2022年自主招生考試數(shù)學試卷

1、浙江省杭州市自主招生考試數(shù)學試卷一、選擇題：（每個題目只有一種對的答案，每題4分，共32分）1（4分）（濰坊）計算：tan60+2sin452cos30的成果是（）A2BCD12（4分）（濰坊）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30到正方形ABCD，圖中陰影部分的面積為（）ABC1D13（4分）（寧波）已a，b為實數(shù)，ab=1，M=，N=，則M，N的大小關系是（）AMNBM=NCMND無法擬定4（4分）（淮安）一名考生步行前去考場，10分鐘走了總路程的，估計步行不能準時達到，于是她改乘出租車趕往考場，她的行程與時間關系如圖所示（假定總路程為1），則她達到考場合花的時間比始終步行提前

2、了（）A20分鐘B22分鐘C24分鐘D26分鐘5（4分）（大田縣校級自主招生）二次函數(shù)y=2x2+4x+1的圖象如何移動就得到y(tǒng)=2x2的圖象（）A向左移動1個單位，向上移動3個單位B向右移動1個單位，向上移動3個單位C向左移動1個單位，向下移動3個單位D向右移動1個單位，向下移動3個單位6（4分）（浙江校級自主招生）下列名人中：比爾蓋茨高斯劉翔諾貝爾陳景潤陳省身高爾基愛因斯坦，其中是數(shù)學家的是（）ABCD7（4分）（麻都市校級自主招生）張阿姨準備在某商場購買一件衣服、一雙鞋和一套化妝品，這三件物品的原價和優(yōu)惠方式如下表所示請幫張阿姨分析一下，選擇一種最省錢的購買方案此時，張阿姨購買這三件物品

3、實際所付出的錢的總數(shù)為（）欲購買的商品原價（元）優(yōu)惠方式一件衣服420每付鈔票200元，返購物券200元，且付款時可以使用購物券一雙鞋280每付鈔票200元，返購物券200元，但付款時不可以使用購物券一套化妝品300付款時可以使用購物券，但不返購物券A500元B600元C700元D800元8（4分）（麻都市校級自主招生）向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深H的函數(shù)關系的圖象如上圖所示，那么水瓶的形狀是（）ABCD二、填空題：（每題6分，共30分）9（6分）（福建校級自主招生）若有關x的分式方程在實數(shù)范疇內無解，則實數(shù)a=10（6分）（浙江校級自主招生）三角形的兩邊長為4cm和7c

4、m，則這個三角形面積的最大值為cm211（6分）（南充自主招生）對正實數(shù)a，b作定義，若4*x=44，則x的值是12（6分）（蕭山區(qū)校級自主招生）已知方程x2+（a3）x+3=0在實數(shù)范疇內恒有解，并且恰有一種解不小于1不不小于2，a的取值范疇是13（6分）（蕭山區(qū)校級自主招生）如果有名學生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1的規(guī)律報數(shù)，那么第名學生所報的數(shù)是三、解答題：（本題有4個小題，共38分）解答應寫出文字闡明，證明過程或推演環(huán)節(jié)14（8分）（蕭山區(qū)校級自主招生）田忌賽馬齊王和她的大臣田忌均有上、中、下馬各匹，每場比賽三匹馬各出場一次，共賽三次，

5、以勝的次數(shù)多者為贏已知田忌的馬較齊王的馬略有遜色，即：田忌的上馬不敵齊王的上馬，但賽過齊王的中馬；田忌的中馬不敵齊王的中馬，但賽過齊王的下馬；田忌的下馬不敵齊王的下馬田忌在按圖1的措施屢賽屢敗后，接受了孫臏的建議，用圖2的措施，成果田忌兩勝一負，贏了比賽如果在不懂得齊王出馬順序的狀況下：（1）請按如圖的形式，列出所有其她也許的狀況；（2）田忌能贏得比賽的概率是15（10分）（浙江校級自主招生）把幾種數(shù)用大括號圍起來，中間用逗號斷開，如：1，2，3，2，7，8，19，我們稱之為集合，其中的數(shù)稱其為集合的元素如果一種集合滿足：當實數(shù)a是集合的元素時，實數(shù)8a也必是這個集合的元素，這樣的集合我們稱為

6、好的集合（1）請你判斷集合1，2，1，4，7是不是好的集合；（2）請你寫出滿足條件的兩個好的集合的例子16（10分）（蕭山區(qū)校級自主招生）如圖，在ABC中，AC=BC，CD是AB邊上的高線，且有2CD=3AB，又E，F(xiàn)為CD的三等分點，求證：ACB+AEB+AFB=18017（10分）（蕭山區(qū)校級自主招生）已知點M，N的坐標分別為（0，1），（0，1），點P是拋物線y=x2上的一種動點（1）求證：以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=1的相切；（2）設直線PM與拋物線y=x2的另一種交點為點Q，連接NP，NQ，求證：PNM=QNM四、附加題：（本題滿分為3分，但雖然記入總分也不能使本次考試超過

