高考中的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題

1、第03講端點(diǎn)效應(yīng)因知識(shí)縱橫1.端點(diǎn)分析的原理端點(diǎn)分析是常見(jiàn)的含參函數(shù)的處理技巧，以1個(gè)典型的恒成立問(wèn)題為例；已知含參可導(dǎo)函 數(shù)/U）對(duì)任意都有/（孫。）云0恒成立.Ji 嗎/O0,（1）若。是形如（m, +8 ）的開(kāi)區(qū)間,那么就有這種得到命題成立的必要條I 20.L. 件的作法稱為第I類端點(diǎn)分析；?？夹问?如果則由尸（血,。）洋0得到必要條件，再證明必要條件是充分條件 （尋找矛盾區(qū)間）.NO,（2）若。是形如的閉區(qū)間，那么我們有這樣我們就得到了參數(shù)的一個(gè)大17（北）皿致范困，即命題成立的必要條件，這種作法稱為第U類端點(diǎn)分析.?？夹问剑喝绻?0,則由，（m,a） 0得到必要條件，再證明必要條件是

2、充分條件（矛盾區(qū)間）； 如果/S.a）=0,則由/（幾這0得到必要條件，再證明必要條件是充分條件（矛盾區(qū)間） （3）有時(shí)命題并不一定是上述的特殊形式（下一講隱極值點(diǎn)代換），但是自變量取邊界值和 某些特殊值時(shí),不等式都成立，由此可以得到一些關(guān)于參數(shù)的不等式，縮小參數(shù)的范圍， 有效地減少討論.端點(diǎn)情況出發(fā)，去揭示通過(guò)一些必要條件縮小參數(shù)范圍、確定討論的 分界點(diǎn)這種方法的威力.為了簡(jiǎn)便，本講選禪的例腮中，縮小后的參數(shù)范圍就恰好是所 求的范圍，雖然這看上去很巧.但事實(shí)上，在大部分這類問(wèn)題中.我們遇到的情況都是 如此.2.會(huì)利用端點(diǎn)分析技巧基本步驟處理夏雜的存在性及恒成立問(wèn)題（看例題解析）.【題型1第I

3、類端點(diǎn)分析】【例11】已知函數(shù)/()=e2x-(u.(1)討論/(4)的單調(diào)性；(2)當(dāng)”0時(shí)/(%) 3? +1,求。的取值范圍.解析(1)/(%) =? - a* J(%) =2c2x -at當(dāng)。這0時(shí)f (口0)(%)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，令/(*) =0,解得力=/ln楙，所以當(dāng)%e ( - ,yln最時(shí)J(z) 0/(%)在(qIn 宏，+ 8 )上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)J(4)的單調(diào)遞增區(qū)間為R;當(dāng)a 0時(shí)J(%)的單調(diào)遞成區(qū)間為(-8 小n 外單調(diào)遞增區(qū)間為田1，+8 (2)/(x)=- ax ax2 + 1 變形為 e?* - ax? - ar - 1 0.設(shè) g(

4、z) =2x _ ox? ax 1 ,g(0) =0,gr(z) =2e2x -2ax -Q,g(O) =2 -a,處理方案一gM =4e20 時(shí),c2x ( 1 , + 8 ) ,g(欠) (4 - 2a, + 8 ).情形一(端點(diǎn)效應(yīng))當(dāng) 4 -2aNO 時(shí)，即 QW2,當(dāng) X w (0, + 8 )時(shí),g” 0,g(G為增函數(shù),/(%) /(0) N0,&)在(0, + 00 )上單調(diào)遞增，所以g(x) g(0) =0成立，原不竽式成立；情形二(矛盾區(qū)間)當(dāng) 4-2a2 時(shí)，令 g(%) =2(2e2* -a) =0,解得 =；足冬， 4 乙當(dāng) Xe (0, 2ln 卷卜匕g(”)0,g

