāng)時(shí) ，若 ，則稱該方法對(duì)

8、步長(zhǎng)為絕對(duì)穩(wěn)定的；否則稱為不穩(wěn)定的。將數(shù)值方法應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)方程，若對(duì)一切都是絕對(duì)穩(wěn)定的，則稱區(qū)域 為該方法的絕對(duì)穩(wěn)定域。上述定義表明，若數(shù)值方法可使任何一步產(chǎn)生的誤差在后面的計(jì)算中都能逐步削弱，則該方法為絕對(duì)穩(wěn)定。第23頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三例如，對(duì)于向前Euler法：將其應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)方程當(dāng) 時(shí)，誤差將逐步減弱，故此時(shí)方法穩(wěn)定。向前Euler法絕對(duì)穩(wěn)定域：當(dāng) 因有誤差變?yōu)?時(shí)，則有第24頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三四、單步方法的局部誤差和階單步法的一般形式隱式單步法通常稱 為增量函數(shù)顯式單步法稱 為某方法在點(diǎn) 的整體截?cái)嗾`差設(shè) 是準(zhǔn)確的

9、，用某種方法計(jì)算 時(shí)產(chǎn)生的截?cái)嗾`差，稱為該方法的局部截?cái)嗾`差，即(單步法：在計(jì)算yn+1 時(shí)只利用yn)第25頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三其中 為自然數(shù)，則稱該方法是 階的或具有 階精度。如果給定方法的局部截?cái)嗾`差為如果一個(gè) 階單步方法的局部截?cái)嗾`差為則稱 為該方法的局部截?cái)嗾`差的主項(xiàng)。如向前Euler方法的局部截?cái)嗾`差一階方法第26頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三Euler方法的誤差分析對(duì)初值問題中的微分方程兩端在區(qū)間 上積分如果用左矩形公式計(jì)算右端積分，并令其中上述等式中如果用 代替 ，即得向前Euler格式。其局部截?cái)嗾`差為第27頁，共

10、69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三設(shè) 關(guān)于 和 均滿足Lipschitz條件，即和第28頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三其中而整體截?cái)嗾`差為第29頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 注意到第30頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三對(duì)于初值問題 ，如果 關(guān)于 滿足（向前Euler方法的整體截?cái)嗾`差）Lipschitz條件， 為對(duì)應(yīng)的Lipschitz常數(shù)，當(dāng)時(shí)，向前Euler方法的數(shù)值解 一致收斂于初值問題 的精確解，且整體截?cái)嗾`差滿足估計(jì)式如果 ，Euler方法的整體截?cái)嗾`差為 第31頁，共69頁，2022年，5

11、月20日，5點(diǎn)20分，星期三一、Runge-Kutta方法的基本思想3 龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法顯式單步法的一般形式：R-K方法是利用一些點(diǎn)的線性組合構(gòu)造增量函數(shù)，使得相應(yīng)方法的局部截?cái)嗾`差的階數(shù)盡可能高。二階Runge-Kutta方法確定參數(shù) ，使得與 在點(diǎn) 的Taylor展開式有盡可能多的相同項(xiàng)。 第32頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三比較兩式的相同項(xiàng)得方程組有無窮多解第33頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三若取其一組解則得到改進(jìn)的Euler公式（二階方法）若取其另一組解則得到二階的Heun（休恩）公式。第34頁，共69頁，20

12、22年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三二、顯式Runge-Kutta方法及其穩(wěn)定性和設(shè) 是一個(gè)正整數(shù)，代表使用函數(shù)值 的個(gè)數(shù)，是一些特定的權(quán)因子（均為實(shí)數(shù)），則稱下列方法（公式）為初值問題 的m級(jí)顯式RungeKutta公式，其中第35頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三類似前面的處理方法，可以得到四級(jí)方法：m =4局部截?cái)嗾`差最常用的一種四階方法：經(jīng)典顯式Runge-Kutta公式第36頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三解：例2：用經(jīng)典的四階Runge-Kutta方法求解下列初值問題 。經(jīng)典的四階Runge-Kutta公式：第37頁，共69頁，202