7、100分）18（城關區(qū)校級自主招生）有人覺得數(shù)學沒有多少使用價值，我們只要能數(shù)得清鈔票，到菜場算得出價錢這點數(shù)學知識就夠了根據(jù)你學習數(shù)學的體會，談談你對數(shù)學這門學科的見解浙江省杭州市蕭山中學自主招生考試數(shù)學試卷參照答案與試題解析一、選擇題：（每個題目只有一種對的答案，每題4分，共32分）1（4分）（濰坊）計算：tan60+2sin452cos30的成果是（）A2BCD1【解答】解：原式=+=故選：C2（4分）（濰坊）如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30到正方形ABCD，圖中陰影部分的面積為（）ABC1D1【解答】解：如圖，設BC與CD的交點為E，連接AE，在RtABE和RtADE

8、中，RtABERtADE（HL），DAE=BAE，旋轉角為30，DAB=60，DAE=60=30，DE=1=，陰影部分的面積=112（1）=1故選：C3（4分）（寧波）已a，b為實數(shù)，ab=1，M=，N=，則M，N的大小關系是（）AMNBM=NCMND無法擬定【解答】解：M=，ab=1，=1N=，ab=1，=1，M=N故選B4（4分）（淮安）一名考生步行前去考場，10分鐘走了總路程的，估計步行不能準時達到，于是她改乘出租車趕往考場，她的行程與時間關系如圖所示（假定總路程為1），則她達到考場合花的時間比始終步行提前了（）A20分鐘B22分鐘C24分鐘D26分鐘【解答】解：她改乘出租車趕往考場的速

9、度是2=，因此到考場的時間是10+=16分鐘，10分鐘走了總路程的，步行的速度=10=，步行達到考場的時間是1=40，則她達到考場合花的時間比始終步行提前了4016=24分鐘故選C5（4分）（大田縣校級自主招生）二次函數(shù)y=2x2+4x+1的圖象如何移動就得到y(tǒng)=2x2的圖象（）A向左移動1個單位，向上移動3個單位B向右移動1個單位，向上移動3個單位C向左移動1個單位，向下移動3個單位D向右移動1個單位，向下移動3個單位【解答】解：二次函數(shù)y=2x2+4x+1的頂點坐標為（1，3），y=2x2的頂點坐標為（0，0），向左移動1個單位，向下移動3個單位故選C6（4分）（浙江校級自主招生）下列名人

10、中：比爾蓋茨高斯劉翔諾貝爾陳景潤陳省身高爾基愛因斯坦，其中是數(shù)學家的是（）ABCD【解答】解：高斯陳景潤陳省身是數(shù)學家故選D7（4分）（麻都市校級自主招生）張阿姨準備在某商場購買一件衣服、一雙鞋和一套化妝品，這三件物品的原價和優(yōu)惠方式如下表所示請幫張阿姨分析一下，選擇一種最省錢的購買方案此時，張阿姨購買這三件物品實際所付出的錢的總數(shù)為（）欲購買的商品原價（元）優(yōu)惠方式一件衣服420每付鈔票200元，返購物券200元，且付款時可以使用購物券一雙鞋280每付鈔票200元，返購物券200元，但付款時不可以使用購物券一套化妝品300付款時可以使用購物券，但不返購物券A500元B600元C700元D80

11、0元【解答】解：買化妝品不返購物券，先購買衣服和鞋，運用所得購物券再買化妝品付鈔票220元就可買一件衣服，由于付鈔票220元可得購物券200元，因此200+220=420元正好可購買一件衣服；付鈔票280元可買一雙鞋，同步返購物券200元；再付鈔票100元加上買鞋時返的購物券200就可購買一套化妝品張阿姨購買這三件物品實際所付出的錢的總數(shù)為：220+280+100=600元故選B8（4分）（麻都市校級自主招生）向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深H的函數(shù)關系的圖象如上圖所示，那么水瓶的形狀是（）ABCD【解答】解：由于高度不是均勻上升的，應排除D；圖象中沒有浮現(xiàn)對稱狀況，應排除C

12、；隨著V的不斷增長，H的變化越來越快，圖象應是越來越窄故選B二、填空題：（每題6分，共30分）9（6分）（福建校級自主招生）若有關x的分式方程在實數(shù)范疇內無解，則實數(shù)a=1【解答】解：原方程化為整式方程得：1x3=a，整頓得x=2a，由于無解，因此x+3=0，即x=3，因此a=2+3=110（6分）（浙江校級自主招生）三角形的兩邊長為4cm和7cm，則這個三角形面積的最大值為14cm2【解答】解：設兩邊的夾角為A，則三角形面積=47sinA=14sinA，當A=90時，面積的最大值=1411（6分）（南充自主招生）對正實數(shù)a，b作定義，若4*x=44，則x的值是36【解答】解：，原方程變形為：