5、(%)為減函數(shù),g(x) g(0) 0,g(x)在(0, + b )上 單調(diào)遞成.所以g(x) 0時(shí),(”) 0/(“)在(0, +8 )上單調(diào)遞增，,-4)的值域是(2, +8).當(dāng)qw2時(shí),g)=0沒(méi)有實(shí)根,&y)0,g(“)在(0, + 8)上單調(diào)遞增,g(%) g(0) =0,符合題意.當(dāng) a 2 時(shí),力(0) =2 a9所以MG =盧:=。有唯一實(shí)根” 2x +1u即g() =0有唯一實(shí)根,，所以當(dāng)力(0,飛)時(shí)，g(”)0,4(”)在(0,與)上單調(diào)遞減，儀“)0,故g(x)為增函數(shù),gG)Zg(O) =0,不符合題意；(3)當(dāng) 0。0/(%)為增函數(shù)，則 /(%) Ng(O) =

6、 1 -a O,iig(x)為增函數(shù),以力)Wg(O) =0,不符合題意.繪上所述，Q/1.方法二:g(4)=一1- a = ax+ 1(目標(biāo)函數(shù)為- ax - a + 1 一次型).設(shè) 6(欠)=-OX-Q + 1.判斷導(dǎo)數(shù)根：(1)當(dāng)-。多0,即awo時(shí)，在0, + 8 )上,g)(4)為增函數(shù)，則g，(*) Ng(O) =1 -a0,故g(x)為增函數(shù),g(%)/g(O) =0,不符合題意；(2)當(dāng) a 0 時(shí),令 g(4) =0,解得 x = - - 1.a導(dǎo)致根劃分定義域：情形一 當(dāng)一T這0,即ami時(shí)，在與仁0, + 8)上，g”(%)這0,g，(”)為成函數(shù)，則/(一)W/(0)

7、 =1 -aWO,故 g(%)為減函數(shù),g(%)Wg(O) =0,符合題意;情形二 當(dāng)十-1 0,即0僅0,/(%)為增函數(shù)，則1(力)三/(0) =1 -a0,故g(“)為增函數(shù)，g(x)g(。)=0,不符合逝意.綜上所述,ael.【例13】(2015 高4r山東夠)設(shè)函數(shù)/(“)= ln(x + 1) + a(x2 - %),其中a ER.(1)討論函數(shù)/(%)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由；(2)若V# 0/(%) 0成立,求a的取值范圍.(1)由題意知，函數(shù)/(欠)的定義域?yàn)?-1, +8 ),a、12ax2 + ax - a + 1/(幻 K + aMD =-TTi令 g(4)=2ax2

8、+ax - a + 1,% e ( -1, + 8).當(dāng) q = 0 時(shí),g(x) =1 0f此時(shí)廣(切0,函數(shù)/(%)在(-1, +8 )上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng) a 0 時(shí),A =/ -8a( 1 - a) =a(9a -8).(i )當(dāng)0o,設(shè)方程 Zix? +ax - + 1 =0 的兩根為 41 ,x2(xt 0,對(duì)稱軸為與二一;，又因?yàn)間( 2) =1 0,所以 一; L1422所以，當(dāng)欠G （ - 1 ,巧）時(shí),g（比）0/（#） 0,函數(shù)/（欠）單調(diào)遞增;當(dāng)46（入，）2）時(shí)，晨力）jy）0,函數(shù)/（，）單調(diào)遞減；當(dāng)* （#2，+ 8 ）時(shí),g（%） O,/（X）0,函數(shù)/（%