13、2年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三第38頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三第39頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三注：對(duì)于顯式N級(jí)R-K方法，最多只能得到N階方法。上述方法的缺陷：計(jì)算非常復(fù)雜?？赏ㄟ^積分方法確定參數(shù)。例2：確定如下三級(jí)三階顯式Runge-Kutta公式中的參數(shù)：解：對(duì)微分方程 兩邊積分得第40頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三采用Simpson公式計(jì)算上式右端積分項(xiàng)可設(shè)參數(shù)則有選擇剩余參數(shù)，使得第41頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三取第42頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20

14、分，星期三第43頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三取利用Taylor展開式第44頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三代入當(dāng) 時(shí)，第45頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三例3：求經(jīng)典四階的R-K方法的絕對(duì)穩(wěn)定域。解：第46頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三其絕對(duì)穩(wěn)定域?yàn)槿㈦[式Runge-Kutta方法m級(jí)隱式RK方法的一般形式其中系數(shù)的確定方法同顯式RK方法完全類似第47頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三(1)一級(jí)二階的隱式中點(diǎn)方法：(2)二級(jí)四階的隱式R-K方法：N級(jí)隱式R-K法可以達(dá)

15、到2N階缺陷：需要求解非線性方程（組）第48頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三一、k步線性多步法4 線性多步法/*Linear Mutistep Method and Predictor-Corrector Format*/ 所謂的線性多步法，指的是某一步解的公式不僅與前一步的值有關(guān)，而且與前面若干步解的值有關(guān)的方法。對(duì)初值問題 兩邊積分得第49頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三將 換為節(jié)點(diǎn)取節(jié)點(diǎn) ，構(gòu)造 的k+1個(gè)點(diǎn)的Lagrange插值多項(xiàng)式：多步顯式公式第50頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三其中記若函數(shù)值 已知，則得r+

16、1步顯式方法第51頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三如 時(shí)，可得二步顯式阿達(dá)姆斯（Adams）格式其中第52頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 Adams顯式公式的局部截?cái)嗾`差：由Lagrange插值余項(xiàng)知其中（第二積分中值定理）k階方法第53頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三取節(jié)點(diǎn) ，構(gòu)造 的k+1個(gè)點(diǎn)的Lagrange插值多項(xiàng)式：多步隱式公式第54頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三其中記則得到r+1步q+1階的隱式方法如 時(shí)，可得二步隱式阿達(dá)姆斯（Adams）格式梯形公式第55頁，共69頁，2022年，

17、5月20日，5點(diǎn)20分，星期三常用的一種預(yù)測(cè)-校正公式：四階Adams預(yù)測(cè)-校正公式：（顯式）（隱式）初始迭代值由4階R-K方法計(jì)算第56頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三例4：用Adams預(yù)測(cè)-校正公式求解下列初值問題 。解：Adams預(yù)測(cè)-校正公式：第57頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三R-K方法Adams預(yù)-校法 精確解 0 11.0000000000 0.11.0954461.0954451153 0.21.1832171.1832159566 0.31.2649121.2649110640 0.41.34164135711.3416407

18、864 0.51.41421383341.4142135623 0.61.48323982421.4832396974 0.71.54919338041.5491933384 0.81.61245153641.6124515496 0.91.67331999931.6733200530 1.01.73205071981.7320508075第58頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三 5 一階方程組與高階方程的數(shù)值解法一、一階微分方程組初值問題的一般形式初始條件:第59頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三寫成向量的形式:第60頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三n=2對(duì)應(yīng)的Runge-Kutta公式第61頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三第62頁，共69頁，2022年，5月20日，5點(diǎn)20分，星期三例 考慮Lorenz模型：其中參數(shù)