13、4+x=44，整頓得，x+248=0，設=a，則a2+2a48=0，解得a=6或8，0，a=6，x=36故答案為：3612（6分）（蕭山區(qū)校級自主招生）已知方程x2+（a3）x+3=0在實數(shù)范疇內恒有解，并且恰有一種解不小于1不不小于2，a的取值范疇是1a2+3【解答】解：設f（x）=x2+（a3）x+3，問題等價于 f（x）有一種零點在（1，2）內根據(jù)二次方程根的分布，這等價于 f（1）f（2）0或f（1）f（2）0，即1+（a3）+34+（a3）2+30或1+（a3）+34+（a3）2+30，也即（a+1）（2a+1）0或（a+1）（2a+1）0，解得1a或a1或，當0時，即b24ac0，

14、（a3）2120，a2+3或a2+3，則a的范疇是：1a2+3故答案為：1a2+313（6分）（蕭山區(qū)校級自主招生）如果有名學生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1的規(guī)律報數(shù)，那么第名學生所報的數(shù)是3【解答】解：觀測發(fā)現(xiàn)，以（1、2、3、4、5、4、3、2）為一種循環(huán)組，依次進行循環(huán)，8=2507，第名學生所報的數(shù)是第251組的第7個數(shù)，是3故答案為：3三、解答題：（本題有4個小題，共38分）解答應寫出文字闡明，證明過程或推演環(huán)節(jié)14（8分）（蕭山區(qū)校級自主招生）田忌賽馬齊王和她的大臣田忌均有上、中、下馬各匹，每場比賽三匹馬各出場一次，共賽三次，以勝的

15、次數(shù)多者為贏已知田忌的馬較齊王的馬略有遜色，即：田忌的上馬不敵齊王的上馬，但賽過齊王的中馬；田忌的中馬不敵齊王的中馬，但賽過齊王的下馬；田忌的下馬不敵齊王的下馬田忌在按圖1的措施屢賽屢敗后，接受了孫臏的建議，用圖2的措施，成果田忌兩勝一負，贏了比賽如果在不懂得齊王出馬順序的狀況下：（1）請按如圖的形式，列出所有其她也許的狀況；（2）田忌能贏得比賽的概率是【解答】解：（1）當田忌的馬隨機出陣時，雙方馬的對陣狀況如下 田忌的馬上中下 上中下 上中下 上中下 齊王的馬上下中中上下下上中下中上 （2）根據(jù)對對陣形式的分析可以懂得：田忌贏得比賽的概率為15（10分）（浙江校級自主招生）把幾種數(shù)用大括號圍

16、起來，中間用逗號斷開，如：1，2，3，2，7，8，19，我們稱之為集合，其中的數(shù)稱其為集合的元素如果一種集合滿足：當實數(shù)a是集合的元素時，實數(shù)8a也必是這個集合的元素，這樣的集合我們稱為好的集合（1）請你判斷集合1，2，1，4，7是不是好的集合；（2）請你寫出滿足條件的兩個好的集合的例子【解答】解：（1）集合1，2不是好的集合，這是由于81=7，而7不是1，2中的數(shù)，因此1，2不是好的集合；1，4，7是好的集合，這是由于81=7，7是1，4，7中的數(shù)，84=4，4也是1，4，7中的數(shù)，87=1，1又是1，4，7中的數(shù)因此1，4，7是好的集合；（2）答案不唯一集合4、3，4，5、2，6、1，2，

17、4，6，7、0，8等都是好的集合16（10分）（蕭山區(qū)校級自主招生）如圖，在ABC中，AC=BC，CD是AB邊上的高線，且有2CD=3AB，又E，F(xiàn)為CD的三等分點，求證：ACB+AEB+AFB=180【解答】證明：2CD=3AB，E，F(xiàn)為CD三等分點，D為AB中點，AD=DF；AFD=45，由勾股定理得：AF2=AD2+DF2=2DF22DF2=EF（EF+CE）=FEFC；AF2=FEFC，=，AFE=CFA，AEFCFA，CAF=AEF；即ACD+AED=AFD=45；ACD+AED+AFD=90，ACB+AEB+AFB=18017（10分）（蕭山區(qū)校級自主招生）已知點M，N的坐標分別為

18、（0，1），（0，1），點P是拋物線y=x2上的一種動點（1）求證：以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=1的相切；（2）設直線PM與拋物線y=x2的另一種交點為點Q，連接NP，NQ，求證：PNM=QNM【解答】解：（1）設點P的坐標為（x0，x20），則PM=x20+1；又由于點P到直線y=1的距離為，x20（1）=x20+1因此，以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y=1相切（2）如圖，分別過點P，Q作直線y=1的垂線，垂足分別為H，R由（1）知，PH=PM，同理可得，QM=QR由于PH，MN，QR都垂直于直線y=1，因此，PHMNQR，于是=，因此，因此，RtPHNRtQRN于是HNP=RNQ，從而PNM=QNM四、附加題：（本題滿分為3分，但