9、）單調(diào)遞增.因此，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).當(dāng)。0時(shí)）0.由 g（ -1） = 1 0,可得 - 1.當(dāng) *6 （ -1 /2）時(shí)，g（“）0 J（4）0,函數(shù)/（4）單調(diào)遞增；當(dāng)尢（，+8）時(shí),g（*） O/Z（X）0,函數(shù)/（動(dòng)單調(diào)遞減.所以函數(shù)/（ %）有一個(gè)極值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)a 0時(shí)，函數(shù)/（4）有一個(gè)極值點(diǎn)；Q當(dāng)0W。這半時(shí)，函數(shù)/無(wú)極值點(diǎn)；Q當(dāng)a 5時(shí)，函數(shù)/（%）有兩個(gè)極值點(diǎn).（2）由知，Q當(dāng)0&QW年時(shí)，函數(shù)/（%）在（0, + 8 ）上單調(diào)遞增，因?yàn)?（0）=0,所以與（0, + 8）時(shí)7U）0,符合題意.Q當(dāng)年0,符合題意.當(dāng)。1時(shí)，由g(0) 0-所以4 e(0,%2)時(shí)，函數(shù)

10、/(4)單調(diào)遞減.因?yàn)?(。)=。,所以巨(0/2)時(shí)，/(#)0,不合題意.當(dāng)a 4(0) =0,即 ln(% + 1) x.可得/(%) 1 -Bf + ( 1 -a)x 0, a此時(shí)/(x) 0 時(shí),證明:r（x） 1 -y；（2）若當(dāng)（0,同時(shí)/+3興恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)證明：/(無(wú))=sin %，則/(“)=cas x, 22設(shè) g(x) =/(%)+-1 =COS%+y-ltg(0) =0,則 g(%) = -sin 4 + % 0(證略)，g(%)在(0, + 8)為增函數(shù)，故 g(x) g(0) =0. 2所以，當(dāng) 40 時(shí) J(n) 1 -y.朗時(shí)/（“）+，；）

11、以恒成立，等價(jià)于朗時(shí)/（“）+，；）以恒成立，等價(jià)于sin x + tan x - ax 0恒成立，設(shè)力(4)=sin x + tan z - ax t/i(0) =0 ,貝4 hf(x) =cos x +-a,x e(0t-y COS X2令COS X G (0,1) I2設(shè)伊=1+方,則伊（）=1 - jhf（Q） =2-.云0,心）在彳（0,屈上為增函虬故九?。ゝt（0） =0,符合題意;當(dāng) 2-。2,hr（x） = cos x + a k a =0,存在唯一陽(yáng) 有 cos x. = /,Az（x. ） 0.cos x cosx1、a1所以存在唯一%0 6 （0,%i ），使得/tz（x

12、0） =0.所以e（O,彳0）,/（%）0,八（）在%（0,欠0）上為減函數(shù),人（） 0時(shí),e+ain(l -幻-1 0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.設(shè)/(%) =e”+aln(l -%) - 1 0,x e (0,1)=0,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證/(x) /(0)./(力)=e4=(1 .? - 目標(biāo)函數(shù)為(1 - %) ex - a)I x1 - x設(shè)人(與)=(1 T) e” - a,則/() =( _%) e” 常)在 TW (0,1)上為減函數(shù).所以 我(%) e(力(1)/(0) = ( -a- a),當(dāng)1 -0,即gl時(shí)，似幻0(x) 0J)在”e(0,l)上為減函數(shù)，所以/(4) /(0)

13、 =0,符合題意；當(dāng)-q0,即a0/r(x) 0/(%)在尢(0,1)上為增函數(shù)，所以/(%) /(0) =0,不符合題意；1h(0) = 1 - a 0,A(l) = -a 0/(%) 0/(%)為增函數(shù)/(%) /(0) =0,不符合題意.綜上所述,a的取值范圍為1, +8 ).【例16】已知函數(shù)/(彳)=產(chǎn)一一. 2 + cos x(1)求/()的單調(diào)區(qū)間;(2)如果對(duì)任意欠m0,都有/(“)3,求Q的取值范圍.(or(x)=(2 + cos %)(2 + cos x)cos 欠 一 sin %( - (or(x)=(2 + cos %)當(dāng) cos x 一；,即 2Ait 一冬 x 0；

14、乙口J當(dāng) cos x 一；，即 2/ctt +鋁 x 2Ait + eZ)時(shí)/(%) g(O) =0成立,即對(duì)任意力才0,都有/(%) W;當(dāng)a + 1 WO,即qW - 1時(shí),g(%)WO,g(“)在發(fā)e 0, + 8 )上為減函數(shù).又 g(0) =0,所以當(dāng)NO時(shí),g(x) Wg(O) =0與已知矛盾；當(dāng)-15時(shí), e (Of),為cos X的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間J =- 在 e (0,行)上為增32 + cos x函數(shù)，又u=3-2t在“信,1上為增函數(shù)，fgXO) =a -y 0,所以存在唯一/ e (0,叮)使得g(%) =0,所以，當(dāng)” (0,和)時(shí),g(%) W0,g(4)在4 e (

15、0/0)上為成函數(shù),又 g(0)=。，所以當(dāng)，e (0,)時(shí),g(%) Wg(0) =0與已知矛盾.綜上所述，。的取值范圍是*, +8).【題型3有效點(diǎn)探路】【例17】已知函數(shù)/(2=lnox+6x在點(diǎn)(1 ,/(1)處的切線是y=0.(】)求函數(shù)/(4)的極值；(2)當(dāng)號(hào)刃)+匕0/(工)在/w (0,1)上單調(diào)遞增； 當(dāng) XW(l,+8)時(shí)/(G 0/(4)在6(1,+8)上單調(diào)遞減.所以當(dāng)/=1時(shí)/(外取得極大值0,無(wú)極小值.(2)必要性探路:令4 = 1,得1 -eWm0;充分性證明：由（1）可知/（4） W0,故證叱刃此）+匕與（m0）恒成立，需證唯三（加0）, e”ee, e TO

16、C o 1-5 h z 所以當(dāng)1 -eWm0時(shí)午一匕三嗎-=1-（1 一）-0（證/略）. e e% ee另證：當(dāng)1 一eWm0時(shí)，2121mx y1 -e mx r .1 -e In ex + xx = In x - 1 + zxee /e、mx2 z . x i .1 - eN （z - 1） - 1 +xxexemx 1 - e=x=（m -（ 1 - e） ） NO. e綜上所述,m的取值范圍為1 -e應(yīng)m0.則力(4)=oe，x - cos x - sin 41(0) =a - 1,當(dāng) a/1 時(shí)，Y(x) =aeax - cos x - sin xex - cos x - sin

17、x( 1 - cos x) + (x - sin x)力0, 所以6(%)在% w0, +8)上為增函數(shù)，似與)N/t(0) =0,滿足題意；當(dāng) 0 q1 時(shí)()=a2eax 4- sin x - cos x,在(0,5)為增函數(shù),又 h(0) = a2 - 1 0,所以存在唯一 %(0,外使得*(%) =0,所以Ne(0,)0),肥(%) 0/(欠)在4 w (0,和)上為戒函數(shù)“(欠)無(wú)(。)=a-l 0, 乂外在(0,%)上為減函數(shù)小(幻0.綜上所述，當(dāng)4Ho時(shí)J(% + 1)2成立.(2)因?yàn)楹瘮?shù)/(x) =ln %,g(%)是/(%)的反函數(shù)，所以g(幻=e*,則雙口+g( -%)W28(32)等價(jià)于1+。-/這2，神：即 2c-e”-e-”NO.設(shè)尸=2c-e” -e：注意到F(%)為偶函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)/w0, +8 ),F(%)nO恒成立.必要性先行:-(1) =2/ -e-Lm0,得m0. eF(x) =2ex -6-e尸(0) =0,則/) =4m1則/) =4m1+ -/0)=0,r(x) =4m(l +2版)/ T-e-/(0) =4m-2,又 4m( 1 +2mx2)ernx 在4 e 0, + 8 )上為增函